Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 27
Текст из файла (страница 27)
100 изображена функция, у которой прн х = хз производная обращаетсн в нуль (касательная горизонтальна), но в этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Точно так же функция д = х (рис. )02) при х = 0 имеет производную, равную нулю: (у ) о = (Зх ), о — — О, но в этой гочке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, как бы ни была близка точка х к точке О, всегда ха<0 при х<0 х >О прн х>0. Рпс. 102 Мы исследовали тот случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную.
Как же обстоит дело в тех точках, где производная не существует? Мы покажем на примерах, что в таких точках может быть или максимум, или минимум, но может и не быть ни того, ни другого. у у=(дхиз)'з 1 0 Рпг, 103 Рпс. 104 Рпс. 105 Пример 1. Функция у = (х! пе имеет производной в точке х = 0 (а этой точке кривая пе имеет определенной касательной), по е этой точке данная функция имеет минимум: р = 0 прп х = О, тогда как для всякой точки х, отличной ог нуля, имеем у > 0 (рпс.
103). Пример 2. Функция у = (1 — хзУз)зсз пе имеет производной прп х = О, так как у' = -(1 — хзтз)ызх Пз обращается а бесконечность пря х = О, по в этой точке функция имеет максимум: 1'(О) = 1, 1"(х) < 1 прп х, отличном от нуля (рпс. 104). Пример 3. Функция у = ьз х не имеет производной црн х = 0 (у' -з со пря х -4 0). В этой точке функция пе имеет нп максимума, нп минимума: 1(0) = 0; У(х) < 0 для х < 0; 1(х) > 0 для х > 0 (рпс.
105). Таким образом, функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: либо в тех точках, где производная существуег и равна нулю; либо в тех точках, где производная не существует. !42 иост!Вдовяние НОВедения Функций Заметим, что если производная не существует в какой-либо точке (но существует в близлежащих точках), то в этой точке производная терпит разрыв. Значения аргумента, при которых производная обращается в нуль или терпит разрыв, называются критическими то«!коми или критическими значениями.
Из предыдущего следует., что не при всяком критическом значении функция имеет максимум или минимум. Однако, если в какой-либо точке функция достигает максимума или минимума, то эта точка наверняка является критической. Поэтому для разыскания экстремумов функции поступают следующим образом: находят все критические точки, а затем, исследуя отдельно каждую критическую точку, выясняют, будет ли в этой точке максимум или минимум функции или же не будет ни максимума, ни минимума. Исследование функции в критических точках опирается на следующие теоремы.
Теорема 2 (достаточные условия существования экстремума). Пусть функция т'(х) непрерывна в некотором интервале, содержащем критическую точку хт, и дифференцируелта во всех тпочках этого интпервала (кроме, бнтпь может, самой тпочки х!). Если при переходе слева направо через эту тпвчку производная меняет знак с плюса на минус, то при х = х! функция имеетп максимум. Если же при переходе через точку х! Слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеета в этой точке минимум. Таким образом, ( (т(х) >0 при х<хт, если а) ( ~'(х) <0 при х>хт, то в точке х! функция имеет максимум; ( ('(х) <О при х<хт, если б) ('(х) > 0 при х > хт, то в точке х! функция имеет минимум.
При этом надо иметь в виду, что условия а) или б) должны выполняться для всех значений х, достаточно близких к хт, т.е, во всех точках некоторой достаточно малой окрестности критической точки х!. Доказательство. Предположим сначала, что производная ме- няет знак с плюса на минус, т.е. что для всех х, достаточно близких к точке хт, имеем: у'(х) > 0 при х < хт, ('(х) < 0 при х > х!. Применяя теорему Лагранжа к разности у(х) — т(х!), получим у(х) — т(х!) = т" (Д)(х — х!), где С есть точка, лежащая между х и х!. 143 МАКСИМУМ И МИНИМУМ ФУНКЦИЙ 1) Пусть х < х1, тогда 6 <х,, !'(С) >О, з'(с)(х--х,) <О и, следовательно, Дх) — Дх1) < О, .((х) < П ) или 2) Пусть .г > х1, тогда А > х„ !'(~) < О, з'(Я)(х — х,) < 0 и, следовательно, 1(х) — 1(х1 ) < О, 1(х) < !(х1).
или (2) Соотношения (1) и (2) показывают, что для всех значений х, достаточно близких к х1, значения функции меньше„чем значения функции в точке т, Следовательно, в точке х1 функция !(х) имеет максимум. Аналогичным образом доказывается вторая часть теоремы о достаточном условии минимума. Рис. 106 наглядно иллюстрирует смысл тео- ремы 2. Пусть в точке т, = х1 имеем !'(х1) = О и для всех х, достаточно близких к точке х1, выполняются неравенства )У(х) >О при х < х1, ~'(х) <О при х > х1.
