Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Если 1!ш 1(х) = со, 1пп во(х) = сс и е — > оо Х вЂ” ~Х 1пп -г' — существует, то хгоо Ва'(х) !пп = !ш! о„-о,а(х) х ~ю Вв'(х) (8) Доказательство проводится путем замены х = 1!!х, как зто делалось при аналогичных условиях в случае неопределенности вида Π— (см. 3 4, замечание 4). Пример 1. Пример 2. ахв16 ., 2ах а с г ,! * с 2сх с' Пример 3. 1 Ит — = 1ип ' = !!т 1Кх . сов~ х % 13зх ' —. 3 в в сов Зх 1 сова Зх 1 2 ЗсовЗхв1пЗх !оп 3 совах е ~ 3 2совхв1пх 11 Зв!пЗх . ( Н 3( ) ( 1) в1пх 1 1 1ип — 1ип сов Зх ° в)п Зх сов х, Мпх 2 Пример 4.
!ип —, = О. 1 е* 1)гп У, в с е Вообще, пре любом целом и > О е — в 11са х = Нсп пх *-~ е* х-~ е е* е ) . ев 1!гп — = 1ип ( ', = !ип ао х - со (х)' *-~ 1 Замечание 3. Отметим еще раз, что формулы (2) и (8) справед- ливы только в том случае, если предел, стоящий справа (конечный или бесконечный), существует. Может случиться, что предел, сто- ящий слева, существует, в то время, как предел, стоящий справа, не существует. Приведем пример. Пусть требуется найти х + в)п х шп х — >со Этот предел существует и равен 1.
Действительно, х.чсо х х — ~со ~ / Но отношение производных (х -1- вге х)' 1 -~'- сов х (х)' 1 = 1+ созх при х — э ос не стремится ни к какому пределу, а колеблется между 0 и 2. й! ПРЕДЕЛ ОТНОШЕНИЯ ДВУХ БЕСКОНЕЧНО БО ЗЬШИХ 127 К предыдущим случаям сводятся случаи других неопределенностей, которые символически записываются так: а) О. со, б) О", в) оо", г) 1', д) оо — со, и смысл которых состоит в следу|ощем. а) Пусть 1|ш 2"(х) = О, 1)п1 йй(х) = ОО: требуется найти х -й й х-ай 1)щ (у(х)чй(х)].
Это — неопределенность типа О со. Если искомое выражение переписать в виде !ип [)(х)<р(х)] = !ип— Пх) х -й й хйа 1 у(х) или в виде !ип (у(х)уз(х)] = !Нп П*~ то при х -у а мы получим неопределенность вида — или вида —. в 00 е 00' Пример 5. 1 х 1пп х" 1пх = 1пп — * *-йО *-ха 1 х" х" = = — 1'пп — = О. В а 11т п б) Пусть !Нп Г'(х) = О, 11п1 уй(х) = О; х-йа х — йа требуется найти 1)п1 () (х)]~~*), х-ай или, как говорят, раскрыть неопределенность вида О .
Положив у = [1(х)]Р1*), прологарифмируем обе части полученного равенства: !ну = 10(х)[!п у(х)]. ири х + а получим (справа) неопределенность вида О оо. Найдя 1ип 1п у, легко получить !Нп у. Действительно, в силу непрех — йй хыа рывности логарифмической функции, 11ш 1пу = !и!1п1 у, и если х — йа х-ай 1ип!ну = 6, то, очевидно, !ип у = е . Если, в частности, 6 = +со х-йа х-йа или — оо то, соответственно, у = +со или О.
!28 нвкотогыв теоремы о ди<»егвнцигувмых хинкциях (гл. !ч Пример В. Требуется найти 1нн х . Положив у = х"', находим: 1в!ппу = * -ч о =1пп1пу = Нсо!п(х*) =.1пп(х1н х); 1 11п1 (х1пх) = 1ип — = !пп — - = — 1!п1 х = О, 1пх . х в-че .чо 1 ° о ! ..о х хв следовательно, )п1нпу = О, откуда!пну = е = 1, те. 1нп х* = !. о Аналогичным приемом находятся пределы и в других случаях.
З 6. Формула Тейлора Предположим, что функпия у = )(х) имеет все производные до (и+1)-го порядка включительно в некотором промежутке, содержащем точку х = а. Найдем многочлен у = Р„(х) степени не выше п, значение которого в точке х = а равняется значению функции Дх) в этой точке, а значения его производных до п-го порндка в точке х = а равня!отея значениям соответствующих производных от функции ((х) в этой точке Р„(а) = Да), Р„'(а) = )ч(а), Рн(а) = ! '(а), ..., Р("1(а) = ((")(а).
Естественно ожидать, что такой многочлен в некотором смысле <близок» к функции Дх). Будем искать этот многочлен в форме многочлена по степеням (х — а) с неопределенными коэффициентами Р„(х) = Со + С! (х — а) + Сз(х — а) + + Сз(х — а) +... + С„(х — а)". (2) Неопределенные коэффициенты Сг, Сз, ..., С„определим так, чтобы удовлетворились условия (1).
