Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 53
Текст из файла (страница 53)
длина производной от единичного вектора'~ касательноИ по длине дуги равняется кривизне линии в данноИ точке. Так как вектор Йт а единичный то его производная — перпендикулярна к нему (см. 1' о'з З 3 гл. Пт, следствие). Итак, вектор — по длине равен кривизне кривой, а по напра- Йт влению перпендикулярен к вектору касательной. Определение. Прямая, имеющая направление вектора — и Йт ое проходящая через соответствующую точку кривой, называется главной нормалью кривоИ в данной точке. Единичный вектор этого направления обозначим через и. Так как длина вектора — равна К вЂ” кривизне кривой то Йт оз Йт — = Кп.
ае Величина, обратная кривизне, называется радиусом кривизны 1 линии в данной точке и обозначается через й, т.е. к — — В. Поэтому можем написать: аг Йт и (6) ,1ег Й, и. Из этоИ формулы следует: (6) Но атг азя агу ' агз — = — т+ — 1+ — 1с.
лез нет вез вез Следовательно, (6') Последняя формула дает возможность вычислить кривизну линии в любой точке, если эта линия задана параметрическими уравнениями, в которых параметром является длина дуги г (т.е. если радиус-вектор переменной точки данной линии выражен как функция от длины дуги). Напоминая, что производная еентпоро есть еентнор, н поэтому мм можем говорить о длине производной. !гл, 2х 286 пРилОжения ЛНФФегенциального исчисления Рассмотрим случай, когда радиус-вектор т выражен как функция произвольного параметра й г = г (!).
В этом случае длину дуги з будем рассматривать как функцию параметра б Тогда вычисление кривизны производится следующим образом: (7) Так как'! то (8) Дифференцируя правую и левую части и сокращая на два, получим: 61 612 61 622 (9) Далее, из формулы (7) следует: ат ат 1 йз = 61,22 61 Дифференцируем по з обе части последнего равенства: н з нгт Нгт 1 Нт Нзт язг — лзг ~,!з)2 лз ( !з)з подставляя полученное выражение -о — т в формулу (6), будем иметь: г12 г ,!г 62т ! Нт ззт 612 ~ з ) г,!З (зз) з 'знзт) Ь) атнзйгнзт (62) з,аГ) 1 Зто равенство следует из того, что ~ча-! = !Нн )~ — ~. Но гзт — - хорда, Ьз->о ~аз стягивающая дугу длины Гзз.
Поэтому ~ й-- ~ стремится к 1 нри гзз -э О. Сгт 287 ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ ВЫРЭжаи — И вЂ” г ПО фОРМУЛаМ (8) И (9) ЧЕРЕЗ ПРОИЗВОДНЫЕ От Нб а 5 агг(1), по 1учим'): (Жт) (йг) (Й- йг) (10) ((~",)'Г Формулу (10) можно переписать так'"): (( — '") Т Мы получили формулу, которая дает нозможность Вычислить кривизну данной линии В любой ее точке при произвольном параметрическом задании этой криной.
Если в частном случае кривая является плоской и лежит в плоскости Оку, то ее параметрические уравнения имеют вид * = 7 (1), р = 1Ь(1), з = О. Подставляя эти выражения х, у, е в формулу (11), мы получилг Выведенную ранее (в гл. 'ч1) формулу, дающую кривизну гьаоской кривой, заданной параметрически: )'р (Г)гр (Г) Р (б)~ (б)< — ((„ (Г))г , [„~(0) )зуб Пример. Вычислить кривизну винтовой линии г = за соз Г -Ь У а в~п Г + йапгг н произвольной точке. *) * Преобразовываем зиамекатель следующим образом: (-7-) = ((ч-) (ггу =(( )') (~-) ) . Здесь нельзя написать (~)-) . Под (~-) подразумевается скаляриый квадрат вектора а-. Под ((~-) ) подразумевается третья степень гаг'т глгчб числа (~-) .
Выражение же (-,)-) пе имеет смысла. '0 Мы использовали тождество агбт — (аб) = (а х Ь)е, н справедливости которого легко убедиться, если переписать тождество в следующем ниде: атЬ' — (абсоз р)з = (абз)п ч0 . »88 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИОЛЕНИЯ (гл.
!х Решение. — = — газшг+.гасозг-~- Йаш, ей ас 1» г, — = — касок! — даыпг, в!г г з ь — х — г = — анпг асозг апг = га шзш1 — да шсозг-~- Ьа, дс Вгт г г г а'1 Шг — асозг -аз1пг О ('— ")=' ' ~г ) = агни»1+а соз !+ а га = а (1-~-ш ).
и) — ' Следовательно, 1 а»(шг -~- 1) Лг (аг(! Ф тг)(г аг(1 Ф тг)г ' откуда й = а(1 -1- т ) = сопзг . Таким образом, винтовая линия имеет постоянный радиус кривизны. Замечание. Если кривая лежит в плоскости, то, не нарушая общности, можно предположить, что она лежит в плоскости Оху (этого всегда можно добиться преобразованием координат). Если аг» же кривая лежит в плоскости Оху, то» = 0; но тогда и — у —— 0 и, аз следовательно, вектор и лежит также в плоскости Оху. Отсюда получаем вывод: если кривая лежит в плоскости, то ее главная нормаль лежит в той же плоскости.
Скорость точки в криволинейном движении. Пусть движущаяся точка в момент времени 1 находится в точке М, определяемой радиус-вектором ОМ = г(1) (см. рис. 200), а в момент 1-Ь дг( находится в точке М! определяемой радиус-вектором ОМ1 = г(1+Ьс). Тогда вектор ММ, называется вектором перемещения точки. Отношение вектора перемещения ММ1 к соответствующему приращению времени гас называется средней скоросглью точки за промежуток времени и = — ' = —, = Мг'т'. ММг !»с ср— Вектор средней скорости также направлен по хорде ММ! (см.
