Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 21
Текст из файла (страница 21)
у' = бх(2хг — 3). 31 у = (хг ]- аг)ь Отв у = 1Ох(хг Ь а>)С. 32. х а — Зх у = утхг 4 аг Отв. у' = 33. у = (а -1- х)~а — х. Отв. у' = утюг + а2 2ута — х 1Ьх, ! 2хг — 1 34. у = ~/ . Опте. у' =- — . 35. у = — . Отав 1 — х (! — х)у( 1 44хг 3 37.
хг у(((1 1.Р хг)У '( -' ° * '(' г =(+ (в(т ' -- ( ° - —,) . = ГГЯ ьтх 1 1 т 1 (/=— ('1 !. — (1.Š— )) 39, у=япг х. Отв у'=ь1п2х. 2г/х]. /х+ у/т ' 2ъ/х ! утх 2отх) 40. у =- 2япх Ь соя Зх. Отв. у' = 2соьх — ЗяпЗх. 41, у = 18(ах + Ь). а ь!ох 1 Опте. у' 42. у .= †. Отав. у' = — . 43. соьг(ах-1- Ь) 1 Ь созх 1 усоях у = яп2хсоьЗх Отв. у' = 2соь2хсоьЗх — Зяп2хяпЗх 44. у = сгб>5х. Отв у' = — 10сг 5х . соьесг5х.
45. у = Сяпз -1- соьС. Отв. у' = !сов!. 46, у = яп Ссоьз. Отпв. у' = яп С(Зсоьгг — Яо С) 47. у = аусоь2х. Отв. ав(п2х, 3 1> г Я Я 18 г "!. с18 г у' = — —. 48. т = а япз —. Отав. т' = аз(пг — соь —. 49. у = у'соя 2х 3 " 3 3 х 2(хвоях Рз(пх), 4 х х х Отв.
у' 50. у = аз!П4 — Отв. у' = 2айпз — соь —. хгьпгх ' ' 2 2 2 1 51. у = — Сбг х. Отв. у' = Сбх весях. 52. у = !псоьх. Отав. у' = — Сбх. 2 53. у = !пц,х. Отв. у' = 2/я!п2х. 54. у = 1пяпгх. Отв. у' = 2сгбх. Сбх — ! 1 -1- ь(п х 55, у = —. О(ло. у' = яп х -1- соз х. 56. у = !п )) . Отв вес х )(( 1 — япх 1 ттт ху 1 у = —. 57. у = !и 13 ( — 4 -) . Отв. у' = †. 58. у = з!п(х -!. а) соь(х -1- а). соьх 4 2 ' соях Отав. у' = соя 2(х + а). 59. /(х) = яп(!пх).
Отпв. /'(х) = соь(!пх)/х. 60. /(х) = 18(1пх). Отв. /'(х) = яесг(1пх)/х. 61. /(х) = зш(созх). Оп(в. 3 4 /'(х) = — япхсоь(соьх). 62. т = — сбзя — Сбят + Зг. Отв. — = 18 я>. 63. 3 бв> /(х) = (хсябх)г. Отав. /'(х) = 2хссбх(ссбх — хсоьесгх). 64. у = ]п(ах -1- Ь). Отв. у' = а/(ах .1- Ь). 65. у = 1об (хг -1- 1).
Отав. у' = 2х/Цхг -1- 1)1па). 1-]-х, 2 66. у = 1п —. Отв. у' 1 — х 1 — х г' 67, у = !обз(х — яп х). Опто. 112 )ГЛ. и! пноизнодцвя и диаяннннциял 2х — сов х .г 4х у' =-, 68. у = )и . Овге. р' = — —. 69. у = 1п(хг .)- х). (хг — япх)1пЗ ! — хг ' 1 — х« 2х 41 Зх2 — 2 Оп«в у 70. р .= )п(х« — 2х -)- 5).
