Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 51
Текст из файла (страница 51)
52. а»уг = х»(аг — хг). Отле. В начале координат точка соприкосновения; двойная касательная уг = О. хз г Оп»е. Мв(О,О) — точка возврата первого рода, у» = 0— 2а — х касательная. 54. уг = х»(9 — х»). Оте. Ма~О, 0) — узел; у = хЗ» — уравнения касательных. 65. х» — 2ахгу — ахуг -1- агх = О. Отав. Ме(0, 0) — точка возврата второго рада; уг = Π— двойная касательная. 56. у»(аг 9хг) = хг(аг — хг). Отпе. Мо(О,О) — узел; у = хх — уравнения касательных.
57. 5»хг .1- агу» = хгуг. Още. Мо(0,0) — изолированная точка. 58. Показать, что кривая у = х 1и х имеет концевую точку в начале координат и касательную — ось Оу. 59. Показать, что кривая у = имеет узловую точку в начале координат 1ще* и что касательные в этой точке: справа у = О, слева у = х. Глава 1Х ПРИЛО.гКЕНИЯ ДИФФЕРЕН.УИАЛЬНОГО ИСНИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ ПРОСТРАНСТВЕ ~ 1. Уравнения кривой в пространстве Рассмотрим вектор ОА = г, начало которого совпадает с началом координат, а концом является не; оторая точка А(х,у,г) (рис.
196). Такой радиус называют радиус-вектором. Выразим этот вектор через проекции на оси координат: А(х у г) г = ху т уу -г гн. Пусть проекции вектора г суть функции некото- рого параметра и х = ~'(г) у = Ф(1) г = Х(1). (2) Рис. 19б Тогда формулу (1) можно переписать так: г = р(1)г+ 4(1)~'+ т(~)й или коротко г = г(г), (1а) ф (х, у, г) = 0,) Фг(х, у, г) = О.( При изменении 1 изменяются х, у, г, и точка А — конец вектора г — опишет в пространстве некоторую линию, которую называют годографом вектора г = гЯ.
Уравнение (1') или (1а) называют векторным уравнением линии в пространстве. Уравнения (2) называются параметрическими уравнениями линии в пространстве. С помощью этих уравнений для каждого значения 1 определяются координаты х, у, г соответствующей точки кривой. Замечание. Кривая в пространстве может быть также определена как геометрическое место точек пересечения двух поверхностей; следовательно, такая кривая может быть задана двумя уравнениями двух поверхностей: 271 пгиложения диас кгснци яльного ис,числания )гл. ~х Так. например, уравнения з, з х +у +» =-1, =1, Фг[~р(1), у, х] = О, Фа[92[1), у, ») = О, то осуществим переход от задания линии с помощью поверхностей к параметрическому способу задания.
Пример 1. Уравнения х = 41 — 1, у = 31, » = С+ 2 яааяются параметрическими уравнениями прямой. Исключая параметр 1, получим два уравнения, каждое из которых есть уравнение плоскости. Например, если из первого уравнения почленно вычесть второе и гретье, получим х — у — » = — 3. Вычитая же из первого учетверенное третье, получим: х — 4» = -9.
Таким образом, заданная прямая является линией пересечения плоскостей х — У вЂ” »+3 = 0 их — 4» 49=0. Пример 2. Рассмотрим прямой круговой цилиндр радиуса а, ось которого совпадает с осью О» (см. рис. 198). На данный цилиндр будем навивать прямоугольный треугольник С, АС так, чтобы вершина А треугольника лежала в точке пересечения образующей цилиндра с осью Ох, а катет АС1 навивался на круговое сечение цилиндра, лежащее в плоскости Оху.
Тогда гипотенуза образует на цилиндре линию, которая называется винтовой линней. х Напишем уравнение винтовой линии, обозначая через х, у, » координаты ее переменной точки йти через 1 угол АОР (рис. 198). Тогда х =. аспас, у = авш1, » =.
РМ = АР 18 9, где через В обозначен острый угол треугольника С~АС. Заметив, что АР = ас, так как АР есть дуга круга радиуса а,соответствующая цен- Рис. !98 являкпси уравнениями окружности, получцающейся в пересечении сферы н плоскости (рис. 1!)7). Итак, кривая в пространстве может быть задана или параметрическими уравнениями [2), или двумя уравнениями поверхносгей [3). Рнс. 197 Коли мы исключим параметр 1 из уравнений [2) и получим два уравнения, связываюп)их х, у, », то тем самым осуществим переход от параметрического способа задания линии к заданию ее с помощью поверхностей.
