Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 25
Текст из файла (страница 25)
1п -1- 1]! Действительно, так как й < 1, то величина егк при фиксированном х ограничена (она меньше, чем е*, при х > 0 и меныце, чем 1, при х < 0). Докажем, что, каково бы ни было фиксированное 1исло х, х"ь' , — ~ О при и †1 . (п Е 1)! Действительно, х ьг азиз-1)! /1 2 3 ''' и и1 1!' Если х есть фиксированное число, то найдется такое целое положительное число 111, что (х! < Х. *„)< х~ ' и-гг~ьг (м — Ц! х х х <— 1 2 3 потому что Но величина, постоянная, т.е.
не зависит от и, а о х и — Фтг стремится к нулю при и -з оо. Поэтому 1'пп х, = О. (1) „,, (п е Ц! .и-~-1 Следовательно, и Л„(х) = е *, — з 0 при п — г со. 1 Иначе суммарная ошибка округления при расчетах может значительно превысить йз 1например, при количестве слагаемых, равном 10, эта ошибка может достичь величины 5 ° 10 ь). Введем обозначение )к1 написать при и = Л + 1, -1- 1 10гч-1)! 1 2 3 = о; тогда, заметив, что 0 < д < 1, можем Я+2, Я+3 и тдх 17! Разложении по еогмглк тжйлогк этнкций с". япх, созх !зз Из предыдущего следует, что при любом х, взяв достаточное число членов, мы можем вычислить ех с любой степенью точности.
2. Разложение функции г"(х) = з|пх. 11аходим последовательные производные от Г(х) = япх: (!"!(х) = яп(х + и-), /!"!(0) = яп — '", ~'""'(*) = (.+(.+1)Ь), ~'""'(~) = -(~+(-+1)$) Подставляя полученные значения в формулу (10) 9 6, получим разложение функции /(х) = зшх по формуле Тейлора: хз хк х", хкы х япх = х — — + — —... + — яп — + — вп(с + (п+ 1)-). 3! 5! и! 2 (и е 1)! Так как ~вп(с + (и+ 1) — ) ~ < 1, то 1пп й„(х) = 0 при всех значениях х. Применим полученную формулу для приближенного вычисления яп 20'.
Положим и = 3, т.е, ограничимся двумя первыми членами разложения: ,з яп20 С = вп — - — — — ( — ) = 0,342. о ° я я ! /х 9 9 3!(9/ Оценим сделаннук1 ошибку, которая равна остаточному члену: 4 ! ! Дз~ = (-) —, яп((+ 2п) ~ < (-) —, — О, 00062 < О, 001. Следовательно, ошибка меньше, чем О, 001, т.е. вп 20' = О, 342 с точностью до О, 001.
х' Рис. 97 /(х) = впх, /' (х) = сок х = з!п(х+ — ), /' (х) = — зш х = з!п(х + 2~ ), 2/' /"п(х) = — сок х = з|п(х + 3 — ' ), 2/' 7~~(х) = зшх = яп(х-Ь 4~1, 2)' 7'(0) = О, )'(О) = 1. г'"(0) = О, 7'и'(О) = -1. ( О ) О 134 нвкогогыг. твогкмы о лиохвгвицигтемых с кикциях |гл. гу На рис.
97 даны графики функции 7'(х) = 5!их и первых трех хз хг хя ПРИбпнжвинй: Я!(Х) = Х, хя(Х) = Х вЂ” зг г 55(Х) =-.Г, — зг + —,. 3. Разложение функции ?(х) = созх. находя значения последовательных производных при х =- О от функции 7(х) = созх и подставляя в формулу Маклорена, получим разложение: х- х" .с", тп х"Э' г я! соя х = 1 — — + — —... + — соз — + соя ( 5 р (и + 1)— 2! 4! '' гп ' 2 (и-|-!)! 2,] |4! < (х(. Здесь также !пп ]ла(х) = О при всех значениях х. Упражнения к главе 1Ч Проверить справедливость теоремы Ролля для функций 1.
у = хз — Зх+2 на отрезке (1,2'г. 2. у = хз -|-5хз — бх на отрезке |О, 1]. 3. у = (х — 1)(х — 2)(х — 3) на отрезке (1,3). 4. у = я|ггт х на отрезке (О, гг]. б. Функция Дх) = 4хя + х — 4х — 1 имеет корнями ! и — 1. Найти корень производной 7г(х), о котором говорится в теореме Ролля. 6, Проверить, что между корнями функции у = <гх~5х+ б находится корень ее производной. 7. Проверить справедливость теоремы Ролля для функцив у = совах на отрезке ( — —, -|- — '|.
8. Функция у =- ! — л'х" обращается в нуль на концах отрезка (-1,1]. Убел диться в том, что производная от этой функции нигде в интервале (-1, 1) в нуль не обращается. Объяснить, почему здесь неприменима теорема Ролля. 9. Составить форлгулу Лагранжа для функции у = я!ггх на отрезке (х|,хз]. Оте. ягпхз — 5!ох! = (хя — хг) со5 с, хл < с < хз 10. Проверить справедливость формулы Лагранжа для функции у = 2:г — хз на отрезке (0,1). 11. В какой точке касательная к кривой у = ха параллельна корде, стягивающей точки М,(0, 0) н Мт(а,а" )? Опля. В точке с абсциссой с = агг " сгш 12. В какой точке касательная к кривой у = 1и х параллельна корде, стягивающей точки Мг (1,0) и Мз(е,!)? Оте. В точке с абсциссой с = е — 1.