Отв. у' 71. хг ).х ' ' хз 2х+5 у = х)пх. Отв. у' = )пх -)- 1. 72. у = )изх. Ото. у' = (31пгх)/х 73. р =!п(х -)- «/! -)-ху). Ото. у' = 1/Л+ х~. 74. р = )п()пх), Отв 1/ = 1/(х)пх). /ху-)- !— 75. /(х) = )и (( —. Отв, /'(х) =, . 76. /(х) = )и —. Отв. ()1 — х ' ! — тг' ' х141+х — ъ/хг-)- аг, «/хг -)- аг со«х ! т р =-)п(х ! ъ/ту+а«) — Отв.
р' = . 79. у=- — 4 — )п) —. г хг 2япгх 2 2 1 япх 1 4 «гпгх г Оп«в. р' =, . 80. у = . Опт. у' =. ' . 81. у = — ! «ху)псовх. япзх гсозгх 2сов«х 2 Отв. р' = !ВЗ х. 82, у = е *. Отв, у' = ае *. 83. р = е«*"в. О«пв. у' = 4е«*+«.
84. у = а* . Отв. у' = 2ха )па. 85. р =?* +г*. Отв. у' = 2(х + 1)7* +г*)п7. г г 2 2 а 86. у = с * . Оп«в, р' = -2хс" * )пс. 87. р = ае" . Отв. у' = — е«г*. 88. 2 «/х «Ь а "«1па г=а . Отв, г'=а )па. 89.г=аг" . Оп«в. . 90. у = е (1 — хг). ю р е* — ! 2е* Отв. у' = е*(1 — 2х — хг). 91. р = . Отв.
у' = . 92,у=)п е* -)- 1 (е* -)- 1)г 1 4 е« Оп«в. у 93. р = — (еа — е ). Отв. у = -(е« -)-е ). 94. у = еи"*. Огав. у' = е""*совх. 95. р = ав"*. Отав. у' = па'в««вес«их)па 96. р = е'«'*япх. Отв, у' = е' '*(совх — япгх). 97. у = е*1пяпх.
Отв. у' = е (с)Вх+ )пяпх). 98. у = х"ем *. Оогв. у' = х" ге«т (и + хсозх). 99. 1 1 «1 — )пх« у = х*. Отв. у' = х*()па+ 1). 100. у = х«. Огпв, у' = х* ( ). 101. х2 у = х1"*. Отв, у' = х1«е ' )пхг. 102. р = е* . Ото. у' = е* (1 -)- )их)х*. х « х 103. у = (х/и)"*. Отв. р' = и( — ) (1+)п -). 104. у = х""*. Отв. и и :в1пх у' = хи««( — + )ихсовх). 105. У=(япх) .
Отв. у'=(в)их) ()пвтх)хе)Вх). 1 — е* 106. у = (япх)'в*. Отт у' = (япх)1« «(1.)- «ес' х)по)их), 107. у = !В 1 -)- е* 2е* 1 Отв. у' = — . 108. у = яп и'! — 2 . Отв. у' (1 4 е*)г со«г 1— 1-)-е соз 1 — 2* — 2*)п2. 109. р = 16*«в*. Оп«в, у' = 10*'в«)п)0! !Вх+— Найти производные функций, предварительно логарифмируя эти функции: «/х(х~ + 1), 1 «) х(хг т 1) г 1 2х 2 — — 1.
111. ~/ (х-цг 3)() (х-1)г (х хг+1 х-1) у= . Отв. у'= ( + (х+ Н' (/(х-2)у (х-1!)з «/(х-2)у / 3 3 г 112. «/(х — 3)г «/(х-3)7 гх+1 4(х — 2) 5(х-3)) (х+ 1) Отав. у' (х -)- 1)(5хг + 14х + 5) 113. (х -)- 2)з(х + 3)« (х + 2)«(х + 3)« ь/(х — 1), -161хг + 480х — 271 У «« . г ° Отт У 1 14. ФТ* — 2)' (/(х — З)г 60,'/Р* — 1) "«/(х - г)т7 «/(х ЗРо ' УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ !П !!3 у = —. Отв. у' =, . 115. у = хз(а -!- Зх)з(а — 2х) .
