Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Заметим, что Ь').<г(в < О, Ь'),>тук > О, заключаем, что при х =- 215 функция имеет минимулк Значение функции н точке минимума равно (У)*=ггз = 15 ) 'уГ25 5 (/ а5' Исследуем вторую критическую точку х = О. Заметив, чта (р').<, > о, (у')*>о < о, заключаем, что при х = 0 функция имеет максимум, причем (В) =о = 0 График исследуемой функции изображен на рис. 105. 5 5. Исследование срункдии на максимум и минимум с помощью второй производной Пусть при х = х1 производная функции у = 2'(х) обращается В НУЛЬ, т.Е. )У(Х1) = О.
ПуетЬ, КРОМЕ ТОГО, ВтОрая ПРОИЗВОдиая 2 о(Х) СУЩЕСтВУЕт И НЕПРЕРЫВНа В НЕКОтОРОИ ОКРЕСтНОСтн ТОЧКИ Х1. Тогда справедлива следующая теорема. Теорема. Пусть )'(х1) = О; тогда при х = т1 функция имеет максимум, если (о(х1) < О, и минимум, если (о(хз) > О. Доказательство. Докажем сначала первую часть теоремы. Пусть ,('(х1) = О и (п(хг) < О. Так как, по условию, (п(х) непрерывна в некоторой окрестности точки х = хг, то, очевидно, найдется некоторый малый отрезок, окружающий точку х = х1, во всех точках которого вторая производная 2н(х) будет отрицательна. Так как уо(х) есть первая производная от первой производной, 2п(х) = (2'(х))', то из условия (2'(х))' < О следует, что 2'(х) убывает на отрезке, содержащем точку х = х! (2 2 гл.
Ус). Ио 2'(х!) = О, .следовательно, на этом отрезке при х < х1 имеем 2'(х) > О, а при х, > хг имеем 2'(х) < О, т.е, производная )ч(х) при переходе через точку т = х1 меняет знак с плюса на минус, а это значит, что в точке х1 функция 2(х) имеет максимум. Первая часть теоремы доказана.
1Н исследование охнкции на максимум н минимум 147 Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы, а именно: если /о(х1) > О, то /о(х) > О во всех точках некоторого отрезка, окружающего точку х1, но тогда на этом отрезке /о(х) = (/'(х))' > О и, следовательно, /'(х) возрастает.
Так как /'(хт) = О, то, значит, при переходе через точку хг производная /'(х) меняет знак с минуса на плюс, т.е. функция /(х) имеет минимум при х = хм Если н кРитической точке /Я(хг) = О, то в этой точке может быть или максимум, или минимум ю|и не быть ци максимума, ни минимума, В этом случае исследование нужно вести первым способом (см. 3 4 гл. тг). Схему исследования экстремумов с помощью второй производной можно изобразить в следующей таблице: Пример 1.
Исследовать на максимум и минимум функцию у = 2впх-~- соя 2х. Решение. Так как функция является периодической периода 2в, то достаточно исследовать функцию на отрезке [О, 2х). 1) Находим производную: у' = 2соя х — 2яш2х = 2(соях — 2я1пхсоях) = 2соях(1 — 2я1пх). 2) Находим критические значения аргумента: 2соях(1 — 2я(пх) = О, х~ = я/б, хт = я/2, хз = 5я/б, хя = Зя/2.
3) Находим вторую производную: ув = — 2зшх — 4соя2х. 4) Исследуем характер каждой критической точки: (у )х1= 7я— - — 2 2 — 4 2=-3<О. 1 1 Следовательно, в точке хг = я/б имеем максимум: 1 1 3 Ь)*= 7я = 2 ' й + 2 = 2. Далее, (уо) „/з — — -2 1-~-4 ° 1 = 2 > О. Следовательно, в точке хз = в/2 имеем минимум: Ь)в=~уз = 2 1 — 1 = 1, В точке хз = 5я/б имеем: (уо). я.7я = -2 — — 4-' = — 3 < а 1 148 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ (гл, у Следоватеяьво. при хз.=бя/б фупкция имев~ максимум: ! 1 3 (У)*з=з /е — 2 ' 2 '~ й — 2 Наконец, (У ) =з уг '= — 2(-1) — 4(-1) = =- б > О.
следовательва, в точке х4 = Зя,'2 имеем минимум. (у)*=з уг = 2( !) Рис. 100 График исследуемой функции изображен ка рис. 109 Покажем, далее, на примерах, что если в некоторой точке х = х! имеем )ч(х1) = О и )п(хз) = О, то в этой точке функция ((х) может иметь либо максимум, либо минимум, либо не иметь ни максизиума, ни минилзума. Пример 2. Исследовать ка максимум и мивимум функцию х=1 — х. Решение. 1) Находим критические точки: у' = — 4хз, — 4хз = О, * — О. 2) Определяем знак второй производной при х = 0: ув = -!г*'-', (ул)в=е = О. Следовательио, выяснить характер критической точки с помощью знака второй производной в данном случае нельзя, Рис.
