Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 43
Текст из файла (страница 43)
ар тет ПОЛНОЕ ПРИРАЩЕНИЕ И ПОЛНЫЙ ДИФФЕРЕНПИАЛ ~ 7. Полное приращение и полный дифференпнал По определению полного приращения функции х = г"(х,у) имеем (см. 5 3 гл. УП1)1 Ьх =,((х+ Ьх,у+ Ьу) — у(х,у). Предположим, что ((х,у) в рассматриваемой точке (х,у) имеет непрерывные частные производные. Выразим Ьх через частные производные. Для этого в правой части равенства (1) прибавим и вычтем У(х,у+ Ьу)1 Ьх = [)'(х+ Ьх,у+ Ьу) — ((х,у+ Ьу)]+ [Дх,у+ Ау) — Дх,у)]. (2) Выражение 1(х, у + Ьу) — у (х, у), стоящее во второй квацратной скобке, можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного у (значение х остается постоянным). Применяя к этой разности теорему Ла- гранжа, получим: х(х "+ ~у) х(х'у) ~у д (3) где у заключено между у и у+ Ьу.
Точно так же выражение, стоящее в первой квадратной скобке равенства (2), можно рассматривать как разность двух значений функции одного переменного х (второй аргумент сохраняет одно и то же значение у+ Ьу). Применяя к этой разности теорему Лагранжа, получим: У(х + Ьх, у + Ьу) — ((х, у + Ьу) — Лх (4) где У заключено между х и х+ Ьх. Внося выражения (3) и (4) в равенство (2), получим: дПх,у+ Ьу) д/(х,у) дх ду (5) равен тапгенсу угла 1), образованного касательной РВ к кривой РТ в точке Р с положительным направлением оси Оу: ду —,' = сб)3. дх Итак, часгная производная — чясленно равна тангенсу угла паду клона касательной к кривой, получающейся в сечении поверхности х = ((х, у) плоскостью х = сопзц дх Аналогично частная производная —, численно равна тангенсу дх угла наклона о касательной к сечению поверхности х = 1(х,у) плоскостью у = сопз1.
228 (гл, лп еункции нескольких пвгвмвнных Так как, по предположению, частные производные непрерывны, то дДх,у ь ~у) дУ(х,у) 1нп аЬ. О д дх ау-~о (6) дУ(х, у) дт(х, у) 1нп зх-~о ду ду ау- о (так как х и у заключены, соответственно, между х и х+Ьх, у и у+ Ьу, то при Ьх — о О и Ьу -о О х и у стремятся, соответственно, к х и у). Равенства (6) можно переписать в виде дДх, у + Лу) дДх, у) 'д.
= д.' +7 дУ(х,у) дУ(х,у) ду ду (6') где величины 71 и уо стремятся к н лю, когда Ьх и Ьу стремятся к нулю (т.е. когда Ьр = Ьхо + Ьуо -О О). В силу равенств (6') соотношение (5) принимает вид д)(х, у) А дф(х у), +,„+ (5') ду 71 Сумма двух последних слагаемых правой части является беси+ р * шр= ьутър. Действительно, отношение ш х -~ О при Ьр -+ О, так как у| ар Ьх является бесконечно малой величиной, а †' — ограниченной зр („,,~ ) ~ — ~ < 1).
Аналогично проверяется, что — к -о О. ох( тод зр Сумма первых двух слагаемых есть выражение линейное относительно Ьх и Ьд. При Д(х,у) Ое О и Ц„'(х,у) ~ О зто выражение представляет собой главную часть йриращения, отличаясь от Ьх на бесконечно малую высшего порядка относительно ь -,'ьи+ьр'. Оцрепеление. Функция х = у(х,у), полное приращение Ьх которой в данной точке (х, у) может быть представлено в виде суммы двух слагаемых: выражения, линейного относительно Ьх и Ьр, и величины бесконечно малой высшего порядка относителыю Ьр, называется дифферекцируемой о даккой гаечке, а линейная часть приращения называется полным дифференциалом и обозначается через <Ы или о(Г. Из равенства (5') следует, что если функция у(х,у) имеет непрерывные частные производные в данной точке, то она дифференцируема в этой точке и имеет полный дифференциал <Ь = у,'(х, у)Ьх + ~„'(х, р)Лу.
Равенство (5') можно переписать в виде Ьх = о(х+ у1отх+ 72ыу полное пгиглщвник и полный дио ванн~дилл 229 5 71 и с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ьр можно написать следующее ттриблизесенное равенство: Приращения независимых переменных Ьх и сау мы будем называть дифферень(иалими независимых переменных х и у и обозначатьч соответственно, через с(х и с(у. Тогда выражение полного дифференциала примет вид удх ! ду д/ с(х = — с(х + — с(у. Рис.
