Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 52
Текст из файла (страница 52)
ниже) справедливы и в том случае, когда это выражение равно нулю, если только хоть один из определителей, фигурирующих в окончательных формулах, отличен от нуля. Из равенств (10) получаем: дх ду д! дг дг дф! дфг дф! дфг дх ду ду дх (4) уравнения касатель- дф! дфг дф! дфг дф! дфг дф! дфг ду дг дг ду дг дх дх дг Следовательно, на основании формулы ной прямой будут иметь вид Х вЂ” х у — у 7 — х дф! дфг !Зф! дфг дф! дфг ' дх дг дх ду ду дх дф! дфг дф! дфг дф! афг ду дг дг ду дг дх или, пользуясь определителями, Х вЂ” х у (11) ау, дг дфг дг дф! дф! дх ду дфг дфг дх ау дф! дх дфг дх дф! дф! ду дг дфг дфг ду дг Нормальная плоскость представляется уравнением дф! дф! дф! дф! дф! (Х вЂ” х) дФг дфг + (1г — У) дьг дфг + (Я вЂ” Х) дфг ду дг дг дх дх ау а.
дг дх дх дф! д — 0 ау (12) Эти формулы имеют смысл только тогда, когда хотя бы только один из фигурирующих в них определителей отличен от нуля. Если же в некоторой точке кривой все три определителя дф! дф! дф дф, дф! дф! ду дг дг <Зх дх ду дфг дфг ' дфг дфг ' дфг дфг ду дг дг дх дх ду обращаются в нуль, то эта точка называется особой !почкой пространственной кривой. В этой точке кривая может вообще не 280 пгиложкння диххнгенциального исчислгния )гл. гх иметь касательной, подобно тому как зто имело место в особых точках у плоских кривых (см. 8 20 гл.
У111). Пример 8. Найти уравнения касательной прямой к нормальной плоскости к линии пересечения сферы тг Ф рг -~- »» =- 4гг и цилиндра хг Ч- рг = 2гр в точке М(г, г, гьг2) (рис. 20!). Репгенне. ф ( ) =- хг ь рг Ф» — 4»г, Фг(х, р, ») =-хг -~. р — 2гр, дФ! 2 дФ» 2 дФ! 2 дх -2» др -'р д» дФ» дФ» дФг — =2х, — =2р — 2г, —, =О. дх ' др ' д» Значения производных в даввой точке М будут: — = 2а дФ! ар дФг — =О, ар = 2г Г2, дфг — О д» вЂ” = 2г, дФ! дх — = 2г, дФ» дх Поэтому уравнения касательной прямой имеют внд Л вЂ” г !' — г Я вЂ” гъ2 0 Я вЂ” ! Ряс.
201 Уравнение нормальной плоскости чг2(У вЂ” г) — (2 — гъ'2) = 0 ялн АЪ' — Я = О. 8 3. Правила дифференцирования векторов (векторных функций) Как мы видели, производная от вектора (8) = р(2) '+ р(!)2+ Х(!)й, по определению, равна г' (т) = тг (т) г + чг (г)» + Х (т) гс.
(2) Отсюда сразу следует, что основные правила дифференцирования функций остаются в силе и для векторов. Мы выведем ниже некоторые формулы дифференцирования функций от векторов. Эти формулы нам потребуются в дальнейшем. 1. Производная суммы векторов равна сумме. производных от слагаемых векнюров. В самом деле, пусть, например, даны два вектора: ,(2) = дг(2) '+ ~г(!)2+ Х,(2)й,') гг(г) = Фг(г)г + грг(!)я + Хг(т)гс)) (3) пРАВилА диФФеРенциРОВАния ВектОРОВ 2З1 их сумма равна ° (2) Ь (7) = Ь (7) + Рг(1)] + М (7) + ф (7)]7 + [Х (1) + Хг(7)]й.
По определению производной от переменного вектора имеем: сй [Р1 (2) + 'Рг (1)] г + [1Р1 (7) + 42 (7)] .7 + [Х1 (7) + Хг (2)] )е или йг — [Р1(7) + Рг(2)]2 + [ф! (7) + з'2(2)]3 + [Х1(7) + Х2( )])е = [г11(1)г + ф1(1)7 + Х1(1))е] + [~Р2(1)г + фг(2)3 + Хг(1)й] = 71 + Рг Следовательно, в(Р1(1) -~- Рг(1)) ег1 агг аг а'1 ~й ' П. Производная от скалярного произведения векторов выразесается формулой Фп 2) ег1 аг ег Гг + "' й агг (П) Действительно, если Р1(1), гг(1) определены формулами (3), то, как известно, скалярное произведение этих векторов равно Р1(7)гг(7) 221'Рг + 7172 Ь Х1Х2.
Поэтому а'(Р1 гг) = Р11рг+ згЫР2+ ф1'Фг+ 411Р2+ Х1Хг + Х1Хг = (Р1Р2 Р гР12Р2 + Х1Х2) + (~Р!згг + геггег ~ Х1Х2) = (ф1 г + 1Р13 + Х1)е) х (угг 2 + ф2 7 + Х2)е) + (Ф1 г + 1Р1 Э + Х1)е) х х (ггг г + ф~.7 + Х2)е) = — гг + 71 Теорема доказана. Из формулы (П) получается следующее важное следствие.
Следствие. Если вектор е - единичный, т.е. ]е[ = 1, то его производная есть векгпор, к нему перпендикулярный. Доказательство. Если е -- единичный вектор, то ее = 1. Возьмем производную по 7 от обеих частей последнего равенства: е — + — е=О, или 2е — =О Ве ае ае аг Рй аг т.е.
