Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 20
Текст из файла (страница 20)
е2упкция к от х задана параметризески. х =- асов1, Р = Ьвгп1 Найти производпме с)х* с)х Решение. с)х — =- — а ми 1, 111 12 †. — — -Ьмпс йв 12 . — = — а сов 1 Н12 Ф Ь сов 1 Ь ах — аип 1 а ити ( — ав1п1)( — Ьвсп1) — (Ьсов1)( — а сов 1) Ь 1 а2 „1пз 1' ( — авп 1)2 З 25. Механическое значение второй производной Ускорением е данный лвомент называется предел отношения приращения скорости к приращению времени, когда последнее стремится к нулю: а = 1пп ап, ас- о ас' иначе говоря, ускорение (в данный момент) равно производной от око ости по в смени: р р о=— 111 112 но так как и = †, то, следовательно, 111 ' Путь в, пройденный поступательво движущимся телом, в зависимости от времени 1 выражается формулой в = У(1) (1) Как уже известно (см.
з 1 гл. ШП, скорость и гела в данный момент равна первой производной от пути по времени; (2) Пусть в некоторый момент 1 скорость тела была равна и. Если движение не является равномерным, то за промежуток времени 221, истекший с момента 1, скорость изменится и получит приращение 11и, Срсднилс рскореииелв за время 1)21 называется отношение приращения скорости сви к приращению времени: ат сР 207 з 26( знАннения КАСАткльной и н!знмали т.е. ускорение прл»нелинейного движения рвано второй производной от путя яо времени.
Исходя из равенства (!), получаем: а = 7 '((). Пример. Навт22 скорость в и ускорение о свободно падающего тела, если зависимость расстояния в от нречсни 2 дается формулой ь =- йос +2262 Ьво, 2 (8) где 9 =- 9,8 м / секг ускорение земного тяготения, а зо = »~=о значение ь' при 2 =О. Решение. Дифференцируя, находим: в = — ' = 92 + во: сьв Ж из этой формулы следует, что ео = (е)2-6. Дифференцируя еще раз,находим: ве д 6 Ф 822 Заметим, что, обратно, если ускорение некоторого движения постоянно и равно 9, то скорость выряжается равенством (4), а расстояние -- равенством (3) при условии, что (в)г=в — ее и (6)2=6 = .го.
8 26. Уравнения касательной и нормали. Длины подкасательной и поднормали Рассмотрим кривую, уравнение которой есть у = 7(х). Возьмем на этой кривой точку М(хг,уг) (рис. 88) и напишем уравнение касательной к данной кривой в точке М, предполагая, что эта касательная не параллельна оси ординат. Уравнение прямой с угловым коэффициен- Рис.
88 том й, проходящей через точку Ы, имеет вид !7 у — уг = Й(х — хг). у=» Для касательной (см, 8' 3) 8((!,!) и= у (хг), » О I поэтоь2у уравнение касагаелъмой имеет вид у — у2 = 7' (хг)(х — хг). Наряду с касательной к кривой в данной точ- Рис. 89 ке очень часто приходится рассматривать нормаль.
Определение. Норлгалью к кривой в данной точке называется прямая, проходящая через данную точку, перпендикулярную к касательной в этой точке. 1ОЗ (гл пвоизводная и дисьененцивл Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент (сп связан с угловым коэффициентом й! касательной равенством 1 й Л 9!' т.е.
Т( )' Следовательно, уравнение морлеали к кривой р = )(х) в точке М(х,,у,) имеет вид у — р1 = —, (х — х1). 1 Г(т!) Пример 1. Написать уравнения касательной н нормали к кривой у .= тв в точке М(1, 1) Решение. Так как у' .= Зтт, то угловой коэффициент касательной равен (у')*=! = 3.
Следовательно, уравнение касательной: у — ! =- 3(т — 1) нли у = Зт — 2. Уравнение нормали: у — ! =- — (* — 1)г!3, ив и !у = -пх+ 4 3 3 (см. рис. 89). Длина Т отрезка ОЛХ (рис. 88) касательной, заключенного между точкой касания и осью Ох, называется длиной касательной. Проекция этого отрезка на ось Ох, т.е. отрезок (.)Р, называется подкасательном:, длина подкасательной обозначается через 5т.
Длина Лг отрезка Маг( называется длиной нормали, а проекция ЯР отрезка ВМ на ось Ох называется поднорлсалью; длина поднормали обозначается через Ягг. Найдем величины Т, Ят, Лг, 'ож для кривой д = у(х) и точки М(х1, рг). Из рис. 88 видно, что ОР = (у!с18 а! = ! — "' ! = !!— ", поэтому в,= 9, т= (И.и,= —,,(,,! Далее, из этого же рисунка ясно, что РЛ1=(У118о! =)Угу!), поэтому в.=Муз в=У!1-еж*= Е;Н' Эти формулы выведены в предположении, что р! > 1, у', > О.
Однако они сохраняются и в общем случае. 277 ш оизводпля нлдссусьвкктонл по попятному углу СОО Пример 2. Найти уравнения касательной н нормали, длины касательной и нодкасательиой, длины нормали и поднормали для чллинса: , = ьинс х = асовС, в точке Л7(27,у,), для которой С = х74 (рис. 90). Решение. Из Уравнений (!) находим: — . а27в С, — = ЬсовС, 7(х . 7(72 с(С ' 7СС т= ° "' ' (т) 7(СС 6 72 У 6 Находим координаты точки касания ЛХ: хс = (х)2= 74 =- аСъ72, Рс =.