174 дх ду Таким образом, если функция х = у(х,у) имеет непрерывные частные производные, то она дифференцируема в точке (х,у), и ее полный дифференциал равен сумме произведений частных производных на дифференциалы соответствующих независимых переменных. Пример 1. Найти полный дифференциал и полное приращение функции т = ху в точке (2; 3) при Гьх = 0,1, Ь1 = 0,2. Решение.
йх = (х + Гьх)(у 4- Ьу) — ху = усьх + хГьу Ь йхйу, с(х = — Их+ —. йу = у Их+ хну = уЬх+ хау. дв дв дх ду Следовательно, Гьх= 3 ° 01+2 024-01 02=072, йв = 3 0,1 + 2 0,2 = 0,7. На рнс. 174 дана иллюстрация к этому примеру. Предыдущие рассуждения и определения соответственным образом обобщаются на функции любого числа аргументов. Если имеем функцию любого числа переменных 7о = у (х, у, х, и,..., 1), причем все частные производные —, ..., — непрерывны в д* ду .' 01 точке (х, у, х, и,..., 1), то выражение Йо = —, Их+ —, с(у+ — с(х+ + — сй дУ дУ дУ дУ дх ду дв де является главной частью полного приращения функции и называется полнылс дифференциалолс. Доказательство того, что разность Ью — йо является бесконечно малой более высокого порядка, чем (Ьх)2+ (са)7)2+ ..
+(сь1)2, проводится совершенно так же, как и для функции двух переменных. „в „в Пример 2. Найти полный днфферевциап функции и = е* +в ып в трек переменных х, у, я. )гл. нш 230 яункции наскольких пнгвмкнных Решение. Заметив, что частные производные г г — = е* +" 2гяп дг непрерывны при всех значениях х, у, г, находим: гг+ г Ии = дн йг -~- — н Иу + —.и дг = е* +" (2г япг г дх + 2у яп г ду -г вал 2г Иг). дг ду дг 2 8. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях Пусть функция д = у(х,у) дифференцируема в точке (х,у). Найдем полное приращение этой функции Ьг = г(х+ сгх,у+ Ьу) — ((х,у), откуда ((х + Ьх, у + Ьу) = ((х, у) + Ьж Мы имели приближенную формулу: Ьг с(г, (2) где сЫ = — Ьх+ — 2у.
дг' дг' дх ду Подставляя в формулу (1) вместо Ьг развернутое выражение для г(», получим приближенную формулу: У(х + Ьх, у + Ьу) — ((х, у) + — -' — "~ Ьх +, 'У Ьу, (4) верную с точностью до бесконечно малых высшего порядка относительно сгх и Ьу. Покажем, как используются формулы (2) и (4) для приближенных вычислений. Задача. Вычислить объем материала, нужного для изготонления цилиндрического стакана следующих размеров (рис. !75): радиус внутреннего цилиндра Й, высота внутреннего цилиндра О, толщина стенок и дна стакана Й. Решение. Дадим два решения этой задачи: точное и приближевное. дн ду дн дг г г е* ~г 2увйг~г, г г гг г е* +г 2яп г сов г = е* "" яп 2г ПРИЛО'КЕНИЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛА К ОЦЕНКЕ Г1ОГРЕШНОСТИ 231 а) Точное решение.
Искомый объем о равен разности объемов внешнего цилиндра и внутреннего цилиндра. Так как радиус внешнего цилиндра равен К.~- й, а высота Н .~- й, то (К+й)т(Н+й) „Ктн нли е = т(2КНй Р Ктй + Нйт + 2Кйт + йз). (5) б) Приближенное решение. Обозначим через !" объем внутреннего цилиндра, тогда 7 = кКтН. Это — функция двух переменных К и Н. Если увеличим Я и Н на й, то функция 7" получит приращение сьг"; но зто и будет искомый объем и, т е о = г3) . На основании соотношения (1) имеем приближенное равеяство и ш гв, или о — гзК+ — !3Н, дг" ду' дК дН Но так как Рис.
175 ду' ду — = 2тКН, — — ггЯ, ГЗК = ЬН = й, то получаем: (б] о ш т(2КНй + К й). Сравнивая результаты (5) и (б), видим, что онн отличаются на величину к(Нйт + 2Кйт + йз), состоящую из членов второго н третьего порядка малости относительно й. Применим зти формулы к числовым примерам, Пусть К = 4 см, Н = 20 см, й = 0,1 см. Применяя (5), получим точно. е = гг(2 4 ° 20 0,1+4 О,! +20 0,1 Е2 4 О,!в+ 0,1 ) = 17,881к.
