Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пример 1. Функция у = хг — четная, так как [-х)2 = хг [см. рис. 5). Пример 2, Функция р = сов х — четная, так как сов(-х) = сов х (см, рис, 1б). Замечание 2. Если функция у = у(х) — не <етная, т.е. такая, что при изменении аргумента функция меняет знак, т.е. если у( — х) = -у(х), то эту функцию достаточно исследовать при положительных зна- чениях аргумента.
График нечетной функции симметричен отно- сительно начала координат. Пример 3. Функция р = х — нечетная, так как ( — х) = — хг (см. рис. 7) Пример 4. Функция р = ипх — нечетная, так как юп( — х) = — в<пх (см. рис. 15).
Замечание 3. Так как знание одних свойств функции позво- ляет сделать вывод о других ее свойствах, то иногда порядок исследования целесообразно выбирать, исходя из конкретных осо- бенностей данной функции. Так, например, если мы выяснили, что заданная функция непрерывна и дифференцируема, и нашли точки максимума и минимума этой функции, то тем самым мы уже определили и области возрастания и убывания функции. Пример 5. Исследовать функцию и построить ее график. Решение.
1) Область существования функции — интервал -со < х < +<О. Срезу отметим, что при х < 0 имеем у < О, а при х > О имеем у > О. 2) Функция всюду непрерывна. 3) Исследуем функцию на максимум и мянимум: из равенства 1 — х г у 2 2 О (1+х ) находим критические точки. х< = — 1, Исследуем характер критических точек: при х < -1 имеем у~ < 0; при х > -1 имеем у' > О.
ОБщий плАн иОследОБАния ФункЦий !63 Следовательно, при х = — 1 функция имеет минимум1 р„с = (р) =-1 = -0,5. д прих<1имеем р >О; прих> !ямеемр <О. Следовательно, при х = ! функция имеет максимум: рмв = (р)е-1 = 0,5. 4) Определим области возрастания и убывания функции: при -со < х < — 1 имеем р' < 0 -- функция убывает, при — 1 < х < ! имеем р' > 0 — функция возрастает, при 1 < х < +со имеем р' < 0 — функция убывает. 5) Определим области выпуклости и вогнутости кривой и точки перегиба: из равенства гх(х' — 3) т 3 (1+х ) получаем х1 = -1/3, хз = О, хз = угЗ. Исследуя р~~ как функцию от х, находим; при — со < х < -ъ/3 р < 0 — крявая выпуклая, при — ч/3 < х < 0 рм > Π— кривая вогнутая, при 0 < х < 1/3 рм < 0 — кривая выпуклая, при 1/3 < х < +со рл > 0 — кривая вогнутая.
Следовательно, точка с координатами х = — у'3, р = — /3/4 есть точка перегиба; точно так же точки (О, О) и (т/З, 1/3/4) есть точки перегиба. б) Определим есимптоты кривой; при р -+ +оо р -г О, при р -1 -со р -1 О. Следовательно, прямая р = 0 есть единствен- -Г ная наклонная асимптота. Вертикальных асимптот кривая не имеет, так как ни для одного конечного значения х функция не стремится к бесконечности. Рис. 133 График исследуемой кривой изображен на рис.
133. Пример 6. Исследовать функцию р — '/2 з, з (а >О) и построить ее график. Решение. 1) Функция определена при всех значениях х. 2) Функция всюву непрерывна. 3) Исследуем функцию на максямум и минимум: 4ах — Зхз 4а — Зх р ~У! ~'!' Ет!в=1' Производная существует всюду, за исключением точек х! = 0 и хз = 2а. Исследуем предельные значения производной при х -ь — 0 и при х — 1 +01 !Нп 4а — Зх = -со в-1-о 3 з,х э/(За х)з 1пп 4а — Зх = +со ч+о 3 чз/х 1з/(2а — х)~ пРи х < 0 будет р' < О, при х > 0 будет р' > О. ИССЛЕДОВАНИЕ НОВЕДЕНИН ФУНКЦИЙ 1б4 (гл, у 4) На основании проведенного исследования получаем области возрастания и убывания функции: функция убывает, функция возрастает, функция убывает. и вогнутостн кривой и точки перегиба: при — оо < х < 0 при 0 < х < 4а~3 при 4а/3 < х < 4-со 5) Определяем области выпуклости вторая производная 8аз Охойз(йа — х)з/3 нн в одной точке не обращается в нуль.