Пользуясь теоремой Лагранжа, доказать неравенства: 13. е* ) ! .|- х. 14. 1п(1+ х) < х (х > О). 15. Ь" — а" < пЬ" '(Ь вЂ” а) при Ь > а. 16. агс!бх < х. 17. Написать формулу Коши для функций 7(х) = хз, р(х) = х на отрезке (1,2] и найти с. Огне. В точке с абсциссой с = |4. х — 1 ! с* — е Вычяслить следующие пределы 18. 1пп .
Оте. —. 19. Ош г х" — 1 и -го яшх я !йх — я: е* — ! я!пх Оте. 2. 20. !пп — —. Оте. 2. 21. |пп —. Оте. — 2. 22. !цп *-ло х — я|п х *-ло соя х — ! -ло у'Ы вЂ” соя х 1пжпх Огне. Предела не существует (лгй при т-л.|-0, -ьг2 при х — л — О). 23. |пп ,,3 !г; — 2х|Я 1 а* — Ь' а х — агсяш х 1 Оте. — —. 24.
Ит . Ото. |и —. 25. !гпл з . Оте. 8 лыо х Ь *-го я!пз х б яшх — ыпа ск+ыпу-1 с*я!пх-х 26. !пп . Оте. сова, 27. 1пп . Ото. 2. 28. 1пп — х-а я-ло 1п(1-|-у) ' *-ло зхя-|-хя ! г1 паыложкник по хгьпмулгь гкйлот! пункций е*, впх, созх 135 1 Зх — 1 3 1и х Огиз. —. 29. 1пп . Оп!в. —. 30. Игп — (где и > 0). Отв. О.
3 "- 2х+5 2 !ох" 1 х1-1 1п(! -) !— 31. 1пп —. Г)тв. 1. 32. 1ип =. Отв. — 1. 33. 1пп — '. Отв. х х . у агс!8 х х — 1 ю-ьвоь е в 1п —— е*.г е 1п вп Зх О при о, > О. оо прн а < О. 34. 1пи — —. Отв. 1 35. 1пп . Отв. -!в ю е* — е о !ивпх 1п!87х, 1п(х — 1) — х тх 1.
36. 1пп — —. Отв. 1. 37. 1пп — — —. Оп!в. О. 38. 1пп (1 — х) гб— о! ь82х *-! !8" * ! 2 2х 2 ! 2 1 1 1 х Опш. —. 39. 1пп [ — — — — — ~. Отв. — —. 40. !пи [ — — — 1. Оп!в. — !. г ! хг — 1 х — 1 2 *-ь! 1пх 1пх! х 1 ! 1 41. Ии! (асс гь — !8гь). Отв. О. 42. Ипь ~ — — ~. Оп!в. —. 43. 1ип хс!82х. *-!!ьх — 1 1пх] 2 * — ьо г ! Оп!в. —. 44. Ип! хге*т, Отв. сю. 45. Иш х'- . О!ив. —. 46. 1ип ч/!г. Отв. 1. 2' о ' ' ' '* — ь! ' ' е' 1 47. Игп ! — ) . О!ив. 1. 48.
1пи !1-~- — ) . Отв. е . 49. 1пп (с!Зх)ьег, Отв. —. . 0~.) е ! гвпоь' — т тхььз— 50. Игп (сов х) г . Огов. 1. Ы. 1ип ! — ) е . Отв. —. 52. 1ип (!8 — ) т — ьо !г - чвье *-ь! 4,) " 'г 1 Отв. е 53. Разложить по степеням х — 2 многочлеп х — 5х + 5х + х х 2. О!ив. 4 3 " г — 7(х — 2) — (х — 2) 4 З(х — 2)з -г (х — 2)4, 54. Разложить по степеням х + 1 многочлен хз + 2х! — х! -ь х + 1. Отв.
(т + 1)г + 2(х + 1)з З(х .ь 1)4 + (х !. 1)з 55. Написать формулу Тейлора для функции у = ь/х при а = 1, п = 3. Отв. х — 1 ! (х — !)г ! (х — 1)з:! (х — 1)4 !б .,ьх= 1 1- ]1 4 д(х — 1)] г, 1 2 1 2 4 1-2 3 8 4! 15 0 < д < 1. 56. Написать формулу Маклорена для функции у = чг! -1- х при и = 2. Отв. 1 1 хг ,/1-~- х = 1 !. -х — —.тг ь- —, 0 < О < 1. з ' 16(1 6 Ох) г 57.
Пользуясь результатами предыдущего примера, оценить погрешность приг 1 ближенного равенства,/1 +х 1+ — х — — хг при х = 0,2. Отв. Меньше 2 8 2 10з Выяснить происхождение приближенных равенств при небольших значениях х и оценить погрешность этих равенств: хг х4 хз 2хз з 58. 1псозх — — — — — 59. !Их х+ — -1- —. 60. агсвпх- х-1- —. 61. 2 12 3 15 б хз е* -1- е хг хв 5хз агсь8х щ х — —. 62. 1-1- — -1- —.
63. 1п(х-1- Д вЂ” х~) в х — хг 4 —. 3 2 2 24 б Пользуясь формулой Тейлора, вычислить пределы выражениб; х — в!их 1пг(!ух) — впгх 64. 1ип Отв. 1. 65. 1пп — — . Отв. О. 66. *-ьо х! г-ьа ! — е е* — 1 — х-.— 2 2(!Кх — зшх) — х 1 г ! г 1! 1ип Отв.
—. 67. Ип! [х — хг1п!! Π— )]. Отв. О. 68. * — ьо хз 1ип ( —, — — ). Отв. —. 69. 1ип ( — — с!Зг х). Отв. .-о(,хг х )' 3 '.,о(,хг )' ' 3' Клава Ч ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ э 1. Постановка задачи Изучение количественной стороны различных явлений природы приводится к установлению и изучению функциональной зависимости между участвующими в данном явлении переменными величинами. Еслн такую функциональную зависимость можно выразить аналитически, т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
