Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 32
Текст из файла (страница 32)
две последние строчки таблицы). Из формулы (3') следует: со и 1пп — = со. ау 2-чз Сз ох касательная к кривой вертикальна. Далее, 1пп оу 2-ч Ст ~х В этих точках находим: В этих точках касательная к кривой горизонтальна. Затем находим: й'у ах 2 За сове С вСп С Рис. 135 Отсюда следует: ,12 — > О ири 0 < С < я — кривая вогнута, Сх 2 СС2 у — < О при я < С < 2я — кривая выпукла. акз На основании результатов исследовании можем построить кривую (рис. 135). Эта кривая называется ос!правдой.
Пример 2. Построить кривую, заданную уравненияии (декаршое Аисщ) За!2 х= —, у= — (а>0). 1+!2 1+ Сз (1е) исследсВАние кРиВых, зАДАнных пАРАметрически 167 Решение. Обе функции определены при всех значениях 1, кроме ! = -1, при этом !!ш х = йш — = +ос, За! ю-»-1 — о с-» — ! — о 1+ !з 3 а!г р= !!ш з= г-+ — Р о ь»-г-с !.1-гз !ип р —.— +со. г-»-гтс !Пп х=-м, г-э-гто Заметим, далее, что х=б, р=б при!=О, х -э О, р — ь О при 1 -э +со, х» О, р — ь О при!-э -со ах бн Найдем Ж и чг: ба (- — гз) (1 + гз)г ар За!(2 — гз) б! = (1 + гз)' Для параметра 1 получаем следующие четыре критических значения: 1, = -1, 1, = О, 1, = †' , 1, = Фг. ой (2а) Далее, находим: (Зе) На основании формул (1н), (2н), (Зн) составляем таблицу: (Зл) находим: (Й),.=;, Из формулы (Й) =-=- (»==О) Следовательно, начало координат кривая пересекает дважды: с касательной,параллельной оси Ох,и с касательной, параллельной оси Ор.
Далее, ( — „Р) = со при ! = — (х = ат74, р = аъ72). Я 1бВ ИССЛЕДОВАНИЕ ЛСВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ !ГЛ. У В этой точке касательная к кривой вертикальна. У! =0 при 1= »)/2 (х=аус2, у=ау4). (Й бх/ В этой точке касательная к кривой горизонтальна. Исследуем вопрос о существовании асимптотыс ЗисН+ !з) /с= !!га у = !ссп ' з .— — 1, -се * с-с — с — о зас(! -! !з) 6 = !!т (у — йх] = !!сп ~ з (' 1) За!з ~ =.,+ — —...
„1,,3- — ...3 ('За!(1+ 1) ~ . За! сы-с-о! 1 Еез ) сы — с — о 1 — !+ !з Следовательно, прямая у = -х — а является асимптотой ветви кривой при Аналогичным образом найдем: у /с = 1!го 6 = !1сп (у — !сх) = — а. Рис. 136 Таким образом, найденссая прямая является всимптотой и для ветви кривой при х с — со. На основании проведенного исследования строим кривую (рис. 13б). Некоторые вопросы, связанные с исследованием кривых, будут дополнительно рассмотрены в главе УН1, 3 19 «Особые точки кривой». Упражнения к главе У Найти экстремумы функций: 1. у = хз — 2х+ 3.
Осле. у;„= 2 при х = 1. *3 7 2. у = — — 2хз». Зх + 1. Осле. у, = — при х = 1, у ы = 1 при х = 3. 3. у = хв — 9хз + 15х + 3. Опы. у „„ = !О при х = 1, у„„.„ = -22 при х = 5. 4. у = -х»+ 2хз. Огае. у „„= 1 при х = ~1, умы = 0 при х = О. б. у = хс — Вхз + 2. Осле. у «„= 2 при х = О, у;„= -14 при х = х2. 6. у = Зхв — 125хз т 2160х. Осле, Максимум при х = -4 и х = 3, минимум при х = — 3 их = 4. 7. у = 2-(х-1)з/з. Ото. у ~ = 2 при х = 1. 8.
у = 3 — 2(х+1)с/з. хз — Зх+ 2 Осле. Нет ни максимума, ни минимума. 9. у = Осле. Минимум при хе+ Зх+ 2 (х — 2)(3 — х) х = у/2, максимум при х = -ус2. 10. у = . Осле. Максимум при 12 !п2 х х = —. 11. у = 2е + е . Осле. Минимум при х = — —. 12. у = —. Оисе. 5 2 !их у ы = е при х = е, 13. у = сов х + з!пх ( — я/2 ( (х ( я/2). Осле. ум~ = у»2 при х = я/4. 14. у = в!п2х — х (-я/2 ( х ( я/2). Огае. Максимум при х = я/б, минимум при х = — я/б. 15. у = х + Сбх.
Осле. Нет ни максимума, ни мн- е нимума. 16. у = е*ипх. Осле. Минимум при х = 21я — —, максимум при с/' упглжнкння к главк у 1б9 3 х = 2?ги + — х. 17. у = хе — 2хз + 2, Ото. Максимум при х = 0; два миниму- 4 ма при х = — 1 и при х = 1. 18. у = (х — 2) (2х -~- Ц. Ото.
у„а„= — 8,24 при 1 х = 1/8. 19. у = х+ —. Ото. Минимум при х = 1; максимум при х = — 1. х 20. у = хз(а — х]з. Ото. умь„— - ае/1б пря х = а/2; у„„.„= 0 при х = 0 и аз Ьз аз при х = а. 21. у = — + . Осле. Максимум при х = —; минимум при х а — х а — Ь аз х = —.