(у)с= С4 = ЬСу 2. Уравнение касательной: Р— — = — — (х — — ), ичи Ьх чар — аЬЧ2 = 0 Ь 67 Р72 '2 2 Уравнение нормали: у — — = — )х — — ), или (ах — Ьу)о2 — а Е Ь = О. Ь аС а2 2, 2 ,2 Ь\ Р2) Длины нодкасательной и поднормали: Ь Длины касательной и нормали: Рис. 90 ) ь'2 ( Ь)24 С~ С 7„2 „62 ~ Ь , ( Ь)2~ Ь ат — 61 Ь а Л ',2 а ачс2 а 9 2Ч. Геометрическое значение производной радиус-вектора по полярному углу Пусть имеем уравнение кривой в полярных координатах: р = У(д).
Напишем формулы перехода от полярных координат к прямоугольным декартовым: х = рсозд, Р = рз)пд. Подставляя сюда вместо р его выражение через д из уравнения (1), будем иметь; х = 1(д) сов д, у = 1(д) з(пд. (2) Уравнения (2) являются параметрическими уравнениями данной кривой, причем параметром является полярный угол д (рис. 91). тл. !и Пб ПРОИЗВОД2!АЯ И ДИФФЕРВНЦИАЛ Если через уз обозначим угол, составленный касательной к кривой в некоторой точке М(р,д) с положительным направлением оси абсцисс, то будем имсты 4!В !И уз = — = —, или 423 да (й) с!х 4!х сТО Обозначим через р угол между направлением радиус-вектора и касательной. Очевидно, .2то /4 = ф — д, ! ~о' !8 в — ибд Подставляя сюда вместо гасо его выражение (3) и производя преобразование, получим: (р'впд.1-рсоь0)соь — (р'соьд — рвпд)впВ р (р'сов д — рьтВ) гоьд+ (р'впд Ф рсоьВ)впд р'' или рд —— р с!к р.
(4) Таким образом, производная радиус-вектора по полярному углу равна длине радиус-вектора, умноженной на котангенс угла между радиус-вектором и касательной к кривой в данной точке. Пример. Показать, что касательная к логарифмической спирали р = с в пересекается с радиус-вектором под постоянным углом. Решение. Из уравнения спирали находим: р' = ас В. На основании формулы (4) получаем: с!бр = — = а, те, и = агсспба = сонь!. р Ъгпражнеьзня к главе П1 Найти производные функций, пользуясь непосредственно определением производной: 1. у = хз. Отв.
Зхт. 2. у .= 1/х. Отв. — 1/хе. 3. у м,сх. Отв. 1/(22/х). 4. у = !/Д. О .. -!/(г* х). 5. у = М 2 . О . 2вп ° .. б. у = 2 ' — *. Опзв. 4х — 1. Определить тангенсы углов наклона касательных к кривым: 7. у = хз. а) При х = 1. Отв. 3. б) При х = — 1. Огпв, 3; сделать чертеж. 8, у = 1/х. а) При х = 1/2. Отв. -4. 6) При х = 1. Отв. — 1; сделать чертеж. 9.
у = егер при х = 2. Огпв. ь22/4. Найти производные функций: 10. у = х4-1-322 — б. Огпв. у' = 4хз-~-бх, 11. у = бх — хт. Отв. у' = 18хт — 2х. хь хт бх4 2х хз — хз + ! 12. у =- — — — х. Отв, у' = — — — 1. 13. у =— а-~-6 а — 6 а-1-Ь а — Ь 5 322 — 2х 2х О2пв. у' = .
14. у = 2ахз — — + с. Отв. у' = бахз — — . 15. 6 Ь ' Ь у = бхт!2 4. 4хь!2 Ф 2х. Отв. у~ = 21хь!' ~-1бхьуь.~. 2. 16. гу = ъ'3х х-1- чзх -~- —. 4/3 1 ! (х х цз З(х -', ць(х — ц Опт, у' = — -1- — — —. 17. у = . Отв, у' = . 18. 2 ' .222 ' ' Зхьгт УПРА>КНЕНИЯ К ГЛАВЕ П! х и( х" и" лг 2х >0( ь — г г у = — (- — -1- — (- —. Оп(в. у' = — .
— 1- —, — — 19. у =- ухг — 2утх3Р5. Отв. тп х пг хг' ' т хг пг хз 2 1 1 ахг Ь (тх, 5 С 3, 1 у' = — †. — 20, у =- — -(- — — - — — Оп(в. у' = — ах — — Ьх -1- — х 3 узтх у(* узтх хо(х ху(х 3 2 б 21.
у =- (1: 4хз)(! + 2хг). Отпя у' =-4х(1 63х (. 10хз). 22. у = х(2х — 1)(Зх 2). Отв. у' = 2(9хг —, х — !). 23. у = (2х - 1)(гх — бх .1- 3). Отв, у' = бхг — 2бх 4 ! 2. 2хь, Ахз(25> — хг) а — х, 2а 24. у = — —,. Отв, у' = — —. 25. у = —. Отв у' = — — —. (Ьг .хг)г (т ! х ' (а ( х)г Сз , Сг(З + Сг) (. + 4)г 26. /(С) =- —,. Отв. / (С) =- —, .
27. /(я) = Отв. 1 + О (1 -1- О ) г ь -!- 3 (ях2)(ь+4) хз 1-2 хь — 2хз бхг 4х Р 2 /'(я) = — ', . 28. у = — - Отв. у' =. (т -!. 3)> х> — х — 2 (хг — х — 2)г хт, хт '((р — т)х — ра'") 29 у = - Отв у' = --. — — 30 у = (2хг 3)г х — а (х — а )г Отав.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