рис. 200, стр. 318) в сторону движения точки (при прямолинейном движении он направлен по самой траектории). Скорость точки в данный момент определяется так: и = 1!ш (иср) = 1пп дс- о р дг-онг т.е (12) Таким образом, можно сказать: скорость точки в данный момент равна первой производной от радиус-вектпора точки по времени. тзэ ПРОИЗВОДНЫЕ ВЕКТОРА ПО ДЛИНЕ ДУГИ где и = — -- абсолютная величина скорости, а - — единичный аг <и вектор, направленный по касательной в сторону движения. Ускорение точки в криволинейном движении.
Аналогично тому, как это было определено в ~ 25 гл. П1, ускорением точки ю в криволинейном движении называется производная от вектора скорости по времени: (15) Но и = — „, следовательно, аг о< < нг <. Ю = —. агг Если будем исходить из формулы (14), то получим ~„, а(ь о) <о (16) Раскрывая последнюю производную по формуле (П1) З 3, получим: и< = — т Ч- и —. ис ас ' (17) Преобразуем производную —, пользуясь формулами (7) и (5): во ав <ьг Ег п <а ь аг я Подставляя в равенство (17), окончательно получаем: ю = —,а+ и —. л (18) Здесь а — единственный вектор, направленный по касательной в сторону движения, и — единичный вектор, направленный по главной нормали.
Формула (18) словами формулируется так. Проекция ускорение точки на касательную равна первой производной от абсолютной величины скорости, а проекция ускорения на главную нормаль равна квадрату скорости, деленному на радиус кривизны траекп<ории в данной точке. На Основании формулы (2') З 2 следует, что проекции скорости на оси координат будут: <Ь аг и 'У Ж "' ас.
Модуль скорости определяется по формуле (3) Ц 2; =<)г(в) +( —,",) < (е) . «з< Если ввести длину дуги в, как это делалось в начале этою параграфа, и рассматривать длину дуги з как функцию времени г, то формулу (12) можно записать так: ж <ь <и (14) 290 пгиложвния ли м вгвнпилльного исчисления ггл гх Так как векторы а и и взаимно перпендикулярны, то модуль ускорения определяется формулой (19) 2 5. Соприкасающаяся плоскость. Бннормаль. Кручение Л Ь=ахп, ЬЬ=1. Найдем производную — „.
По формунь ле (лг) 2 3 НЬ а(а х и) г1а пп — = — = — х и+и х —. (2) ггг ал ггг ИБ ' Но — = — (см. 2 4), понтону аа и аа 1 — хи= — яхт=О, нг д Рис. 204 и формула (2) принимает вид — =сг х —. и'Ь гг'и (3) аг аг Рис. 200 Отсюда следует (на ос: ванин определения векторного произ«ь ведениЯ), что Тг есть вектоР, пеРпендикУлЯРный к вектоРУ касательной а. С другой стороны, так как Ь вЂ” единичный вектор, то — перпендикулярен к Ь (см. 2 3, следствие). аЬ Значит, вектор — „перпендикулярен и к а и к Ь, т.е. коллинеарен вектору и.
Определение 1, Плоскость, проходящая через касательную прямую и главную нормаль к заданной кривой в точке А, называется соприкасающейся тиосхостью в точке А. Для плоской кривой соприкасающаяся плоскость совпадает с плоскостью кривой. Если же кривая не плоская, то, взяв на ней две точки Р и Ры мы получим две различные соприкасающиеся плоскости, образующие между собой двугранный угол р.
Чем больше угол р, тем сильнее кривая по своей форме отличается от плоской кривой. Для того чтобы это уточнить, введем еще одно определение. Определение 2. Нормаль к кривой, перпендикулярная к соприкасающейся плоскости, называется бинормалью. Возьмем на бинормели единичный вектор Ь и направим его так, чтобы векторы а, и, Ь образовывали тройку той же ориентации, что и единичные векторы л, 2, й, лежащие на осях координат (рис. 204, 205). В силу определения векторного и скалярного произведений ректоров имеем; сОИРикАОАкицАяся плОскОсть. БинОРмАль кРучение 291 нь 1 Обозначим длину вектора — через —, т.е, положим; Ж )Т(' тогда нь — = — и.
дз Т (4) Величина — называется кручением данной кривой. 1 Т Двугранный угол д между соприкасающимися плоскостями, соответствующими двум точкам кривой, равен углу между бинормалями. По аналогии с формулой 14) 2 4 гл. 1Х можно написать: па — )пп йу~ а. е Рз~' 1 дп —,и =а х —. Т и'з Умножив скалярно обе части на г1, будем иметь: — пп = п(а х — ). 1 йп Т дз В правой части последнего равенства мы получили так называемое смешанное (или тройное) произведение трех векторов и, а дп и — „.
В таком произведении, как известно, можно переставлять сомйожители в круговом порядке. Учитывал, кроме того, что пп = 1, мы перепишем последнее равенство в следующем виде: — =а( — х и) ! и'п Т ву или — = -а(г1 х — ). 1 дп Т пу 15) Нзг Но так как и =  — т, то ип Нзг ди изг — = — + —— и НУз Н ААг Итак, кручение кривой в точке А по абсолютной величине равно пределу, к которому стремится отношение угла р между соприкасающимися плоскостями в точке А и соседней точке В к длине (аз~ дуги АВ, когда гзз -1 О. Если кривая плоская, то соприкасающаяся плоскость не меняет своего направления и, следовательно, кручение равно нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