Предварительно найдем производные от Р„(х): Р,', ( х) = С! + 2Сз (х — а) + Сз (х — а) +... + и С„(х — а)" Рн (х) = 2 1 Сз + 3 2Сз(х — а) +... + п(п — 1) С„(х — а)" (3) Р!") (х) = п(п — 1)... 2. 1 С„ Подставляя в левые и правые части равенств (2) и (3) вместо х значение а и заменяя на основании равенств (1) Р„(а) через у(а), 129 ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА Р„'(а) = 7'(а) и т.д., получим т(о) = Со 7 (а) = С'ы 7и(а) = 2 1СТ, Ри(а) = 3 2. 1Сз, Р"1(а) = п(п — 1)(п — 2)... 2 1С„, откуда находим; Со = 7(а), С1 — — ~'(а), С, = —,зХ"(а),~ СЗ =1 9 Зуи'(.), С. = Юз в~бй(") Подставляя найденные значения Сы Сю ..., С„в формулу (2), получим искомый многочлен: (х — а)з ~( ) ~( ) 1 ~ ( ) 1 2 ~ ( ) 1 2,3 ~ ( + (* ) у(и) (а).
(5) Обозначим через 71„(х) разность значений данной функции 7'(х) и построенного многочлена Р„(х) (рис. 96): Рт„(х) = 7(х) — Р„(х), откуда 7'(х) = Ри(х) + Рь„(х), или в развернутом виде Рис. 96 7(х) = 7(а) + —х ,иу'(а) +, уи(а) +... +, 7~"1(а) + Я„(х). (6) тг„(х) называется остаточным членом. Для тех значений х, для которых остаточный член Рг„(х) мал, многочлен Р„(х) дает приближенное представление функпии 7'(х). Таким образом, формула (6) дает возможность заменить функпию у = )(х) многочленом у = Р„(х) с соответствующей степенью точности, равной значению остаточного члена 71„(х).
Дальнейшая наша задача — оценить величину Я„(х) при различных значениях х. Запишем остаточный член в форме (7) 130 некОТОРЫЕ ТЕОРЕМЫ О ЛиФФЕРЕНцИРУемых ФУнкци51Х Рл, !У где (У(х) есСь некоторая функция, щ>длежащая определеник>, и в соотвстгтвии г этим перепишем формулу (6); У(х) = У(а) + *— ,, 'У'(а) + ~ —,—,Уп(а) + (х — п)п"' При фиксированных х и а функция Я(х) имеет Определенное значение; обозначим его через 5у'.
Рассмотрим, далее, вспомогательнун> функцию от С (С заключено между а н х): () У(х) У() 1! У() г! У () ( С) уСРС( ) ( С) п! (и -'; 1)1 где с„> имеет значение, определенное соотношением (6'); при этом считаем а и х определенными числами. Иайдем производную Р(С)! Р'(С) =-У(С)+У'(С) - '*, 'Уп(С)+ "',, 'Уп()- (х — С)' „, (х — С)"- ! .СФС( и(х — С)"-' г1 (и — 1)1 и! (х — С) .( !.!) (и -1. 1)(х — С) и! ! > (и, -1- 1)! или после сокращения ь>(с) (х О у!и!-1>(с) + (* ) с) (8) Итак, функция г'(С) имеет производную во всех точках С, лежащих вблизи точки с абсциссой а (а < С < х при а < х и а > С > х при а > х), Далее, замечаем, что (на основании формулы (6')) г"(х) = О, Г(а) = О. Поэтому к функции Г(С) применима теорема Ролля, и, следова- тельно, существует такое значение С = 6, заключенное между а и х, при котором Е'(~) = О.
Отсюда на основании соотношения (8) получаем: — (х ,4) уСФ Р!)(6) + (х ,~ с,> = О, откуда д У>п !.!)(г) Подставляя зто выражение в формулу (7), получаем: д ( ) (х — и)" 'уСп~.!)(б) (и + 1)! гмеложкник по эоемтле твилоея этнкцнй е', ыях, сове !3! Это — - так называемая форма Лагранзса для остаточного члена. Так как д заключено между х и а, то его можно представить в форме '! с = а+д(х — а), где д -- число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 < д < 1; тогда формула остаточного члена примет вид Й„(х) =, !"!Яе Ца+ д(х — а)).
Формула Пх) = ~(а) + —,2г (а) + (, ) !гя(а) +... ... +, !!"!(а) -!- ( —; —,— !'!"+0(а+ д(х — а)) (9) называется формулой Тейлора для функции Г(х). Если в формуле Тейлора положить а = О, то она запишется в виде Х(*) = У(0)+фУ'(0)+ — '„Хо(0)+ +$Х'"!(0)+(„*,,),У'""!(д*), (10) где д заключено между числами 0 и 1. Этот частный случай формулы Тейлора иногда называют 4ормулоб Маклорена.
3 7. Разложение по формуле Тейлора функций е*, 31пх, созх 1. Разложение функции 1(х) = е*. Находя последовательные производные от 2(х), получилс 1(х) = е*, 1(0) = 1, ,! (х) = е*, 1'(0) = 1, 100(х) = е*, Г!"~(0) = 1. Подставляя полученные выражения в формулу (10) 3 б, будем иметь: те тв е Е! с*=1+ — + — + — +...+ — + е*, 0<д<1. 1 2! 3! ''' и! (я+1)! Если ~х~ < 1, то, взяв и = 8, получим оценку остаточного члена; Лз < —,', З < 10-'. При х = 1 получим формулу, позволяющую найти приближенное значение числа е: е =1+1+ — + — +...+ —.
1 1 1 2! 3! ' ' 8!' "! См, конец 1 2 настоящей главы, 132 нккотогыв теоремы о дисьфкгкнцигукмых Функциях 1гл 1п производя вычисления в десятичных дробях с шестью'1 десятичными знаками, а затем округляя результат до пяти десятичных знаков, найдем е = 2,71828. Здесь ошибка не превосходит числа з. или 0,00001. 3 Отметим, что, каково бы ни было х, остаточный член т"+1 аз Л„= " е* — «О при и — >со.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