Отв. г) !. Зг 24 г! . 2 (1 хг)з/2 у' =- 5х»(а 4 Зх) (а — 2х)(аг Ь 2ах — !2хг). 116. у = агсяп —. Отв. у' =- — —. г, 2 агсяи х 'г ъГаг — хг 117. у = (агсяих)2. Отв. у' = . 118. у = агс!8(хг .!- 1). Опю. ъ'1 — х~ 2х 2х, 2 у' = — -- —,— —,. 119.
у = асс!Π— — —.. Отав у' =- — — 120. у = атосов(хг). !Ь(24!)г ' !. хг !4хг -2х агссоз х, — (х Ь УГ! хУ~ атосов х) Отав. у' = - — —. 121. у = —. Отв. д' =— 122. В! - х4 ' г ' ' хеъГà — хху у = агсв!и —. Огпв. у' = х41, 1,—,— —,-, . х 123. у = хъа — х -!- а агсв!и —. в'2 УГЗ вЂ” 2х — хг а Опгв. у' = 2ъГа~ — х~. 124, у =,/а~ — х~ -!- аагсз!и —. Ошв. у' = /» в.!.а Оа ! ! хъгЗ 125. и = агс! . Отв.
— .= . 126. у = — агс28 . Опгв. Вв 1+ в' п,гЗ хг+ ! х у' =- — —. 127. у = хагсяпх. Отв, у' = агсяих -!- . 128. х44-х241 ъг1-хт 2"(х) = атосов(!их). Опгв. 1'(х) = — !/(х~/! — !пг х). 129. ((х) = агсз!Пъсвшх. ~-.. Г») = '"* . *. ° = ° »Г„-*-' ~ 4* .|. ! е»"'з * с* — е у' = —. 131. у = с""з*. Опгв, у' = —. 132. у = агс!В . Опгв. 2' ' ' ' !Р г' 2 »!»» . ».»».„г агсвш х с' -'; е-" ГТ: х сов х ( .!.1 в 1-9 и 4-9 четвертях, 134.
у = агсвш(япх). Отав, у' (совх( ! — 1 во 2-9 и З-й четвертях 4яих а 135, у = агсРВ Опгв. гуг = 136. у = асс!8 — 4- !п 3 -> 5 соз х 3 4 5 сов х х 2ав г ! -!- х — „1, хг ! Опгв. у = . 137. у = !и( ) — — агс28х. Огиз. у' = . 138. хз — а4 ! — х~ 2 х4 ' Зхг — ! ха -4- 1 1 х -!- 1 у = — -!-!иъс! 42 2-Рагс!Ох. Огпв. у' = —. 139. у = — !и Зхз ~' -~ х'' ' З ъгхг: + ! 1 2х — 1 , 1 1 -4- хъг2 -!- хг хъ'2 + — асс!В .
Отв. у' = 140. у = !и + 2агссй ,~З ъ'3 хз -!- 1 ! — хъ'2 4 хг 1 — хг 4ъг2 х™ — 1, 2~)х!» Огпв. у . 141. у = агссоз . Опгв. у' =— х4 22» ! ! х(х2» ! 1)' Дифференцирование неявных функций Найти —, если; 142. у = 4рх. Отв. — = —. 143. х .!- у = а . Отв. г!У г ар 2Р г 2 г Вх ггх 2 — = — —. 144.
Ь х +а у' = а Ь . Отв. — = — —. 145. у — ЗУ4-2ах = О. Оп»в. ггрхггггггВУЬхз йх у г!х а у ~д~ 2 1 4 1 ггу /у , 146, х2 !.У2 = аг Оп»в, — = — )г —. 147. хз.!.УЗ = аз. Отв. Вх 3(! — у') ' Вх )/х — = — ~в —. 148. у — 2ху -!- Ь = О. Отв. — = —. 149. х -!- у — Заху = О. Ву (у 2 2 Ву У з з Вх ггх у — х Оу ау х2 ду яп(х+ у) Отв. — = —. 150. у = сов(х+ у). Опгв. 151.
