Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 41
Текст из файла (страница 41)
Найти (3 + 51)(4 — 1). ОП1в. 17 -1- 171. 2. Найти (6 4- 111)(7 -1- 31). Огне. 3 — 1 7 19, 9+ 951. 3. Нанти . Осле, — — — 1. 4. Найти (4 — 71) . Ото. — 524+ 71. 4 -~- 51 41 41 1 -1- 1 5. Найти 1/1. Отв. х . 6. Найти ь/ — з — 121, Оте. Х(2 — 31). 7. Привести чг2 ' к тригонометрическому виду выражения: а) 1+1. Ото. з/2(соз 4 -~-гюп 4). 7х 7я 1+ ь/3 ' — /3 б) 1 — 1.
Ошв, ъ/2(сое — -1-зюп — ). 8. Найти ~и'~, Ошв. ; — 1; 4 4 2 2 9. Выразить через степени з)пх я сов х следующие выражения: юп 2х, сов 2х, юп4х, сое4Х, ып5х, созбх. 10. Выразить через синус и косинус кратных дуг: соз х, ссз х, соз х, соз х, сок х, з1п х, з1п х, з1п х, з1п х. 11. Пх) = х — 4х +8Х вЂ” 1 разделить на х + 4, Огпв. /(Х) = (х + 4)(хз — Зх + 40) — 161, т.е. частное = хз — 8х+ 40; остаток У( — 4) = — 161. 12. /(Х) = х4 + 12хз+ 54хт + 108х+ 81 разделить на х+ 3. Оп1е. Пх) = (х -1-3)(хз -1- 9хз + 27х+ 27).
13. Пх) = хт — 1 разделить на х — 1. Ошв. Пх) = (х — 1)(хе + хь + хе + хз + хз + х Ь 1). Разложить на множители с действительными коэффициентами многочлены1 14. Дх) = хе — 1. Огпе. /(Х) = (х — 1)(х -~- 1)(хз + 1). 15. Пх) = хз — х — 2. Огле. /(Х) = (х — 2)(х -~- 1). 16. /(Х) = х -1- 1. Огле. /(х) = (х + 1)(хз — х + 1). 17. На основании эксперимента получены значения функции у от х1 при хз = 2. уз = 10 уз = 6 при хз = 1, 91=4 при х1=0, Представить приближенно функцию многочленом второй степени.
Огне. хз-~-х-1-4. 18. Найти многочлеп четвертой степени, принимающий при х = 1, 2, 3, 4, 5, со- 7 79 151 226 ответственно, значения 2, 1, -1, 5, О. Огне. --хе + †— — х + — х — 35. б 6 3 3 19. Найти многочлен, по возможности, низкой степени, принимающий при х = 2, 4, 5, 10, соответственно, значения 3, 7, 9, 19. Огле. 2х — 1. 20. Найти многочлены Бернштейна 1-й, 2-й, З-й и 4-5 степеней для функции у = Иптх на 3 /3 отрезке (0,1). Отв.
В1(х) = 0; Вз(х) = 2Х(1 — х); Вз(х) = — х(1 — х); 2 В4 (х) = 2Х(1 — х) ((2ч 2 — 3)х — (21/2 — З)х -1- ь/2]. Глава ЧП1 ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ 2 1. Определение функции нескольких переменных Рассматривая функции одного переменного, мы указывали, что при изучении многих явлений приходится встречаться с функциями двух и более независимых переменных. Приведем несколько примеров. Пример 1.
Площадь 5 прямоугольника со сторонами, длины которых равны х и у, выражается формулой Каждой паре значений т и у соответствует определенное значение площади Я; 5 есть функция двух переменных, Пример 2. Объем г' прямоугольного параллелепипеда с ребрами, длины которых равны х, у, в, выражается формулой К=яра Здесь К есть функция трех переменных т, го ж Пример 3. Дальность Я полета снаряда, выпущенного с начальной скоростью ео из орудия, ствол которого наклонен к горизонту под углом ЕЬ выражается формулой Я= ез Мп 2д 9 (если пренебречь сопротивлением воздуха). Здесь д -- ускорение силы тяжести.
