Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Рнс. ПВ Подобным же образом иллюстрируется геометрически и теорема 1' (рис. 117). Пример 1. Установить интервалы выпуклости н вогнутостн кривой, заданной уравнением у=2 — х . исследование поведьния пункций щг )гл у Решение Взорая оронзводная рн —... — '.
С 0 ддя всвк значений х. Следовательно, крнвая всюду обращена выпуклогтьзо вверх (рнс. 110) Пример 2, Крнвая задана уравноннвлз р=е Так как р =в*>0 для всек значений х, то, следовательно, кривая всюду вогнута, т.в. обращена выпуклостью вниз (рнс 119). Пример а. Кривая онрааадявтся уравнвннен у=х . Так как р~ =бх, то р" < 0 орн х < 0 н ро > 0 прн х > О. Следовательно, нрн х < О кривая обращена выпуклостью вверх, а прн х > Π— выпуклостью вниз (рнс. 120). Ь) Рно.
119 Рнс. 120 Рнс. 121 Определение 2. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой ог вогнутой, называется точкой перегиба кривой. На рис. 120, 121 и 122 точки О., А и В суть точки перегиба. Очевидно, что в точке перегиба касательная, если она существует, пересекаетп кривую, так как с одной стороны от атой точки кривал лежит под касательной, а с другой стороны -- над нею. Установим теперь д(зстаточные условия того, что данная точка кривой является точкой перегиба. Теорема 2.
Пусть кривол определлется уравнением у = )"(х). Если ~о(а) = О или )"о(а) не существует и при переходе через эначение х = а проиэводнвл 1'о(х) яленлепл знак, то точка кривой с абсциссон х = а естаь точка перегиба. Доказательство. 1) Пусть 1н(х) < О при х < а и 1о(х) > О при х > а. Тогда при х < а кривая обращена выпуклостью вверх и при х > а — выпуклостью вниз.
Следовательно, точка А кривой с абсциссой х = а есть точка перегиба (рис. 121). 2) Если э'о(х) > О при х < 6 и )""(х) < О при х > 6, то при х < 6 кривая обращена выпуклостью вниз, а при х > 6 — выпуклостью вверх. Следовательно, точка В кривой с абсциссой х = 6 есть точка перегиба (см.
рис. 122). 157 выпзклооть и вогнртосггь ириной Пример 4. Найти точки перегиба и определить интервалы выпуклости и вогнугости кривой р = е /криеая ГЮ!сса). Решение. 1) Находим первую и вторую производные: у':= - 2хе ри - ге ' 72х! - !). 2) Первая и вторая производные существуют всюду. Находим значения х, при которых уа =- 0: 2е 1гх — !) =- О, х! = -!/ъ'2, ха -- 1/р2.
3) Исследуем полученные значения: при х < — 1/т72 имеем уи > О, при х > — 1/Р2 имеем уа < О; вторая производная меняет знак при переходе через точку хг, следовательно, при х1 = — 1/игг на кривой имеется точка перегиба; ее координаты: ( — 1/чг2, е Нз); при х < !/ъ'2 имеем ри < О, прн х > 1/чг2 имеем у" > О. Следовательно, при хз = 1/ргг на кривой также имеется точка перегиба; ее координаты: (!/ргг,е ~7т). Впрочем, существование второй точки перегиба вытекает непосредственно из симметрии кривой относительно оси Оу а) Рис.
122 Рис. 123 4) Из предыдущего следует, что при — сю < х < — 1/ч'2 кривая вогнута, при — 1/р'2 < х < 1/р'2 кривая выпукла, при 1/ч'2 < х < 4оо кривая вогнута. 5) Из выражения первой производной р' = — гхс следует, что у > 0 при х < О, т.е. функция возрастает, у < О при х > О, т.е. функция убывает, у =Оприх=О. В втой точке функция имеет максимум, а именно: у .= !. На основании проведенного исследования легко построить график кривой (рис.