Рис. 10б з (х) <О при х<хз, 1'(х) > 0 при х > хз, то при х < х касательная к кривой образует с осью Ох тупой угол — функция убывает, а при х > хз касательная к кривой образует острый угол — функция возрастает. При х = хз функция переходит от убывания к возрастанию, т.е. имеет минимум.
Тогда при х < х1 касательная к кривой образует с осью Ох острый угол — функция возрастает, а при х > х1 касательная образует с осью Ох тупой угол — функция убывает, при х = х, функция переходит от возрастания к убыванию, т.е. имеет максимум. Если в точке хт имеем г'(хз) = 0 и для всех значений т., достаточно близких к точке те, выполняются неравенства 144 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ 1гл. ч Если при х = хз имеем 1'(хз) = 0 н для всех значений х, достаточно близких к хз, выполншотся неравенства (х) )0 при х<хз, ('(х) > 0 при х > хз, то функция возрастает как прн х < хз, так и при х ) хз.
Следовательно, при х = хз функция не имеет ни максимума, ни минимума. Именно такой случай имеет место для функции у = хз при х = О. Действительно, производная у' = Зх~, следовательно, (у )ь=в = ", (у') <о > О, (у') .>о > О, а это значит, что при х = 0 функция не имеет ни максимума, нн минимума (см.
выше рис. 102). З 4. Схема исследования дифференцируемой функции на максимум и минимум с помощью первой производной На основании предыдущего параграфа можно сформулировать следующее правило для исследования днфференцируемой функции у = ((х) на максимум и минимум: 1. Ищем первую производную функции, т.е. 1'(х).
2. Находим критические значения аргумента х; для этого: а) приравниваем первую производную нулю и находим действительные корни полученного уравнения у'(х) = 0; б) находим значения х, при которых производная ('(х) терпит разрыв. 3. Исследуем знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остаегся постоянным в интервале между двумя критическими точками, то для исследования знака производной слева и справа, например, от критической точки х (рис.
106) достаточно определить знак производной в точках а и 11 (х1 < а < хз, хз < 13 < хз, где х1 н хз — ближайшие критические точки). 4. Вычисляем значение функции г'(х) прн каждом критическом значении аргумента. Таким образом, имеем следующее схематическое изображение возможных случаев: 145 СХЕМА ИССЛНДОВАНИЯ ФУНКЦИИ Знаки производной 7'(х) при переходе через критическую точку х! Характер критической точки х > х! х < х! ~'(х!) = 0 или разрывна Точка максимума 7'(х1) = 0 или разрывна Точка минимума Нет ни максимума, ни мини- мума (функция возрастает) Г(х!) = О или разрывна Нет ни максимума, ни мини- мума (функция убывает) г'(х!) = 0 или разрывна Пример 1. Исследовать на максимум и минимум функцию у= — — 2х +Зх-1-1. =ха з = 3 Решение.
1) Находим первую производную: у' = хз — 4х -1- 3. 2) Находим действительные корни производной: х — 4х+3 = О. Следовательно, Рис. 107 Производная всюду непрерывна. Значит, других критических точек нет. 3) Исследуем критические значения и результаты исследования фиксируем на рис. !07. Исследуем первую критическую точку х! = !. Так как у' = (х — !)(х — 3), то при х <1имеем у'= ( — )-(-) > 0; при х > 1 имеем у' = (-1-) ( — ) < О. Значит, при переходе (слева направо) через значение х! = 1 производная меняет знак с плюса на минус.
Следовательно, при х = 1 функция имеет максимум, а именно. (У)*=! — 3 7 Исследуем вторую критическую точку хт = 3; при х < 3 имеем у' = (+) (-) < 0; при х > 3 имеем у' = (-!-) ° (+) > О. Значит,при переходе через значение х = 3 производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, при х = 3 функция имеет минимум, а именно; (у) =з = 1. На основании проведенного исследования строим график функции (рис. !07). Пример 2. Исхледовать иа максимум и минимум функцию ()3/2 Решение. 1) Находим первую производную: у = Ухт+ —— з 2(х — 1! Зх — 2 Зфх Зфх 1.15 ИССЛЕДОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ ФУНКЦИЙ !гл у 2) Находим крнгические значения аргумента: а! находим точки, в которых производна» обращается в нуль.
5х — 2, 2 у'= --з — --О, х,=-=-; 1 з;. б! находим тачки, в которых производная терпит разрыв (в паннам слу 1ае обращается в бесконечность). '!'апай точкой будет, очевидно, точка Рис. 108 ха=о. (0тхгетим, что пргг хт =. 0 рассматриваемая функция определена и непрерывна.) Других критических точек нег ;1! Исследуем характер полученных критически: точек Исследуем точку х1 = 21'5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
