Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 23
Текст из файла (страница 23)
(1) Доказательство. Обозначим буквой Ь'„) число ', т.е. Ь вЂ” а положим Пь) — г(а) (2) Ь-а и рассмотрим вспомогательную функцию г (х), определенную равенством .Ь"(х) = ((х) — ((а) — (х — а)Я. (3) Выясним геометрический смысл функции г (х). Для этого напишем сначала уравнение хорды АВ (рис. 95), учитывая, что ее угловой коэффициент равен = О и что она проходит через точку (а; 1(а)): у — 1(а) = ®(х — а), отсюда у = 1(а) + Я(х — а). Но Г(х) = 1(х) — [г(а) + Я(х — а)). Следовательно, г'(х) для каждог о значения х равняется разности ординат кривой у = 1(х) и хорды у = 1(а) + Ь,)(х — а) для точек с одинаковой абсциссой.
Легко нидеть, что г"(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], дифференцируема внутри этого отрезка и обращается в нуль на концах отрезка, т.е. г'(а) = О, г'(Ь) = О. Следовательно, к функции г'(х) применима теорема Ролля. Согласно этой теореме внутри отрезка существует точка х = с такая, что Р"'(с) = О. Но г' (х) = 1'(х) — С). Е'(с) = 1'(с) — Ь',) = О, Значит, откуда Ь„) = 1'(с). Подставляя значение с) в равенство (2), будем иметь: ( ) = у'(с) (1') откуда непосредственно следует формула (1). Таким образом, теорема доказана.
120 НЕКО1ОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕНЦИРУЕМЫХ ФУНКЦИЯХ (ГЛ. !У Чтобы выяснить геометрический смысл теоремы Лагранжа, обратимся к рис. 95. Из рисунка непосредственно ясно, что величина ~ представляет собой тангенс угла о наклона хорды, Ь вЂ” а проходящей через точки А и В графика с абсциссами а н Ь. С другой стороны, ('(с) есть тангенс угла наклона касательной к кривой в точке с абсциссой с. Таким образом, геометрический смысл равенства (1') или равносильного ему равенства (1) состоит в следующем: если во всех точках дуги АВ существует касательная, то на этой дуге найдется точка С между А и В, в которой касательная параллельна хорде, соединяющей точки А и В.
Заметим, далее, следующее. Так как значение с удовлетворяет условию а<с<6, то с — а<Ь вЂ” а, или с — а = 0(6 — а), где 0 есть некоторое число, заключенное между О и 1, т.е. Но тогда с = а+ 0(6 — а), и формуле (1) можно придать следующий вид: ((6) — )(а) = (Ь вЂ” а)('(а+ 0(6 — а)], О < 0 < 1. (1') з 3. Теорема об отношении прирашений двух функций (теорема Коши) Теорема Коши. Если ((х) и сс(х) — дее функции, непрерывные ка отрезке (а,Ь) и дифференцируемые внутри него, причем ф(х) нигде внутри огарезка не обращается е куль, то внутри отрезка [а, 6~) найдется такая точка х = с, а < с < Ь, что ЛЬ) — У(а) В(с) 1с(Ь) — И(а) р'(с) (1) Доказательство. Определим число (,1 равенством Л Ь) — 1'(а) Р(Ь) — 1( ) ' (2) Отметим, что сс(6) — сс(а) ф О, так как в противном случае Ьс(6) равнялось бы сс(а), и тогда по теореме Ролля производная ф(х) обращалась бы в нуль внутри отрезка, что противоречит условию теоремы.
Составим вспомогательную функцисо Е(х) = ((х) — ((а) — 6)(ас(х) — сс(а)). Очевидно, что Е(а) = О и г' (6) = О (это вытекает из определения функции Е(х) и определения числа („1). Заметив, что функция Г(х) !21 НРЕДЕЛ СУГНОШЕНИЯ ДВУХ БЕОКОНЕЧНО МАЛЪ|Х удовлетворяет на отрезке (а, 6) всем условиям теоремы Ролля, заключаем, что между а и Ь существует такое значение х = с (о < с < 6), что РУ(с) = О. Но гч(х) = у'(х) — ЯЬг'(х), следовательно, Р'(с) = ('(с) — (;)(о'(с) = О, откуда Г(с) р'(с) Подставляя значение Ч в равенство (2), получим равенство (1).