Обратно, если положим х = Я) [ср[1)— произвольная функция) и найдем у и » как функции от 1 из уравнений ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ 275 г ральному углу г, и обозначив гй у через т, получаем параметрические уравнения винтовой лвиии в виде х = а сов ц у = а*1п 2, г = ат2 (здесь г параметр), или в векторной форме: г = засове Е Уа»1п2-~- йагак Из параметрических уравнений винтовой линии легко исключить параметр ц возводя первые два уравнения в квадрат и складывая их, найдем хг -~- у = а . Это — уравнение цилиндра, на котором расположена винтовая линия. Далее, деля цочленно второе уравнение на первое и подставляя в полученное уравнение значение 2, найденное из третьего уравнения, найдем уравнение другой поверхности, на которой расположена винтовая линия: у= х ат' Это — так называемая епягпоеая линия (гелпкоид).
Ее можно получить как движения полупрямой,параллельной плоскости Оху, если конец этой полупрямой находится на оси Ог, причем сама полупрямая с постоянной угловой скоростью вращается вокруг оси Ог и с постоянной скоростью поднимается вверх так, что ее конец перемещается вдоль оси О». Винтовая линия является линией пересечения этих двух поверхностей. Поэтому ее можно зццать двумя уравнениями: х Фу =а, — =25 —. 2 2 2 у г х ат '2 2.
Предел и производная векторной функции скалярного аргумента. Уравнение касательной к кривой. Уравнение нормальной плоскости Вернемся к формулам (1') и (1и) предыдущего параграфа: г = р(1)2+ 4(1)~'+ Х(2)( ш ~ ( 1 ) !ип 4(() = фо, й Х(5) =Х г-гго ТогДа говоРЯт, что вектоР го = дог+ фо.7 + Хо" есть Предав вектора г = 2(1), и пишут (рис. 199) 1пп г(5) = го. г-+го Рис. 299 или г = г (5).
При изменении 2 вектор г изменяется в общем случае по величине и по направлению. Говорят, что г есть векпгорная функция от скалярного аргумента г. Допустим, что зта ПРИЛОЖЕНИЯ ЛИФФЕРЕНЦИАЛЪНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ 1гл. ~х Из последнего равенства следуют о.н видные равенства: !Нп [г«) — гв[ .= 11п1 Яо([) — ~ро)2 ч [ы«) — ыо[2 '- [х(г) — хо)' = 0 ы.м ым, и 1нп [г(Г)[ = [го[. Перейдем теперь к вопросу о производной векторной фупкцпи скалярного аргумента т«) = 'Р«)з + Ф(г)у + Х«)к предполагая, что начало вектора г«) находится в на|зле координат. Мы знаем, что последнее уравнение является уравнением некоторой пространственной кривой.
Возьмем какое-нибудь фиксированное значение 1, соответствующее определенной точке М на кривой, и дадим 1 приращение ай тогда мы получим вектор г«+ ~И) = д« - ~2)т'+ Л«Ч- ~1)У'+ Х«+ Ь1)к., который определяет на кривой некоторую точку М1 (рис. 200). Найдем приращение вектора М, Ф РЯс.
200 Если функции у«), ф(г)., Х«) имеют производные при выбранном значении 1, то множители, стоящие при з, у, Й, в пределе при Ьй -Р 0 обратятся в производные у'«), 10'«), Х'«). Следовательно, в этом случае предел — при Ьг — > 0 существует и равен вектору Ьг оц Р'«)2+Ф'«)У'+ Х'«)й: 1цп ~~ — — ~р'(1)т+ йе«)у + Х'«)й, Вектор, определяемый последним равенством, называется произ- водной от вектора г«) по скалярному аргументу й Производную обозначают символом — или г . ег щ Ьг = г(Г+ Ы) — г(Г) = [р«+ Ьг) — |р«))2+ + [Я«+ ~1) -Ф«))у+ [х«+ ~г) — х«))й На рис.
200, где ОМ = т«), ОМ1 = т~1+ Ьг), это М дг — приращение изображается вектором ММ1 = Ьг«). г(И П (1 Рассмотрим отношение Д2 приращения век- О торной функции к приращению скалярного аргут(/у-Л1 мента; это, очевидно, есть вектор, коллинеарный с вектором Ьг«), так как получается из него умножением на скалярный множитель 1/Ьй Мы можем записать этот вектор так: — У 'Р Н;Р Н'+*0 ФН Д".~~..ЬН~ д2 ас + а~ у+ тм ПРЕДЕЛ И ПРОИЗВОДНАЯ ВЕКТОРНОЙ ФУНКЦИИ 277 Таким образом, = чз (г) + чт (Г)з + Х (г)тс (2) или г = хе+ тут+ зй в точке М(х, у, з), имея в виду, что в уравнении кривой х = у(7), у = И7), = х(г) Уравнения прямой, проходящей через точку М(х,у,х), имеют вид Х вЂ” к У вЂ” у Х вЂ” з где Х, тт, о' — координаты переменной точки прямой, а т, и, р -- величины, пропорциональные направляющим косинусам этой прямой (т.е.