4(х у2 ах ' дх 1 -4- яп(х+ у) 42У 1 -!- у вш(ху) соз(ху) = х. Огав. — =— Ох х з!п(ху) 1!4 ПРОИЗПОДНАИ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ ,'гл и! !!у Найти — функций, заланных параметрнчески йт йу й 152. х = асозг, у = йз!и! Отв, — = — — сгб!. 153, х -- а(! — з!п!), 4 ! Их а у = а(1 — сов!) Оте, — = с!8 —. 154. х =- асоьз !, у = бз!пз !. Ото йх 2 йх а За! За!г йу 2! 155. х = —, У = —. Отв. — = 156, и = 2!пгг8з, и =- Рйз4сгйе, 1,!г' !+Н ' 4 !.
Н йп Показать, что — = ! 25 йп Найти тангенсы углов наклона касательных к кривым: 157. х = осе!, у = вп! в точке х = — !/2, у = чЗ/2. Сделать чертеж. Оте 1/чгЗ 158. х = 2 соз г, у = Ып ! в точке х = 1, у = — мгЗ/2. Сделать чертеж, Огне. ъ'3/б 159. х = а(! — вп!), у = а(1 — соз!) при ! = гг/2. Сделать чертеж Ото !. 160. х = асозч!, у = авп ! при ! = к/4 Сделать чертеж Ото. — ! 161. Тело, брошенное под углом о к горизонту, в безвоздушном пространстве описало под действием силы тяжести кривую (параболу), уравнения которой: х = (по сов о)г, у = (говно)! — д!г/2 (д = 9,8 мггсекг). Зная, что а = 60ь, во = 50 мгсек, определить направление движения при: !) ! = 2 сек, 2) ! = 7 сек. Сделать чертеж. Оп!в. 1) гйег! = 0 948 ьг! = 43о30' 2) !Вггг = — ! 012 вгг =+!34 3 Найти дифференциалы следующих функций: 162. у = (аг — хг)з.
Отв, ггу = — 10х(аг — хз)чйх. 163. у = х/! -Рхй. Огпв ггу = хйх/Л+ху 164. у = .! гйзх .1- гйх. Огне. 49 = зесчхйх. 165. х!пх !и х!)зх у = — -!- !п(1 — х). Отв. Иу = 1 — х (! — х)г ' Вычислить приращения н дифференциалы функций: 166. у = 2хг-х прил = 1, Ьх = О, 01. Оп!в. Ьу = 0,0302, г!у = О,ОЗ, 167. Дано у = хз42х Найти Ьу и г!у при х = — 1, Ьт = 0,02.
Опав. Ьу = 0,098808, йу = 0,1. 168. Дано у = впгх Найти йу при х = к/3, Ьх = к/18. Отв. ду = к/Зб = О, 0873. 169. Зная, что вп 60' = ъ'3/2 = 0,866025; сов 60ь = 1/2, найти приближвнные значения з(п60ьЗ' и в!п60'18', Результаты сопоставить с данными таблицы. Отв внбО'3' т 0,866461; вп60 18' в 0,868643. 170. Найти приближенное значение 1845*430п. Огпв. 1, 00262. 171. Зная, что !о8о 200 = 2, 30103, найти приближенное значение !ойю200,2. Оп!в. 2,30146. Производные различных порядков.
172. у = Зхз — 2хг + 5х — !. Найти у". Оп!в !8х — 4. 173. у = ч'хз. Найти 42 тй О ун'. Огпв, — х з 174. у = хе Найти у(е!. Оп!в. б'. 175. у = —. Найти 125 хп п(п -!- 1) С аг уп. Огпв.. 176. у = чгог хТ~. Найти уо. Отв х" чл (а! — хг) чгай — хг 17Т. У = Зчгх. Найти У!"!. Огпв. — !5/(Вчххг). 178. У = ахг + бх + с. Найти уп'. Оп!в. О 1Т9. /(х) = !п(х -(- 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