Замечание. Теорему Коши нельзя доказать, как это может показаться с первого взгляда, применением теоремы Лагранжа к числителю и знаменателю дроби 7(ь) — 1(а) гг(Ь) — уг(а) Действительно, мы получили бы в этом случае (после сокращения дроби на 6 — а) формулу 1(Ь) — З'Га) 1" (сг ) |р(Ь) — гг(а) уг'(сг) в которой а < с| < Ь, а < сг < 6. Но так как, вообще говоря, с| ф сг, то полученный результат, очевидно, не дает еще теоремы Коши. з 4.
Предел отношения двух бесконечно малых величин («Раскрытие неопределенностей вида — ») О О Пусть функции )(х) и (о(х) на некотором отрезке (а, Ь) удовлетворяют условиям теоремы Коши и обращаются в нуль в точке х = а этого отрезка, т.е. ((а) = О и |р(а) = О. г(х) Отношение не определено при х = а, но имеет вполне Фт) определенный смысл при значениях х ф а. Следовательно, может быть поставлен вопрос о разыскании предела этого отношения при х з а. Вычисление пределов такого типа называется обычно «раскрытием неопределенностей вида -».
О О С такого рода задачей мы уже имели дело и раныпе, например при рассмотрении предела 1пп —, при нахождении производных них а е|и х от элементарных функций. Выражение — при х = О не имеет них смысла, т,е. функция Р(х) = — не определена при х = О, но х с!и х мы видели, что предел выражения — при х -+ О существует и равняется 1. Теорема (пранило Лопиталя). Пусть функции 1(х) н (р(х) на некотором отрезке (О,Ь) удовлетворяет условиям тпеоремм Коши и обрагцаютсе в нуль в точке х = а, т.е.
((а) = |р(о) = О; 122 некОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ДИФФЕРЕнциРЪЕМЫХ ФУНКЦИЯХ (гл !: ('!х! тогда, если существует предел отношения --! при х э а, то существует и 1нп -~ — *, причем х -!а у(х) ' !!ш = 1пп —, У( ) Г(х) х->а'!а(х) х-!а Ф (х) Доказательство. Возьх!ее! Яа отрезке (а, Ь( какуе-нибудь точку х ф а. Применяя формулу Коши будем иметь; /(х) — Па) 1'(с) !Р(х) — |Р(а) 1а (С) где с лежит мезгсду а и х. Но по условию г'(а) = у!(а) = О, значит Пх) Г(~) (1) Ф(х) Ф (С) Если х -+ а, то и с -+ а, так как а заключено между х и а.
При этом, если !Нп... = А, то 1ш! -т также существует и <Р (х) С-!а !!Р Р(а) равен А. Отсюда ясно, что х — !а Ф(х) х — >а Ф'Ы) à — !а Ф Ы) х-~а 'Р (х) и окончательно !1ш — = 1нп —, П*) Г(х) а->а !а(х) а->а Ф'(х) ' Замечание 1. Теорема имеет место и в том случае, если функции )а(х) или аа(х) ме определены при х = а, но 1цп )'(х) = О, 1пп !р(х) = О. х — !а х — !а Для того, чтобы свести этот случай к рассмотренному ранее, мы доопределяем функции ~(х) и !р(х) в точке х = а так, чтобы они стали непрерывными в точке а. Для этого достаточно положить )(а) = !ш! ~(х) = О, !р(а) = 1нп у!(х) = О, г(х! так как, очевидно, предел отношения при х — Р а не зависит Ф(х) от того, определены ли функции у(х) и !р(х) в точке х = а.
Замечание 2. Если )'(а) = ао'(а) = О и производные )а(х) и !р'(х) удовлетворяют тем условиям, которые были наложены в условиях теоремы на функции у(х) и !р(х), то, применяя правило Лопиталя р(х) к отношению,, приходим к формуле 1цп, = 1пп „и Ф'(х)' х †!а !Р (х) х †!а Ф (х) т.д. Замечание 3. Егози !р'(а) = О, но )а(а) ~ О, то теорема приложима к обратному отношению к(хг, которое стремится к нулю при П )* х э а. Следовательно, отношение -(-*-г стремится к бесконечности. Ф(х) 123 !я пгкдкл отношения двтх вксконвчно вольших Пример 1.
е(п5х 1 (в(п')х) 1 5 совах 5 -)о 3х е-)О (зх)' *-)о 3 3' Пример 2. 1пп ' ' = 1пп = — =1. )п(! -)- х) . ! -)- х Пример 3. е* — е * — 2х . е* + е * — 2 . е* — е * . е* + е * 2 йп . =!нп — = йт — . = 1пп = — =2. О х — в(пх О 1 " сОех — )О в)пх О сов х 1 Здесь трн раза пришлось применить правило Лопнталя, так как отношения первых н третьих производных прн х = О приводят к неопределенности —. О Замечание 4.