Для каждой пары значений оо и щ эта формула дает определенное значение й, т.е. Я является функцией двух переменных ос и И. Пример 4. тз Ь,т+ т+сз и= тгг+ х~ Здесь и есть функция четырех переменных х, у, г, К Определение 1. Если каждой паре (х,у) значений двух, независимых друг от друга, переменных величин х и у, из некоторой области их изменения 0 соответствует определенное значение величины я, то мы говорим, что е есть функг)ыя двух независимых перелгенмых х и гй, определенная в области О. Символически функция двух переменных обозначается так: д = ((х,у), г = Г(х,в) и т, д. :;гл юп 218 ььнкцип нескольких пвгвмгнных Функция двух переменных может быть задана, например, с помощью таблицы или аналитически с помощью формулы, как это <делапо в рассмотренных выше четырех примерах.
Нв основании формулы можно составить таблицу значений функции лля некоторых пар значений независимых переменных. Так, для первого примера можно составить следующую таблицу: В этой таблице на пересечении строки и столбца, соответствующих определенным значениям х и у, проставлено соответствующее значение функции о'. Если функциональная зависимость г = г'(х,у) получается в результате измерений величины г при экспериментальном изучении какого-либо явления, то сразу получается таблица, определяющая г как функцию двух переменных. В этом случае функция задается только таблицей. Как и в случае одного независимого переменного, функпия двух переменных существует, вообще говоря, не при любых значениях х н Определение 2.
Совокупность пар (х, у) значений х и у, при которых определяется функция г = 1(х,у), называется областью определения или областью сущесгавоваиил этой функции. Область определения функции наглядно иллюстрируется геометрически. Если каждую пару значений х и у мы будем изображать точкой ЛХ(х, у) в плоскости Оху, то область определения функции изобразится в виде некоторой совокупносги точек на плоскосги. Эту совокупность точек будем также называть областью определения функции. В частности., областью определения может быть и вся плоскость. В дальнейшем мы будем главным образом иметь дело с такими областями, которые представляют собой часгпи нлосносгпи, ограниченные линиями.
Линию, ограничивающую данную область, будем называть границей области. Точки области, не лежащие на границе, будем называть внущренними точками области. Область, состоящая из одних внутренних точек, называется открытой или незамкнутой. Если же к области относятся и точки границы, то область называется замкнутпой. Область называется ограниченной, если существует такое постоянное С, что расстояние любой точки ЛХ области от начала координат О меныпе С, т.е.
~ОЬ1~ < С. 1 1) ОНРГДЕЛГ1НИЕ Е:УНКИИИ НЕГ1КОЛЬКИХ ПЬРЕМЕННЫХ 212 Пример б. Определить естественную область определения функции 2 = гх — у. Аналитическое выражение 2х у имеет смы1ш при любык значениях х и у. Следовательно, естественной областью определения функции является вся плоскость Оху. Пример 6. 2= ~1 х2 у2 Рис.
166 Для того чтобы 2 имело действительное значение, нужно, чтобы под корнем стояло неотрицательное число, т.е. х и у должны удовлетворять неравенству 2 — 2 ) О и и хт -~- 2 ( 1 Все точки М(х, у), коордиваты которых удовлетворяют указанному неравенству, лежат в круге радиуса 1 с центром а начале координат и на границе этого круга. Пример 7. 2 = 1л1х + у). Так как логарифмы определены только для положительных чисел, то должно удовлетворяться неравенство х + у > О или у > — х.