123). 158 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ )гл, у Пример 5. Найти точки перегиба кривой у=х . Решение. Н Находим вторую производную: уо =- 12х . 2) Определяем точки, в которых уе = 0: 12хз =О, э=О. 3) Исследуем полученное значение х = 0: у' > 0 при х < 0 — — кривая вогнута, у~ > 0 при х > 0 — кривая вогнута. Следовательно, кривая не имеет точек перегиба (рис.
124). Пример О. Найти точки перегиба кривой. у = (х — 1)нз. Решение. 1) Находим первую и вторую производные: у' = 1(х — П 3 Рис. 124 Рис. 125 2) Вторая производная нигде не обращается в нуль, но при х = 1 она не существует (уи = *ос). 3) Исследуем значение х = 1 уи > 0 при х < 1 — кривая вогнута, уо < 0 при х > 1 — кривая выпукла Следовательно, при х = 1 имеется тачка перегиба; это — точка (1; 0).
Заметим, что у' = оо при х = 1, т.е. кривая в этой точке имеет вертикальную касательную (рис. 125). 3 10. Асимптоты Очень часто приходится исследовать форму кривой у = )(х), а значит, и характер изменения соответствующей функции тьри неограниченном воэрасгнании (по абсолютной величине) абсциссы или ординаты переменной точки кривой или абсциссы и ординаты одновременно. При этом важным частным случаем является тот, когда исследуемая кривая при удалении ее переменной точки в бесконечность' ) неограниченно приближается к некоторой прямой. Рис.
12б Рис. 128 Рис. 127 Мы говорили, что переменная точка М движется па кривой в бесконечность, если расстояние этой точки от начала координат неограниченно возрастает. 1 го! 159 А с и и и ч' от ы Это следует из тою, что !8т — г оо, когда т стремится к значениям я/2, Зн/2, Згг/2.... или — л/2, -Зя/2, — бгг/2, ... (рис. !29). Рис. 129 Рис.
130 Пример 3. Кривая у = е'г* имеет вертикальную асимптоту т = О, так как !пп егу* = сю (рис. !30). — ге о П. Наклонные асимптоты. Пусть кривая у = /(х) имеет наклонную асимпготу, уравнение которой имеет вид у = йх+ (г. (1) Определим числа /с и 6 (рис. 131). Пусть М(з:,у) — точка, лежащая на кривой, и гь/(х,у)— точка, лежащая на асимптоте. Длина отрезка (гЧР~ равна расстоянию от точки М до асимптоты. По условию Рис.
131 11ш (МР( = О. (2) Определение. Прямая А называется асимптотоа кривой, если расстояние д от переменной гочки М кривой до этой прямой при удалении точки М в бесконечность стремится к нулю (рис. 126 и 127). Мы будем в дальнейшем различать асимптоты вертикальные (т.е.
параллельные оси ординат) и наклонные (т.е. непараллельные оси ординат). 1. Вертикальные асимптоты. Из определения асимптоты следует, что если 11п! /(х) = оо, или 1!п! /(х) = оо, или е — г о.г. О т — га — О !гш /(х) = со, то прямая х = а есть асимптога кривой у = /(х); и г -гн обратно, если прямая х = а есть асимптота, то выполняется одно из написанных равенств. Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения х = а, при приближении к которым функция у = /'(х) стремится к бесконечности. Тогда прямая х = а будет вертикальной асимптотой.
2 Пример 1. Кривая у = 5 имеет вертикальную асимптоту т = 5, так как у о сю при т -ч 5 (рис. 128) Пример 2. Кривая и = !кт имеет бесконечно много вертикальных асимптот: х = тя/2, т = тЗн/2, т = *5н/2,... 1бе исслкдовяние попадания хкнкций 1гл, с Если обозначим через «1«угол наклона к сюи Ох, то из й)««МР найдем: [. [ РМР1 сов е« Так как «р — постоянный угол (не равный и/2), то в силу предыдущего равенства (2') )с = 1пп (4) х — «-1-ос Зная 6, из равенства (3) находим 6: 6= 1пп [1(х) — Йх). (5) Итак, если прямая у = Ьх+6 есть асимптота, то )с и Ь находятся по формулам (4) и (5). Обратно, если существуют пределы (4) и (5), то выполняется равенство (3) и прямая у = Йх+ 6 есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (4) или (5) не существует, то кривая асимптоты не имеет.