Правило Лопиталя применимо и в том случае, если !пп /(х) = О и !пп (р(х) = О. Действительно, полагая х = 1/х, видим, что г -а О при х — а со и, следовательно, !пп /(1/х) = О, !пп (о(1/х) = О. Применяя правило Лопиталя к отношению /, находим: /11/х) р(1/ )' (; )(*) (; )(')') (; )'('( )(-')) (; )'(')') х — )со )О(х) т )О )о(1/х) т )О ((т(1/х)(-1/х ) х — )О О) (1/я) 1пп —, /'( ) х-к З '(х) ' что и требовалось доказать. Пример 4. й йт 11 в1п — й сов — ( - ц/ х й 1пп — — = 1пп 1пп йсов — = й. *-)ь) 1 *-)ео / ! 1 '1 хт/ 3 5.
Предел отношения двух бесконечно больших величин («Раскрытие неопределенностей вида — «) Рассмотрим, далее, вопрос о пределе отношения двух функций /(х) и (о(х), стремящихся к бесконечности при х -+ а (или при х -а оо). 124 нккотогык ткогкмы о дис ькгкнциггкмых эънкциях (гл т (2) Из соотношений (3) и (4) получаем: т" (а) Т (с) /(х) Лх) Р'(с) Р(х) Р( ') Отсюда находим я(а) 1(х) Т(с) х(х) Р(*) = ~'(с), Да) ' (3) Лх) Из условия (1) следует, что при произвольно малом е > О можно о выбрать настолько близким к а, что для всех х = с, где о < с < а, будет выполняться неравенство — — А( <к Т(с) р'(с) или А,< У',(') <А+, |Р' (с) (6) Далее рассмотрим дробь |р(а~ Р(х) )(а) Лх) Теорема.
Пусть функции 1(х) и ~р(х) непрерывны и дифференцируелхы при всех х р о, в окрестности тпочки а, приколе производная у'(х) не обретается в нуль; пусть, далее, 1цп ((х) = со, !цп ср(х) = со х-~х х-~а и пусть существует предел (1) х-~х Р'(х) Тогда существует предел 1пп ~(~).
и х-~а Ф(х) 1цп = 1пп —,' = А. Пх) . 1'(х) х †'Р(х) х — ~а 'Р (х) Доказательство. В рассматриваемой окрестности точки а возьмем две точки о и х так, чтобы было о < х < а (или а < х < о). По теореме Коши будем иметь: Пх) — Р(а) Т(с) :р(х) — Р(а) р'(с) ' (3) где а < с < х. Левую часть равенства (3) преобразуем так: Р" (а1 Пх) — ) [а) )(х) ((х) (А) х(х) — д(а) Х(х) х(а) ' Р( ) 1 51 ПРЕДЕЛ О'ГНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧИО БОЛЬШИХ !25 Закрепив о так, чтобы обеспечить выполнение неравенства (6), будем х приближать к а.
Так как 2" (х) — + Оо и ~р(х) 5 со при х -5 а, го Р(О1 х(х) ПО1 П. ) Р( 1 1 — е « — — 1+с. 5 (х) г(а) Пх) (7) или Перемножая соответствующие члены неравенств (6) и (7), получим: 1- й-~ П(с (.4 — е)(1 — е) <, ~ < (А+ е)(1+ с), Пх) или на основании равенства (б) (А — е)(1 — е) « (.4+ е)(1+ ). 55 (х) Так как с -. произвольно малое число при х, достаточно близком к а, то из последних неравенств следует, что 1пп =А, или на основании (1) О ~()=О ',()=А, х — аа 55(х) х-аа 55 (х) что и требовалось доказать, Замечание 1.
Если в условии (1) А = оо, т.е. х-аа !Р (х) то равенство (2) остается справедливым и в этом случае. Действительно, из предыдущего выражения следует; 1пп,( ) = О. П(х) Тогда по доказанной теореме 1пп =!Ш1, =О, а-аа 1(х) х — аа Т (х) откуда 11пг ( ) = оо. хч.а 5(х) Р(а.) 1пп ~ ) = 1 Т(а) Пх) и, следовательно, при ранее выбранном с > О для х, достаточно близких к а, будем иметь; 12б нгкотогыв твогвмы о диа ввгвнцигзвмык эвикциях !гл ш Замечание 2. Доказанная теорема легко распространяется на случай, когда х — г ос.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
