Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Абсцисса аг точки пересечения касательной с осью Ох будет приближенным значением корня. Чтобы найти эту абсциссу, напишем пгивлиженное Вычисление кОРнеЙ уРАВнения 189 1е) уравнение касательной в точке В; Р— 2(хг) = 2 (х2)(х — х2). Заметив, что х = а1 при у = О, получим: аг — — Хг— 1(хг) (3) 2"(хг)' Проведя затем касательную в точке Вг(аг,Даг)), аналогично находим более точное значение корня аг. Повторяя этот прием несколько раз, мы можем вычислить приближенное значение корня с любой нужной нам точностью. Рис. !58 Рис.
159 Рис. 160 Отметим следующее обстоятельство. Если бы мы провели касательную к кривой не в точке В, а в точке А, то могло оказаться, что точка пересечения касательной с осью Ох находится вне интервала (хг, хг). Из рис. 158 и 159 следует, что касательную нужно проводить в том конце дуги, в котором знаки функции и ее второй производной совпадают.
так как на отрезке [хг,хг] вторая производная, по условию, сохраняет знак, то это совпадение знаков функции и второй производной на одном из концов обязательно имеет место. Это правило остается верным и для случая, когда ('(х) ( О. Если касательная проводится в левом конце интервала, то в формуле (3) вместо хг нужно подставить хг1' (3') В случае, когда внутри интервала (хг,хг) есть точка перегиба С, способ касательных может дать приближенное значение корня, лежащее вне интервала (хг, хг) (рис.
160). Пример 2. Применим формулу (3') к вычислению корни уравнения Цх) = х — бх + 2 = О, заключенного в интервале (О; 1). Имеем: У(0) = 2, У'(О) = (зхг — 6)! = -б, уп(х) = бх ~ )О, поэтому по формуле (3') получаем: аг = 0 — — = — = 0,333. 2 1 -6 3 КРИВИЗНА КРИВОЙ )гл, ч! !90 З.Комбинированный способ (рис. 1бЦ. У У=)(х) о ПРименЯЯ на отРезке [хс,хг] одновРеменно В2=/(а2) способ хорд и способ касательных, мы получаем две точки а! и ас, лежащие по разные стороны от искомого корня а (так как па '[а, хг /(а!) и /(а!) имеют разные знаки). далее, А '/(а ) х на отрезке [ас,а!] применяем снова метод 2 2 А =/(а ) хорд и метод касательных. В результате получаем два числа: аг и аг, еще более Рис. !б1 близких к значению корня.
Продолжаем таким образом до тех пор, пока разность между найденными приближенными значениями не станет меньше, чем требуемая степень точности. Заметим, что при комбинированном методе мы приближаемся к искомому корню одновременно с обеих сторон (т.е. мы находим одновременно как приближенное значение корня с избытком, так и приближенное значение корня с недостатком). Так, в рассматриваемом нами примере путем подстановки убеждаемся, что ПО,ЗЗЗ) > О, /(0,342) < О. Следовательно, значение корня заключено между найденными приближенными значениями: П,ЗЗЗ < х < 0,342. Ъгпражнения к главе 121 Цайти кривизну кривых в указанных точках: 1. Ьгхг + агут = агбг в точках (О, Ь) и (а, 0). Опав.
Ь/аг в точке (О, Ь); а/Ьг в точке (а, 0). 2. ху = 12 в точке (3,4). бхд Огне. 24/!25. 3. у = хг в точке (хс,у!), Оспе. (1+ Охс)з2'г 4 1буг 4х4 хз в г г точке (2, 0). Оспе, —. 5. хз Е уз = аз в произвольной точке, Огпв. 1/(3 Ьз/]ах«)) 2 найти радиус кривизны нижеследующих кривых в указанных точках; вычертить каждую кривую и построить соответствующий круг кривизны. 6. уг = хз в точке (4,8). Осле. Я = 80х/ГО/3, 7. хг = 4ау в точке (0,0). 02пе. )С = 2а. (64хс 4 а4у )зсг 8, 6гхг — агут = агзг в точке (хс,у!). Опге.
/С = 224 64 9.у=!пх в точке (1,0). Оспе. Я = Зч22. 10. у = япх в точке (2г/2,1). Опгв. )З = 1. х = а созе С,) 11. з пРи С = Сг. Оте. )1 = Зазспг! созС!. у =аяп С ) х = ЗСг, Найти радиус кривизны кривых: 12. при С = 1. Оте. )1 = б. Зс у=зс — с ) 1З. Окружность р = аяпВ. Оспе. )С = а/2. 14. Спираль Архимеда р = ад. (,г + аг)з/г Отпе. )С = рг 4 Заг 15. Кардиоида р = а(1 — сов В). Огпв. Я = — ч/Зарр. 3 16, /Семниската р = а соз2В. Още. л = а /Зр.
17. Парабола р = азесг(В/2), зВ зВ 3 , гВ Оте, а = 2азссз —. 18. р = азиз —. Отв. )С = — аяпг —. 2 3 4 3 найти точки кривых, в которых радиус кривизны имеет наименьшее значе- ч22 ! 1 ч22 ние: 19 у = !пх. Оглв. ( —,— — !п2). 20. у = е*. Ощв. ( — — !п2, — ). 41' а ' ' ' Ф '$ 191 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ У! а а х' 21.