22. у =- х+ чг1 — х. Ото. уме = 5/4 при х = 3/4; у„и„= 1 при х = 1. а -~- Ь 2 Г1 2 х 23, У = хчГ1 — х (х ( (1). Ото. Умь„= — ~/ — пРи х = —. 24. У = . Огпе. 3(/3 3' ' 19х' Минимум при х = — 1; максимум при х = 1. 25. у = х!их. Огне. Минимум при х = 1/е. 26. у = х1пзх. Ото. у ь„= 4е з при х = е з, у;„= 0 при х = 1. 27. у = 1пх — агсгйх. Ото. Функция возрастает.
28. у = шпЗх — Ззгпх. Ото. Минимум при х = я/2; максимум при х = Зи/2, 29. у = 2х + агсвй х. Ото. Нет зкстремумов. 30. у = з1пхсозз х. Оспе. Минимум при х = к/2; два максимума: при х = агссоз;/2/3 и при х = агссоз( — т/2/3). 31. у = агсжп(з1пх). Оте. Максимум при х = (4гп+ 1)т/2; минимум при х = (4т + 3)и/2. Найти наибольшие и наименьшие значения функции на указанных отрезках: 32. у = -Зх" +бхз — 1 ( — 2 ( х ( 2). Огпе Наибольшее значение у = 2 при х = ш1, з наименьшее значение у = -25 при х = ш2. ЗЗ. у = — — 2хз+Зх+1 (-1 ( (х ( (5). 3 Огпе. Наибольшее значение у = 23/3 при х = 5, наименьшее значение у = -13/3 х — 1 при х = -1. 34. у = (О ( х ( 4).
Ото. Наибольшее значение у = 3/5 при х 4- 1 х = 4, наименьшее значение у = — 1 приз = О. 35. у = з1п2х — х ( — и/2 ( (х ( я/2). Огне. Наибольшее значение у = и/2 при х = -х/2, наименьшее значение у = — и/2 при х = л/2. 36. Из квадратного жестяного листа со стороной а желают сделать открытый сверху ящик возможно большего объеиа, вырезая равные квадраты по углам, удаляя их и затем загибая жесть, чтобы образовать бока ящика. Какова должна быть длина стороны вырезаемых квадратов? Ото. а/б. 37.
Доказать, что из всех прямоугольников, которые могут быть вписаны в денный круг, наибольшую площапь имеет квадрат. Показать также, что у квадрата и периметр будет наибольший. 38. Показатгч что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник. 39. Найти прямоугольный треугольник наябольшей площади, имеющей гипотенузой отрезок Ь. Ото. Длина каждого катета равна Ь/ьг2.
40. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшим объемом, который может быть вписан в шар радиуса Я. Ото. Высота равна 2В/АЗ 41. Найти высоту прямого цилиндра с наибольшей боковой поверхностью, который может быть вписан в данный шар радиуса (?. Огпе. Высота равна Нчг2, 42. Найти высоту прямого конуса с наименьшим объемом, описанного около данного шара радиуса В.
Ото. Высота равна 4В (объем конуса равен двум объемам шара). 43. Резервуар, который должен иметь квадратное дно и быть открытым сверху, нужно выложить внутри свинцом. Каковы должны быть размеры резервуара емкостью в 32 л, чтобы выкладка требовала наименьшего количества свинца? Огпе. Высота 0,2 м, сторона основания 0,4 м (т.е. сторона основания должна быть вдвое больше высоты). 1ГЛ У ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 170 44.
Кровельщик желает сделать открытый желоб наибольшей вместимости, у которого дио и бока были бы шириной 10 см и бока были бы одинаково наклонены ко дну. Какова должна быть ширина желоба наверху? Огне. 20 см. 45. Доказать, что конический шатер данной вместимости требует наименьшего количества материи, когда его высота в т/2 раза больше радиуса основания. 46. Требуется изготовить цилиндр, открытый сверху, стенки и дно которого имеют данную толщину.
Каковы должны быть размеры цилиндра, чтобы при данной вместимости на него пошло наименьшее количество материала? Огне. Если ?? — внутренний радиус основания, о — внутренний объем цилиндра, то э 47. Требуется построить котел, состоящий из цилиндра, завершенного двумя полусферами, со стенками постоянной толщины так, чтобы при данном объеме о он имел наименьшую наружную поверхность. Оше. Котел должен иметь форму шара с внутренним рцпиусом Е = ъз/Зо/4к.
48. Построить равнобочную трапецию, которая при данной площади 8 имела бы наименьший периметр; угол при основании трапеции равен а. Оше. Длина боковой стороны равна т/Е/ып а. 49. Вписать в данный шар радиуса Я правильную треугольную призму наибольшего объема. Оше. Высота призмы равна 2Е/у'3. 50. Около полушара радиуса й требуется описать конус наименьшего объема; плоскость основания конуса совпадает с плоскостью основания полушара; найти высоту конуса. Оше. Высота конуса равна ??уг3. 51. Описать около данного цилиндра радиуса г прямой конус наименьшего объема, полагая, что плоскости и центры круговых оснований цилиндра и конуса совпадают. Он|о. Радиус основания конуса равен Зг/2.
52. Из листа, имеющего форму круга рапиуса Е, вырезать такой сектор, чтобы, свернув его, получить воронку наибольшей вместимости. Оше. Центральный угол сектора равен 2л,/2/3. 53. Из всех круглых цилиндров, вписанных в данный куб с ребром а таким образом, что оси их совпадают с диагональю куба, а окружности оснований касаются его граней, найти наибольший по объему. Огне. Высота цилиндра равна ау'3/3; радиус основания равен а/ъ'б. 54. В прямоугольной системе координат дана точка (хо, уо), лежащая в первом квадрате. Провести через эту точку прямую так, чтобы она образовала с положительными направлениями осей координат треугольник наименьшей площади.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