110 Рис. 111 Рис. !12 3) Исследуем характер критической точки первым способом (см. 3 4 гл. Ъ'): (у') <о > О, (уг)* > а < О. Следовательно, при х = 0 функция имеет максимум, а именно: (у)*=о = 1. График расслготрепиой функции изображен па рис. 110. Пример 3. Исследовать на максимум и минимум функцию у=хРешеиие. По второму способу находим: !) у'=бх', у'=бхз=О, =О; г) уо=30х4, (уп), =О. Следователько, второй способ ответа не дает.
Прибегая к первому способу, получз.ем: (У').<о < О, (У').», О. Следовательно, при х = 0 функция имеет мииимул4 (рис. !!!). 3 з! ияивольшвв и нлимгньшвк знячьния сгзнкции 149 Пример 4. Исследозать на максимум я мяцпмум функцию я = (х — !)з. Решение. Второй способ; у' =- З(х — !)г,:!(х - 1)г =- О, х = 1, уо =б(. — !), (Рп)., =О, таким образам, второй способ ответа пе дает. Но первому способу находим: (у').« > о, (р')„ < > о.
Следовательно, пря х = ! фувзция пе емеет пя максимума, пп минимума (рпс. 112). 3 6. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке Пусть функция у = З(х) непрерывна на отрезке [а, Ь). Тогда на этом отрезке функция достигает наибольшего значения (см. 3 10 гл. П). Будем предполагать, что на данном отрезке функция )'[х) имеет конечное число критических точек. Если наибольшее значение достигается внутри отрезка [а< Ь), то очевидно, что это значение будет одним из максимумов функции (если имеется несколько максимумов), а именно, наибольшим максимумом.
Но может случиться, что наибольшее значение будет достигаться на одном из концов отрезка. Итак, функция на отрезке [а, Ь] достигает своего наибольшего значения либо на одном из концов этого отрезка, либо в такой внутренней точке этого отрезка, которая является точкой максимума. То же самое можно сказать и о наименьшем значении функции: оно д<х<тигается либо на одном из концов данного отрезка, либо в такой внутренней точке, которая является точкой минимума. Из предыдущего вытекает следующее правило: если требуется найти наибольшее значение непрерывной функции на отрезке [а, Ь), то надо: 1) найти все максимумы функции на отрезке; 2) определить значения функции на концах отрезка, т.е, вычислить 1(а) н )(Ь): 3) из всех полученных выше значений функции выбрать наибольшее; оно и будет представлять собой паиболыпее значение функции на отрезке.
Аналогичным образом следует поступать и при определении наименьшего значения функции на отрезке. Пример. Определить па отрезке [-3; 3<'2) наибольшее и напмепьшее значения функции 3 Решение. !) Находим максимумы и минимумы функции па отрезке [ — 3, 312): у'=Зх — 3, Зхг-З=О, х< = 1, хг=-1, Оп=ох, ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 150 (гл, ч тогда (У )л=г-6>0. Следовательно, в точке х = 1 имеет место минимум.
(у)*=г = 1 Далее, (уо) = 1 = -5 < О Следовательно, в точке х = — 1 имеет место максимум. (У)*=-г = 2) Определяем значение функции на концах отрезка: (у) =з/г = 15/3 (у)л=-з = — 15 Таким образом, наибольшее значение рассматриваемой функции на отрезке [ — 3; 3/2) есть (У)л а наименьшее значение есть Рис.
113 (у)л=-з = -15. График рассматриваемой функции изображен на рис, 113. 3 7. Применение теории максимума и минимума функций к решению задач С помощью теории максимума и минимума решаются многие задачи геометрии, механики и т.д, Рассмотрим некоторые из таких задач. Задача 1. Дальность и = ОА (рис.
114) полета ядра (в пустоте), выпущенного с начальной скоростью оо из орудия, наклоненного под углом гг к горизонту, определяется формулой 2ег сов 2гг о у еог шп 21Р у (д — ускорение силы тяжести). Определить угол ур, при котором дальность и будет наибольшей при данной начальной скорости ио. 1 1 Решение.
Величигга л представляет собой функцию пер у пр ременного угла Ег. Исследуем эту функцию на максимум на отрезке 0 ( гг ( н/2: х ,щ 2ео сов 24р г )2 Рис. 114 критическое значение ю = ч; ,гад 4ег е|п 2гг 3рг У Следовательно, при значении уг = ~ч дальность полета Д имеет максимум "о ( )т=л/4 — у . Значения функции Н на концах отрезка (О; к/2) равны: (д),ло =О, (д), .„=О. Таким образом, найденный максимум и есть искомое наибольшее значение )1. В в1 исследовании шункцни на млксимуьг и минимуьг 1Ы Задача 2. Какие размеры вано прядать цилвплру, чтобы прв данном обьеме о его полная поверхность была наименьшей? Обозначая через г ралеус основания цилиндра в через Ь высоту цилиндра, будем иметь: Я = 2зт Е 2хгЬ.
Так как об~ем цвлинлра задан, то орн давном г величина й определяется формулой э = ктзб, откуда й= о х з Подставляя это выражение б в формулу лля Ь', получим: Я = 2ягз -Е2хт — ", нлв Ь' = 21хт~ + — "). хг.з ' г' / Здесь о — залааное число. Такам образом, мы представили 5' как функцию одного независимого переменного г.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
