Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 46
Текст из файла (страница 46)
Решение. а) Находим направляюшие косинусы вектора Я!с Рис. 179 сова = 2/ъ/4 -« 1 е 9 = 2/ъсГ4, сов д = 1/Л4, сов г = 3/ъ/Г4. Следовательно, ди ди 2 ди 1 ди 3 дх ъ/Г4 ду ъ/Г4 дх ъ/14 Частные производные ди дх — = гу, ди ди — = 22 ди дх в точке М(1, 1, 1] будут (ди) 2 (ди) ( ди ) — 2 Итак — = 2 — -«2. — -«2.
ди 2 1 3 12 де ъ/Г4 усГ4 ъ/Г4 ъ/Г4 б) Находим направляюшие косинусы вектора Язс сов а = 1/ъ'3, сов д = 1/ъ'3, сов г = !/ъ 3. Следовательно, — = 2 - — .!. 2 — -!- 2 ° — = — = 2ъ/3. ди 1 1 1 б дв2 ъ'3 ъгз ъ'3 ъ'3 Заметим для дальнейшею, что 2ъ/3 > 12/ъ/Г4 (рис. !79). Таким образом, переходя к пределу в равенстве (3), получим: — = — соз о + — сов/7 + — сов'у, ди ди ди ди дв дх ду дх (5) Из формулы (5) следует, что, зная частные производные, легко найти производную по любому направлению Я. Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению. Так, например, при о = О, /2'=.г/2, у = и/'2 получаем: — = — созО+ — созвг/2+ — созв/2 = —.
ди ди ди ди сЭи дв дх ду дв дх Пример. Дана функпия и=х -!-у -1-в . 2 247 1 нв ГРАДИЕНТ 8 15. Градиент В каждой точке области П, в которой задана функция и = и1х,у,г), определим вектор, проекциями которого на оси кода ди ди ординат являются значения частных производных — — — этой ди' дг' дг функции в соответствующей точке: 8гвг1и = — 1+ — З + — Й.
ди ди ди (1) дг ду дс Этог вектор называется градигнтолс функции и1х,у,г). Говорят, что в области В определено векгаорног поле градиентов. Докажем, далее, следующую теорему, устанавливающую связь между градиентом и производной по направлению. Теорема. Пусть дано скалярное поле и = и1х,у,г) и определено в этом скалярном лоле поле градиентов 8гади = — 4+ — у + — Й. ди . ди . ди дг дг дг Рис. 180 Если обозначим угол между векторами 8гвг)и и оо через ю 1рис. 180), то можем написать: ~ 8гас)и) соз1о =— 13) или пр.зо 8гас)и = —.
ди дз ' (4) Теорема доказана. Рис. 181 На основании доказанной теоремы наглядно устанавливается связь между градиентом и производной в данной точке по любому направлению. В данной точке М(х, у, г) строим вектор 8гаои (рис. 181). Строим сферу, для которой 8гас)и является диаметром.
Из точки М проводим вектор Я. Обозначим точку пересечения Производная — по направлению некоторого вектора Я равняется ди дз проекции вектора 8гади на вектор Я. доказательство. Рассмотрим единичный вектор оо, соответствующий вектору Я: 5~ = гсозсг+1соз)1+ ксоз у. Вычислим скалярное произведение векторов 8гапи и оо: 8гас) и Я = — сое Гг + — сое д + — соз у. о ди ди д дг д„ дз (2) Выражение, стоящее в правой части этого равенства, есть производная от функции и(х,у, г) по направлению вектора Я.
Следовательно, мы можем написать: 8гаг) и Я дз дз 248 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х игл уп! вектора Я с поверхностью сферы через Р. Тогда очевидно, что МР = ) бган и) созю, где ьо — — угол между направлениями градиента и отрезка МР (при этом у < — ), т.е. М Р = —.
Очевидно, что при изменении направления вектора Я на противоположное производная изменит знак, а ее абсолютная величина останегся прежней. Установим некоторые свойства градиента. 1) Производная в данной точке по направлению вектора Я ил»еет наибольшее значение, если направление вектора Я совпадает с направлением градиента; зто наибольшее значение производной равно ) игаг) и!. Справедливость этого утверждения непосредственно следует из равенства (3): наибольшее значение — „будет при ьо = О, и в этом ди случае — = (игвг)и!.
2) Производная по направлению вектора, перпендикулярного к вектору йгаби, равна нулю. Это утверждение следует из формулы (3). Действительно, в этом случае ьо = —,, сов»о = О и —" = !игаг)и~сову = О. Пример 1. Дана функция и=к Фу+». » а) Определим грщгнент н точке М(1, 1, 1). Выражение градиента этой функции н произвольной точке будет йгаб и = 2к» Э 2уу + 2» и.
Следовательно, (йгаби)м = 24 Ф21 +2й, )бгаби)м = 2ъ'3. б) Определим производную от функции и в точке М(1,1,1) а напранленнн градиента. Направляющие косинусы граднента будут 2 1 Ктз я и' сока = —, соз Г = —. 1 1 уГз', з' Следовательно, — =2 — Э2 — +2 — =2ъгЗ, аи У»З УЗ УЗ т.е —" = )ига»1и). а» Замечание. Если функция и = и(х,у) есть функция двух переменных, то вектор йгаг)и = — з+ — з ди ° ди ° а* ау ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА ДЛЯ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННЫХ 249 лежит в плоскости Оху.