Применяя формулу (б), получим приближенно: е ш гг(2 4 20 0,1+ 4 0,1) =!7,бк. Следовательно, приближенная формула (б) дает ответ с ошибкой меньшей, чем 0,3к, что составляет 100 17 ' 1 %, т.е, менее 2% измеренной величины. 0.3к 3 9. Приложение дифференщеала к оценке погрешности при вычислениях Пусть некоторая величина и является функцией величин х, у, я,...,!г и = 7'(х, У, Я,..., 1), причем определяя каким-то способом значения величин х, у, г, ..., 1, мы допускаем погрешности глх, оку, ..., Ы.
Тогда значение 232 )гл. юп ФУНКЦИИ НБСКОЛЬКИХ ПЕРБМЕННЪ|Х и, вычисленное по неточным значениям аргументов, получится с погрешностью сап = Дх+Ьх, у+(."гу, ..., х+ сах, 1+ 131) — Дх,у,х,...,г). Ниже мы займемся оценкой погрешности сти, если известны погрешности сах, с1р, ...,Ы. При достаточно малых абсолкугных значениях величин сьх, сад( ..., Ь1 можем приближенно заменить полное приращение полным дифференциалом (зи — Ьх + — 1ар + + — Ь1. дт' дз дз дх ду д| Здесь значения частных производных и значения погрешностей аргументов могут быть как положительными, так и отрицательными, Заменяя их абсолютными величинами, получим неравенство ~ЬН~ < 1дх! lЬх/+ ~д ~((~")+ "'+ ~ д| !)()г') Если через )Ь*х!, )са'р/, ..., )са'и/ обозначим максимальные абсолюгпные погрешности соответствующих величин 1границы для абсолютных величин значений погрешностей), то можно, очевидно, принять: Примеры.
1. Пусть и = х + у + х, тогда (Ь'и) = ((3 "х) + )(1 у( -|- )С(*хй 2. Пусть и — х — у, тогда )Гв"и) = )(3 х) + )(3'у). 3. Пусть и = ху, тогда ((3" и! = )хПс(*у) + )у( )гь'х!. 4. Пусть и = —, тогда х у' (у) ((1'х( + )х) (Гь'у! у 2 р 5. Гипотенува с и катет а прямоугольного треугольника АВС, определенные с максимальными абсолютными погрешностями ((1" с) = 0,2, ((3*а) = 0,1, соответственно равны с = Т5, а = 32. Определить угол А по формуле Мп А = — и а с максимальную абсолютную погрешность )(3'А! при вычислении угла А.
Решение. Нп А = —, А = вгсвш —, следовательно, а . а с' с' дА 1 дА усст — а~ ос с~гс~ — ат По формуле (2) получим: (т'(= ь+ " (А= ме ( ( -в( ' ( (*-( (* гзз приложение диФФеренциАПА к Оценке пОГРешнОсти Таким образом, А = агсв!и — ш 9 24". 32 75 б. Пусть в прямоугольном треугольнике АВС катет Ь = 121,5б аь угол А = 25' 1'40", при этом максимальная абсолютная погрешность при определении катета Ь равна !Гь" Ь! = 0,05 м, максимальная абсолютная погрешность при определении угла А равна !ГЬ*А| = 12". Определять максимальную абсолютную погрешность при вычислении катета а по формуле а = Ьсб А. Решение. 1о формуле (2) находим: |Гз'а! = | 15 А| !ГА*Ь!+ !Гз*А|.
|Ь| Подставляя соответствующие значения (н помня, что |гт" А| нужно выразить в радианах), получим: 0 05+ т 0 0257+ 0 0057 1!ДЗ24 созт 25'21'40" 2052б5 Отношение погрешности Ьх некоторой величины к приближенному значению х этой величины называется отпноситпельной погрешносшью величины. Будем его обозначать бх, бх = —. гЬх НО д~ а( — = — 1п!Я, ..., — = — !и!7|. ау а д! а у ау ' '''' у а! д~ — шит! |1| дс д Поэтому равенство (3) можно переписать твк |5*и! = ) — !п|Д~ (Ь*х(+ ) — !и|(|! |15'у|+ . + ( а !и|Я) |!5*1!, (5) или коротко: |б" и| = )Ь' 1п |Я). (6) Из формул квк (3), так и (5) следует, что максимальная относительная погрешность функции равняется максимальной абсолютной погрешности логарифма этой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