Однако существуют две точки, в которых вторая производная терпит разрыв: это точки х4 = 0 и хз = 2а. Исследуем знак второй производной вблизи каждой из этих точек: при х < 0 имеем уа < 0 — кривая обращена выпуклостью вверх; при х > 0 имеем уа < 0 — кривая обращена выпуклостью вверх. Значит, точка с абсциссой х = 0 не является точРис. 134 кой перегиба. При х < 2а имеем уа < 0 — кривая обращена выпуклостью вверх; прн х > 2а имеем ра > Π— кривая обращена выпуклостью вниз. Значит, точка (2а;О) на кривой является точкой перегиба. б) Определяем асимптоты кривой: 3/я 2 йса й = йщ ч2ах- — х- = йщ з/2а о-4т о х о-охоо х ,4-4'У Х 6 = 1!гп [Яах~ — хз -!- х] = !1щ о-охОО И ге: 'à — от — Р Следовательно, прямая у= -х-!-— 2а 3 есть наклонная асимптота кривой у = ~т/2ахт — х . График исследуемой функции изображен на рис.
134. Следовательно, при х = 0 функция имеет минимум. Значение функции в этой точке равно нулю. Исследуем теперь функцию в другой критической точке хз = 2а. При х -+ 2а произнодная также стремится к бесконечности. Однако в данном случае для всех значений х, близких к 2а (находящихся как справа, так и слева от точки 2а), производная отрицательна.
Следовательно, в этой точке функция не имеет ни максимума,ни минимума В точке хз = 2а, гак же как и вблизи этой точки, функция убывает;касательная к кривой в этой точке вертикальна. При х = 4а/3 производная обращается в нуль. Исследуем характер этой кри- тической точки. Рассматривая выражение первой производной, замечаем, что при х < 4а/3 будет у' > О, при х > 4а/3 будет у' < О. Следовательно,при х = 4а/3 функция имеет максимум: 2 з, у а = 3ач4. ) 1т) ИССЛЕДОВАНИЕ КРИВЫХ, ЗАДАННЫХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ 165 5 12. Исследование кривых, заданных параметрнческн Пусть кривая задана параметрическими уравнениями В этом случае исследование и построение кривой проводятся аналогично тому, как это было сделано для кривой, заданной уравнением Вычисляем производные (2) Для тех точек кривой, вблизи которых кривая является графиком некоторой функции у = у(х), вычисляем производную ку 6У(с) ах ~р'(С) (3) Находим значения параметра 6 = 1ы 6ю ..., 1ю при которых хотя бы одна из производных у'(6) или у)'(1) обращается в нуль или терпит разрыв.
(Такие значения 6 мы будем называть критическими значениями.) По формуле (3) в каждом из интервалов (ьы$з), (Гг,15),, (6А ысь), а следовательно, и в каждом из интервалов (хм хг), (хм ха),, (хь-ы ха) (где х; = ~р(8;)) определяем знак Д, Йй тем самым определяем области возрастания и убывания. Это дает также возможность определить характер точек, соответствующих значениям параметра 1ы 6з, ..., сю Далее, вычисляем: ату Фн(с) Р'( — у н(с)6/(с) (4) Кхт ( ~(с))3 На основании этой формулы определяем направление выпуклости кривой в каждой точке.
Для нахождения асимптот находим такие значения Ф, при приближении к которым или х, или у стремятся к бесконечности, и такие значения 6, при приближении к которым и х, и у стремятся к бесконечности. Затем производим исследование обычным способом. Некоторые особенности, появляющиеся при исследовании кривых, заданных параметрически, выясним на примерах.
Пример К Исследовать кривую, заданную уравнениями х = осок~ С, (а > 6). 3 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ (гл. у Решение. Величины х и у определены для всех значений С. Но так как функции соэзС и 21п С вЂ” периодические, с периодом 2я, достаточно рассмотреть изменение параметра С в пределах от 0 до 2я; при этом областью изменения х будет отрезок ] — а, а] и областью изменения у будет отрезок (-а, а]. Следовательно, рассматриваемая кривая асимптот не имеет. Далее, находим: — =- — Засов СвщС, ах 2 аС йу ~й — = За в!и С сов С. (2') Эти производные обращаются в нуль при С = О, я/2, я, Зя/2, 2л.
Определяем, аУ За в!и С сов С 4х — За сов 2 С юп С На основании формул (2'), (3') составляем слепующую таблицу. Из таблицы следует, что уравнения (1') определяют две непрерывные функции вида у = Дх), при 0 (ы С ( я будет у > 0 (см. две первые строчки таблицы), при я ( С ( 2я будет у ( 0 (см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