Докажем, что кгас)и направлен периендикулярно к линии уровня и(х,у) = с, лежащей в плоскости Оху и проходящей через соответствующую точку. Действительно, угловой коэффициент )41 касательной к линии уровня и(х, у) = с будет раи вен )с1 = — -к. Угловой коэффициент )ст градиента равен кт = -к. и, и. Очевидно, что )44)ст = — 1. Это и доказывает справедливость нашего утверждения (рис. 182). Аналогичное свойство градиента функции трех переменных будет установлено в 3 6 гл. 1Х.
4) с) и Рис. 184 Рис. 183 Рис. 182 градиент функции и = — Ф 1ко- (рис, 183) в точке Пример 2. Определить М12,4). Решение. Здесь дп дх Следовательно, Егаби= 24 Р -1. 3 Уравнение линии уровня 1рис. 184), проходящей через данную точку, будет хт У 22 + — = 2 3 3 3 16. Формула Тейлора для функции двух переменных Пусть функция двух переменных . = 1[х,у) непрерывна вместе со всеми своими частными производными до [и+ 1)-го порядка включительно в некоторой окрестности точки И[а,о).
Тогда, аналогично тому, как это было в случае функции одного переменного [см. 3 6 гл. 1Ч), функцию двух переменных представим в виде суммы многочлена п-го порядка по степеням [х — а) и [у — о) и некоторого остаточною члена. Ниже будет показано, что для случая и = 2 эта формула имеет вид Пх у) = Ао + Р[х — а) + Е[у — 6) + + —,[А[х — а) + 2В(х — а)[у — б) + С[у — о)~[+ Вт, [1) где коэффициенты Ао, Р, Е, А, В, С не зависят от х и у, а Йт — остаточный член, структура которого аналогична структуре остаточного члена в формуле Тейлора для функции одною переменного. 250 ~ГЛ, У~П ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ Применим формулу Тейлора для функции ((х,у) одного переменного у, считая х постоянным (ограничимся членами второго порядка) ( -ь)' ь)з 1(х,у)=З(х,Ь)+~— 2" (х,Ь)+ — )и (х у)+ У 2'и (х г1з), (2) где с"з — — х+Вг(х — а), О < Вг < 1; г 2,"(х у) = 2,"(а») + — ''1„"*(а, Ь) + .(„".'*(6, Ь) (4) где ~г = х + Вз(х — а), О < Вз < 1; ,(„"„(х, Ь) = ~„"„(а, Ь) + — *а („"„Р, (Сз, Ь), (3) где 45 = х + В4 (х — а), О < Ва < 1.
Подставляя выражения (3), (4) и (3) в формулу (2), получим: (х- а)з Д х, у) = ((а, Ь) + *:а ~' (а, Ь) + — Д' ( а, Ь) + — Д" (с ы Ь) + (у — ь)' ь)з Располагая слагаемые так, как указано в формуле (1), получим: Дх, у) = 2 (а, Ь) + (х — а) (х(а, Ь) + (у — Ь) ~„'(а, Ь) + + 2,](х — а)г(," (а, Ь) + 2(х — а)(у — Ь)("„(а, Ь) + (у — Ь) („"„(а, Ь)] + + з, Их — о) У* Яз Ь) + 3(х — а) (у — Ь)(,",'У(сг, Ь) + + 3(х — а)(у — Ь) ~,"„'„(Яз, Ь) + (у — Ь)51НР (а,г1д)].
(6) Это и есть формула Тейлора ири и = 2. Выражение 412 = ~,((х — а)зД,',(ст,Ь) +3(х — а)г(у — Ь)2,", Яг,ь) + + 3(х — а)(у — Ъ)22хпз'„(гз, Ь) + (у — Ь)~(УКУУ(а, г1з)] называется остаточным членом. Обозначим, далее, х — а = гаях, р — Р=ар, ар= '~а*гр(арР пр Рр „П: дхгду дхду' д„з где гзз —— Ь+Вз(У вЂ” Ьз), О < Вз < 1. ФУнкции Дх, Ь), (Р(х Ь) (упу(х Ь) разложим по формуле Тейлора по степеням (х — а), ограничиваясь смешанными производными до третьего порядка вклк>чительне: (х а)г (х-а)з ,((х, Ь)=~(а, Ь)+ — *('(а, Ь)+ ~п (а, Ь)+ — ~"' ЯМЬ), (3) 251 максимум и минимум пункции Так как ~сгх( < /бр, )агу~ < сгр и третьи производные, по условию, ограничены, то коэффициент при /5р~ ограничен в рассматриваемой области; обозначим его через оо.
Тогда можем написать; К, = о,/5рз. Формула Тейлора (6) в принятых обозначениях для случая и = 2 примет вид ) (х, у) = /(а, 6) + /гх~' (а, 6) + /бу/к(а, 6) + + ~,[55х ~" (а, 6) + 2Лх/1У~"„(а,Ь) + сгУ )клк(а,Ь)) + оосгр . (6 ) При любом и формула Тейлора имеет аналогичный вид. 8 17.
Максимум и минимум функции нескольких переменных Определение 1. Мы говорим, что функция з = )'(х,у) имеет максимум в точке Мо(хо,уо) (т.е. при х = хо и у = уо), если )(хо,уо) > /'(х,у) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (хо,уо) и отличных от нее. Определение 2. Совершенно аналогично говорят, что функция г = /(х,гу) имеет минимум в точке мо(хо,уо), если У(хо уо) < У(х,у) для всех точек (х,у), достаточно близких к точке (хо,уо) и отличных от нее. Максимум и минимум функции называются зкспгремумами функции, т.е. говорят, что функция имеет экстремум в данной точке, если эта функция имеет максимум или минимум в данной точке. Пример 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