Заметим, что мы проводили исследование применительно к рис. 131 при х -+ +со, но все рассуждения справедливы и для случая х — э — оо. Пример 4. Найти асимптоты кривой хт 42х — 1 Решение. 1) Ищем вертикальные асимптоты: у — « -~-оо прн х -«О, у — « — со при х — «О. Следовательно, прямая х =- О есть вертикальная аснмптота данной кривой, Рнс. 132 1'пп [МЛ[ = О, х-«-соо и наоборот, из равенства (2') следует равенсгво (2). Но [к™[ = [ДМ[ — [Яа«[[ = [у — у[ = [~(х) — (1сх + 6)[, и равенство (2') принимает вид 1гн« [Дх) — «сх — 6[ = О.
(3) х — «+ос Итак, если прямая (1) есть асимптота, то выполняется равен- ство (3), и наоборот, если при постоянных )с и Ь выполняется равенство (3), то прямая у = )ох+ Ь есть асимптота. Определим теперь Ь и Ь. Вынося х за скобки в равенстве (3), получаем: 1пп х~ — — )с — -~ = О. 1У(х) 61 х — «+со Так как х -1 +со, то должно выполняться равенство При 6 постоянном 1нп — = О. Следовательно, 1пп [ — 6~ = О, ь (У(х1 х — «со х х — «+со или ОБЩИЙ ПЛАН ИССЛЕДОВАНИЯ ФУНКЦИЙ 1 ы! 2) Ищем наклонные асимптоты: Ь = !Нп — = !Нп — — = 1!ш !1+ — — — ~ =- 1, У . хт-!-2х — 1 . ! 2 1 оыя х о-ояоо хт о-оя о ~ х хт т.е. у=1, хт + 2х — 1 т.е. Ь = 2. Следовательно, прямая у=х+2 есть наклонная асимптота данной кривой. Для исследования взаимного расположения кривой и асимптоты рассмотрим разность ординат кривой и асимптоты при одном и том же значении х: 3 о х +2х 1 ( 2) 1 х х' При х > О эта разность отрицательна, а при х ( Π— положительна; следовательно, при х > О кривая лежит ниже асимптоты, при х < Π— выше асимптоты (рис.
132). Пример 5. Найти асимптоты кривой у = е *Ипх+ х. Решение. 1) Вертикальных асимптот, очевидно, нет. 2) Ищем наклонные асимптоты: У 1,. е зшх-Ьх йш (е зшх+ !! о-о+оо Х -о+со х [ х Ь= 1пп (е оа!Бх+х — х)= !Нп е щпх=о. *-о.~-оо *-о+ о Следовательно, прямая у = х есть наклонная асимптота при х -е +со.
Заданная кривая не имеет асимптоты при х — о -со. Действительно, 1нн х не существует, так как У е х х — = — з!ах+ 1. (Здесь первое слагаемое неограниченно возрастает при х е -со и, следовательно, предела не имеет.) 2 11. Общий план исследования функций и построения графиков Под «исследованием функции» обычно понимается разыскание: 1) естественной области существования функции; 2) точек разрыва функции; 3) интервалов возрастания и убывания функции; 4) точек максимума и минимума, а также максимальных и минимальных значений функции; 5) областей выпуклости и вогнутости графика, точек перегиба; 6) асимптот графика функции.
ИСОЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 1б2 (гл. у На основании проведенного исследования строится график функции (иногда целесообразно намечать элементы графика параллельно с исследованием). Замечание 1. Если исследуемая функция у = 1(х) — - четная, т.е. такая, что при изменении знака аргумента значение функции не изменяется, т,е. если )( — х) = у(х), то достаточно исследовать функцию и построить ее график при по- ложительных значениях аргумента, принадлежащих области опре- деления функции. При отрицательных значениях аргумента гра- фик функции строится на том основании, что график четной функ- ции симметричен относительно оси ординат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