проекциям направляющего вектора прямой). С другой стороны, мы установили, что вектор Нг Нв ° ау т7з — = — в+ — у+ — й (Й ач Нс нс направлен по касательной. Поэтому проекции этого вектора являются числами, пропорциональными направляющим косинусам касательной, а значит и числам т, и, р.
Следовательно, уравнении касательной будут иметь вид (4) Нх дт7 Нз а с Йс к винтовой линии = папе Пример 1. Написать уравнения касательной к =асовй у=аяпб з при произвольном значении с и при с = гт~4. Решение. — = -аяпй — = асана нх "у Нс ' 47 и — = ага. нс Ио формуле (4) имеем: Л вЂ” асове Л вЂ” аяп1 Х вЂ” аше -аяпе асове ага Мы будЕм предполагать, что в рассматриваемых точках ~.й-~ ф О. 1Нг — = — з+ — 7'+ — й.
аг Нх Ну ив т нс нс ти ты (2 ) Нт. Выясним направление вектора —. Ж' Так как при тат — Р О точка Мт приближается к точке М, то направление секущей ММ1 в пределе дает направление касательной. тв Следовательно, вектор производной — направлен по касательной ~й к кривой в точке М. Длина вектора — определяется формулой ~ и нс — (р'(7))2+[р'(7))з+(Хт(Г)32. (3) На основании полученных результатов легко написать уравнение касательной к кривой 270 ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИХЛЬНОГО ИС!ЧИСЛЕНИЯ П'Л !Х В частнОсти, прн ! = — получим: к аъ'2 2 аъ!2 Х вЂ”вЂ” 2 аъ'2 2 гя 4 ат а~Г2 2 или аъ'2 1, аЧ2 2 2 т пав 4 шъ!2 Так же как и в случае плоской кривой, прямая, перпендикулярная к касательной и проходящая через точку касания, называется нормалью к пространственной кривой в данной точке.
Нормалей к данной пространственной кривой в данной точке можно, очевидно, провести бесчисленное множество. Все они лежат в плоскости, перпендикулярной к касательной прямой, Эта плоскость называется нормальной плоскостпью. Из условия перпендикулярности нормальной плоскости к касательной (4) получаем уравнение нормальной плоскости; ~'(Х вЂ” х)+ '— "()' — у)+ 4'(г — ) = О. са !й 4! (5) Пример 2. Написать уравнение нормальной плоскости к вин!овой линии в точке, для которой ! = 4. Решение.
На основании примера ! и формулы (5) получаем: — (Х вЂ” — ) + (У вЂ” — ) + шъ 2(Х вЂ” аш — ) = 0 аъ'2 аъ'2 7! 2 2 4 — Х + ! -~- шъ'2И = атп! —" ъ'2. 4 Ф!(х, у, х) =О, Фй(х, у, г) =О. (6) Выразим координаты х, у, е этой кривой как функции некоторого параметра й х = Чр(Г) у = 4У(() г = Х(1). (у) Будем предполагать, что !р(т), 1(!(г), Х(2) — — дифференцируемые функции от й Подставляя в уравнения (6) вместо х, у, е выраженные через ь' их значения для точек кривой, получим два тождества относительно й Ф1(М(1) Ф(2) Х(1)) = О, Фй(Р((), ) ((), Х(2)] = О. (8а) (86) Выведем теперь уравнения касательной прямой и нормальной плоскости пространственной кривой в случае, когда эта кривая дана уравнениями 279 ЦРетгег! и НРОизводнАН ВектОРнОЙ Функции Дифференцируя тождества (8а) и (8б) по 1, находим: дф, дх дф! ду дф, дг — — + — — + — — =0,1 дх д! ду д! дг д! Из этих уравнений следует, что дх дф! дфг дф! дфг ду дф! дфг дф, дфг д! ду дг дг ду дг дг дх дх дг (10) дг дф! дфг дф! дфг ' дг дф! дфг дф! дфг д! дх ду ду дх д! дх ду ду дх дф! дфг Мы здесь предполагаем, разумеется, что выражение — — ~ О, однако можно доказать, что окончательные формулы дф! дфг ду дх (11) и (12) (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