уст + /у = у/а. Оше. ( —, — ). 22. у = а!и (1 — — ). Огне. В точке (0,0) 4 4 а2 СС = а/2. Найти коордиваты центра кривизны (а,/С) и уравнения эволюты для каждой х2 у (а2 ь 52)хз (а2 ! 52)г/2 из следующих кривых: 23. — — — = 1. Оте. о = — —; В =— аг Ьг ' аз ЬС 24 хг/з+ уг/з - аг/з Оше. о = х Ь Зхс/зуг/з. б у Ь Зхг/зущз 25 уз агх а4 .1- 15уч ачу — 9уз ( х = ЗС, Огне. а 26. ' Сггпе.
а = — — СЗ; базу ' 2аг ' ( у 12 б ' 3 3 ( х = 91п с!8(С/2) — Ь соя С, !с СЗ = ЗС 27 ' Оше, у = — (е*/Ь -|-е /") (трактрис!( у = й шп С. 2 ( х = а(созСЖСшпС), ( х= асоязС, са). 28. ' Огпв. о = асов!; СЗ = ашпг. 29. ~ у = а(шв С вЂ” Ссозг). ~ у = ая!пз С. Опав. а = асоязС+Засов!я!и С; СС=ашп С+Засозггз!пС. 30. Вычислить с точностью до 0,001 корни уравнения хз — 4х+ 2 = О.
Оше. х~ = 1,675, хг = 0,539, хз = -2,214. 31. Для уравнения Дх) = хз — х — 0,2 = 0 определить приближенное значение корня, заключенное в интервале (1; 1,1). Онге. 1,045, 32. Вычислить корни уравнения х4 + 2хг — бх + 2 = 0 с точностью до 0,01. Оте. 0,33 < хг < 0,39; 1,24 < хг < 1,25. 33. Решить приближенно уравнение хг — 5 = О. Отле, хг 1,71, хг,з — ! ~!УЗ = 1,71 2 34. Найти приближенное значение корня уравнения х — Сб х = О, который находится между 0 и Згг(2.
Огве. 4,4935. 35. Вычислить с точностью до 0,001 корень уравнения я!и х = 1 — х. Указание. Привести уравнение к виду ((х) = О. Оше. 0,5110 < х < 0,5111. Разные задачи 36. Показать, что в каждой точке лемнискаты рг = аг сояйгг кривизна пропорциональна радиус-вектору этой точки. 37. Найти наибольшее значение радиуса кривизны кривой р = аз!пз —. Оше.
з ~' 3 СС = За(4. 38. Найти координаты центра кривизны кривой у = х !их в точке, где у' = О. Осле. (е ',О). 39. Доказать, что для всех точек спирали Архимеда р = агс при гг -т оо величина разности между радиус-вектором и радиусом кривизны стремится к О. 40. Найти параболу у = ахг -1- ух + с, имеющую с синусоидой у = з!и х в точке хг ях (я/2, 1) общие касателыгую и кривизну. Сделать чертеж. Оше, у = — — -1- — +1— 2 2 , 2 8 41. Функция у = /(х) определена так: Дх) = хз в интервале — оо < х < 1, ((х) = ахг + Ьх + с в интервале 1 < х < +оо. Каковы должны быть а, Ь, с для того, чтобы линия у = Дх) имела везде непре- рывную кривизну? Сделать чертеж.
Отле. а = 3, Ь = -3, с = 1. КРИВИЗНА КРИВОЙ 192 )гл. У! 42. Показать, что радиус кривизны циклоиды в любой ее точке вдвое болыпе длины нормали в той же точке, 43. Написать уравнение окружности кривизны параболы у = хт в точке 11, 1). 7 т 125 Огпе. 1х + 4)з + (у — — ) 2 4 44. Написать уравнение окружности кривизны кривой у = ей х в точке —; 1) . (4' !г — 10 т 9 з 125 О!пе.
(х — ) + (у — -) 45. Найти длину всей зволюты эллипса, полуоси которого равны а и Ь. Ото. 4!аз Ьз)!'еЬ 46.Найти приближенное значение корней уравнения хе* = 2 с точностью до 0,01. Оя!е. Уравнение имеет единственный действительный корень х Рз 0,84. 47.Найти приближенное значение корней уравнения х!пх = 0,8 с точностью до 0,01.
Оязе. Уравнение имеет единственный действительный корень х Рз 1,б4. 48. Найти приближенное значение корней уравнения хз агс!йх = 1 с точностью до 0,001. Оте. Уравнение имеет единственный действительный корень х Рз 1,09б. Глава УП КОМПЛЕКСНЫЕ ЯИСЛА. МНОГОНЛЕНЫ ~ 1. Комплексные числа. Исходные определения Комплексным числом г называется выражение г=а+тЬ, где а и Ь вЂ” действитпельнме числа; т -- так называемая мнимая единица, определяемая равенством т = ч -1 или т = -1; .г (2) а называется действитпельной или вещественной частью, Ь мнимой частью числа г.
Их обозначают так: а = Ве г, Ь = 1тп г. Если а = О, то число О+ тЬ = тЬ называется чистпо мнимым; если Ь = О, то получается действительное число: а+ тО = а. Два комплексных числа г = а+ ту и г = а — ЬЬ, отличающихся только знаком мнимой части, называются сопрязтсеннмми. Принимаются два основных определения, 1. Два комплексных числа гт = ат+1Ьт и гг —— аг+тЬг считаются равными гт — — гм если ат — а2~ Ь1 Ьг~ т.е. если равны в отдельности их действительные н мнимые части.
2. Комплексное число г равно нулю: г =а+тЬ=О тогда и только тогда, когда а = О, Ь = О. 1. Геометрическое изображение комплексных чисел. Всякое комплексное число г = а+тЬ можно изобразить на плоскости Оху в виде точки А(а,Ь) с координатами а и Ь. Обратно, каждой точке плоскости М(х,у) соответствует комплексное число г = х+Ьу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