скалярное произведение е — =О ае ' аг а это и означает, что вектор — перпендикулярен к вектору е. йе 282 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ гл 1х П1. Если ((1) —. скалярная функция и г(1) — векторная фуюсция, то производнол от произведения ((1)г(1) втяражается формулой: д(Ю ду аг (ГП) дт Тт ат' Доказательство. Если вектор г(1) определен формулой (1), то У(1) ~ (1) = У(1) ~р(1) т' + з'(1)ту(1)2' + .т(1) х(1))с. По формуле (2) получаем: = — (р'+ М+ ХЙ) +.т" ( — + — 2 + — )с) = — +.т'— 4( дХ У д1 дг дт (, дт ж дт,т' и ат 1Н. Постоянный числовой мпоъситсль можно вынести за знак производной; а(а г(1)) пг дт ат = а — = аг (1'Ч) Следовательно, — „= О. й вехтпоров гт(1) и гз(1) Это следует из П1, если т" (1) = а = сопза тг. Производная векторного произведения определяется формулой гт(тт х гг) дгт дт и = — х ть+тт х Доказывается аналогично формуле (П).
8 4. Первая и вторая производные вектора по длине дуги. Кривизна кривой. Главная нормаль. Скорость и ускорение точки в криволинейном движении Как и в случае кривых на плоскости, определяется длина луги' ) пространственной кривой МоА = з (рис. 202). При движении переменной точки А(а,у,г) по кривой длина дуги з изменяется; и обратно, при изменении з изменяются координаты х, у, г переменной точки А, лежатдей на кривой. Следовательно, координаты е, у, г переменной точки кривой А можно рассматривать как функции длины у,г) Рис. 202 дуги з ') Длина дуги пространственной кривой определяется так же, как и длина плоской кривой (см. 1 1 гл.
Н1 и 1 3 гл. Х11). я=у(), у= Из), =Х(з) В этих параметрических уравнениях кривой параметром является длина дуги з. 283 пгоизводныв ввктога по длинв дуги з 4! Вектор ОА = г выразится соответственно = Из) '+ Ф( )у + Х(н)й или г = г(н), (!) ге. вектор г является функцией длины дуги н. пг Выясним геометрический сзнысл производной —. Как видно из Нз ' рис. 202, имеют место следующие равенства: МоА = з, АВ = Асз МоВ = в + А в, ОА = г(н), ОВ = т (з+ Лв), АВ = Ьг = г(в + Лн) — г(з), азг АВ аз а АВ нг Мы уже видели в 8 2, что вектор — = !пп — направлен по а -зо д' касательной к кривой в точке А в сторону возрастания з. С другой стороны, имеет место равенство !пп ~ — ~ = ! (предел отношения АВ АВ длины хорды к длине дуги' !). Следовательно, —" есть едимичнын вектор, направленный по касательной; обозначим его через сг: (2) Если вектор г задан проекциями: г = ха +уу + хм, то ех - ну ок сг= — з+ — у+ — й, нв еа ее причем Рассмотрим, далее, вгпорую производную векторной функции Нтз пг -н,-т, т.е.
производную от — „, и выясним ее геометрическое значение. йз формулы (2) следует, что гап Следовательно, нам нужно найти !нп а — ю оа Мы указывали на зто соотношение для плоской кривой в ! 1 гл. Чй Оно имеет место и для пространственной кривой г(С) = Зз(с)! + р(с)у + Х(с)й, если функции Зз[С), зг(С) и Х(с) имеют непрерывные производные, не обращающиеся одновременно в нуль. 284 пгиложения дис пьгенципльного исчислвния Шл, гх Р1з рис. 203 имеем АВ = Лз, АВ = сг, ВК =- а + сйа.
Проведем из гочки В вектор Вйг — — а. Из треугольника ВКВг находим: ВК=1Ю, +Ь,К А или а 4- схсг = а + Е~ К. Следовательно, В4К = сйа. Так как, по доРис. 203 казанному, длина вектора а не меняется, то ~а~ = ~а + спа~; следовательно, треугольник ВКЕ~ — равнобедренный. Угол Ь~р при вершине итого треугольника есть угол поворота касательной к кривой при переходе из точки А в точку В, т.е.
соответствует приращению длины дуги сха. Из треугольника ВКЕ4 находим: 1~К = (сза) = 2(сг)!81п 2 ! = 2!згп 2 (так как )а) = 1). Разделим обе части последнего равенства на с.'гп: игп — ~ Мп —;~ сг . ь !сгп 2 2 !а4п! 2 Перейдем к пределу в обеих частях последнего равенства при сУ8 — Г О. В левой части получим: Далее, игп — ~ йг 1пп г а -го 2 как в данном случае мы рассматриваем такие кривые, что существует предел 11т — к и, следовательно, сУчг -г 0 при Ла — г О. Ьг — гп '-'и Таким образом, после перехода к пределу получаем: — 1пп ! — ~'!.
(4) Отношение угла поворота сйуг касательной при переходе от точки А к точке В к длине Ьз дуги АВ, взятое по абсолютной величине, называется, так же как и для плоской кривой, средней кривизной данной линии на участке АВ: средняя кривизна = !— 1 Сгсг ~ Сгг пгоизводньщ ввктогя по длине дуги Предел средней кривизны при Ьг — э 0 называется кривизной линии в точке Л и обозначается буквой К: К= 11т Йт Но в этом случае из равенства (4) следует, что ~ а — — К, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