Это значит, что областью определения функции 2 является половина плоскости, расположенная над прямой у = — х, не включая самой прямой (рис. 166). Пример 8. Плошадь треугольника 5 представляет собой функци1о основания х и высоты у. Я = ху/2. Областью определения этой функции является область х > О, у > О (так как основание треугольника и его высота не могут быть ни отрицательными, ии нулем). Заметим, что область определения рассматриваемой функции не совпадает с естественной областью определения того аналитического выражения, с помошью которого задается функция, так как естественной областью определения выражения ха является, очевидно, вся плоскость Оху. 2 Определение функции двух переменных легко обобщить на случай трех или более переменных.
Опрщгеление 3. Если каждой рассматриваемой совокупности значений переменных х, у, х,...,и, 1 соответствует определенное значение переменной и1, то будем называть ю функцией независимых переменных х, у, 2,...,и, 1 и писать и1 = Г(х,у,х,..., и,1) или ю = ~(х,у,х,...,и,1) и т.п. Так же как и для функции двух переменных, можно говорить об области определения функции трех, четырех и более переменных. Так, например, для функции трех переменных областью определения является некоторая совокупность троек чисел (х,у,х). Заметим тут же, что каждая тройка чисел задает некоторую точку М(х,у,х) в пространстве Охух, Следовательно, областью определения функции трех переменных является некоторая совокупность точек пространства.
Функции ньокольких пвгьмьнных ьгл шп Аналогично этому можно говорить об области определения функции четырех переменных и = 1(х, у, х,1) как о некоторой совокупности четверок чисел (х, у,2,1). Однако область определения функции четырех или большего числа переменных уже не допускает простого геометрического истолкования.
В примере 2 приведена функция грех переменных, определенная при всех значениях х, у, х. В примере 4 приведена функция четырех переменных. Пример 9. Здесь ш — функция четырех переложенных х, у, 2, и, определевная прн значеннях нерененных, удовлетворяющих соотношению 1 — Х" — у — 2 — и . О. 2 2 2 8 2. Геометрическое изображение функции двух переменных Рассмотрим функцию х = 7(х,гу), определенную в области С на плоскости Оху х (эта область может быть, в частности, и всей плоскостью), и систему прямоугольных декартовых координат Оху (рис.
!б7). В каждой точке (х, у) восставим перпендикуляр к плоскости Оху и на нем отложим отрезок, равный )(х,у). Тогда мы получим в пространстве точку Р с координатами Рнс. !67 х,у,х =.г'(х д). Геометрическое место точек Р, координаты которых удовлетворяют уравнению (1), навык=х +1/ х настоя графиком функции двух переменных. Из курса аналитической геометрии мы знаем, Рнс. 168 что уравнение (1) в пространстве определяет некоторую поверхность. Таким образом, графиком функции двух переменных является поверхность, проектирующаяся на плоскость Оху в область определения функции.
Каждый перпендикуляр к плоскости Оху пересекает поверхность х = Дх,у) не более чем в одной точке. пример. Графнколл функции 2 = 22 + уз, как известно яз аналитической геометрии, является лараеолонд вращения (рнс. 168). Замечание. Функцию трех или более переменных изобразить с помощью графика в пространстве невозможно. '1лстное и пОлнОБ пРиРА1цение Функции ЕГП '3 3. Частное и полное приращение функции Рассмотрим линию РЬ пересечения ЦОЕРрхнОсти х = 1(х,у) а„х с плоскостью у = сопз1, параллельной плоскости Охи (рис. 169). , М.
Так как в этой плоскости у сохраняет постоянное значение, го вдоль У у 4- х а1 кривой РБ будет меняться только в О х ах зависимости от изменения х. Дадим Рис. 160 независимой переменной х приращение схх; тогда х получит приращение., которое называют частным приращением г по х и обозначают через Ьхг (на рисунке отрезок 55'), так что Ь г = 1(х + Ьх, у) — 1(х, у). (1) Аналогично, если х сохраняет постоянное значение, а у получает приращение сху, то х получает приращение, называемое частным приращением и по у.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
