Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Эта функция определена в бесконечном интервале — оо < у (+со. На отрезке О < у ( я функция х = сову -- убывающая и имеет обрагну!о, которую обозначают так: !гл ш ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ Пример 3. у = агссов(!ах), у:г . — — — (!их) " г ! 1 1 гг! . !Кгх ' ггсг .!К~в совгх 3) Функция у .= Вгс!3х.
Рассмотрим функцию '=!ку (3) у = агс!3х. Эта функция определена на интервале функции заполняют интервал -- < гуг 2 функции у = агс23х изображен жирной Теорема 3. Производная от функг)и со < х < +ОО. Значенггя < -",. На рис. 73 график 2' линией. и агой х равна , т.е. 1 ! хг у (Х1Х) 1-1-хг если у = агс!3 х, то Доказательство.
На основании равенства (3) находим: 1 г сову у Следовательно, 2/ = —,=с08 у, г 1,,2 у но У г, г ,г ! 1 весу У 1 -'г гхг У ' так как !3У = х, то окончательно получаем: 1 у =,„.г. Пример 4. у = (асс!их)г, у' = 4(агс!к х)в(агсга х)' = 4(агсгв х) з 1 -г- х 4) Функция у = агсс!" х. Рассмотрим функцию х = с13У. Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений у = йт ()с = О,х1,х2,...). График этой функции изображен на рис. 74. На интервале 0 < у < Я функция х = с!3у — убывающая и имеет обратную, которую обозначюот: у = вессс„х. и построим ее график (рис. 73). Эта функция определена при всех значениях у, кроме значений у =- (21+ 1)"- (Й = О,х1,х2,...). На интервале — —, < у < в функция х = !3у — - возрастающая и имеет 2 обратную, которую ооозначают так: тАБлицА ООНОВнь!х ФОРмул диФФИРкипиРОИАиии 87 у Рис.
71 Рис. 73 ! ! !+ хе 1 (хх) если у = агсс!Ит, то Доказательство. Из (4) получаем: х 1 У !Иг„ Следовательно, у,' = — сбп у = — — 2— г соеес у Поэтому ! = — — — 7 —. НО С!ИУ = Х. 1+с!к у' ! 1 у ° х 1+х2 2 15. Таблица основных формул дифференцирования Объединим теперь в одну таблицу все основные формулы и правила дифференцирования, выведенные в предыдуШих параграфах у = сонэ!, у' = О. Степенная функция: у' = ох~ у=х в частности, 2угх ' ! 1 у х2 У= А/Х, у ! Эта функция, следовательно, определена на бесконечном интервале — со < х < +Ос, ее значения заполняют интервал О < у < я.
Теорема 4. Производная функ!!ии агсс!Их равна — т, т.е. 1 !Фх ' ез ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ [ГЛ. П! Тригонометрические функции: у = з1пх, у = созх, у= !Кх, гу = ОСкх, у' = созх, у' = — япх, 1 СОЗ Х 1 У = г Б!П Х Обратные тригонометрические функции: у = агсяпх, у у = агссозт, У = агсгях, у = агсс1кх, у' = а*!па; у= ах, в частности, у' = е*. у=е*, Логарифмическая функция: у = 1о~,х, у' = — 1ок,е; в частности, у = У = 1пгч Общие правила дифференцирования: Си'(х) (С = сова!), и +ю' — ю, у = Си(х), у = и+и — иг, у = ию, у' = и'и + ии', ) ию — ию ! У г Ю у,' = у„'(и)!р',(х), у' = ии" 'и'+и"и'1пи. где з и уг — взаимно обратные функции, у = гг, — где у = г(х). 1 2! (и) Показательная функция: Если у = ~(х), х = уг(у), то 1'(х) = ! Р'Т вЂ” Х~ ! РГ1:х ' 1 1+ хг 1 2' 89 плглмвтгичвоков злдлнив оункции 2 16.
Параметрическое задание функции Даны два уравнения: х = |р(г), ) у = 9(г), ( (1) где г принимает значения, содержащиеся на отрезке (т!,тт). каждому значению 1 соответствуют значения х и у (функции !р и гр предполагаем однозначными). Если рассматривать значения х и у как координаты точки на координатной плоскости Оху, то каждому значению 1 будет соотнетствовать определенная точка плоскости. Когда г изменяется от Т! до Тт, эта точка на плоскости описывает некоторую кривую. Уравнения (1) называются параметприческими уравнениями этой кривой, ! назынается параметром, а способ задания кривой уравнениями (1) называется параметрическим. Предположим, далее, что функция х = !р(7) имеет обратную 1 = Ф(х).
Тогда, очевидно, у является функцией от х; у = г(!(Ф(х)). (2) Таким образом, уравнения (1) определяют у как функцию от х, и говорят, что функция у от х задается параметрически. Выражение у = 1(х) непосредственной зависимости у от х может получиться путем исключения параметра 1 из уравнений (1). Параметрическое задание кривых широко применяется в механике.
Если в плоскости Оху движется некоторая материальная точка и нам известны законы движения проекций этой точки на оси координат т = 97(!) 1 У = Ф(г)1 ' где параметр ! есть время, то уравнения (1') являются параметрическими уравнениями траектории движущейся точки. Исключая из этих уравнений параметр 7, получим уравнение траектории Уб в форме у = 1'(х) или г'(х,у) = О. рассмотрим, например, такую задачу. Задача. Определить траекторию и место падения гру- Рис. 75 за, сброшенного с самолета, движущеюся горизонтально со скоростью ео иа высоте уо (сопротивлением воздуха можно пренебречь). Решение. Возьмем систему координат так, как показано на рис.
7б, предполагая, что самолет сбрасывает груз в тот момент, когда он пересекает ось Ор. Очевидно, что горизонтальное перемещение груза будет равномерным, с постоянной скоростью ео! з =е,с. Вертикальное перемещение падающего груза под влиянием силы тяжести будет выражаться формулой 9Р 8 = —. 2 уо ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ (гл, ги Гоедовагельно, расстояние груза от земли в любой момент времени будет выраягатьсв формулой ур у '=- уо 2 1(ва уравнения: ур г = оог, у =- уо— будут параметрическими уравнениями траектории.
Чтобы исключить параметр Г, из первого уравнения находам значение 1 = — и подставляем это значение во оо второе уравнение. Тогда получим уравнение траектории в форме У =.Уо у Это уравнение параболы с вершиной в точке М(о,уо), причем ось Оу служит осью симметрии параболы. Г)пределим велнчиву отрезка ОС. Обозначим абсциссу точки С через Х, заметим, что ордината этой точки у = а Подставляя эти значения в предыпушую формулу, будем иметь: о=у У г 2"о откуда Х = оо,у1 —. (~Уа 2 17. агравнения некоторых кривых в параметрической форме Окружность. Дана окружность с центром в начале координат и радиусом г (рис.
76). Обозначим через 1 угол, образованный радиусом, проведенным е некоторую точку М(х,у) окружности, и осью Ох. Тогда координаты любой точки окружности выразятся через па аметр 1 следующим образом: х = гсовг 0 ( Г ( 2т. у = гя1пг Это и есть параметрические уравнения окружности. Если мы исключим из этих уравнений параметр 1, то получим уравнение окружности, содержащее только х и у. Возводя в квадрат параметрические уравнения и складывая, находим: х ч-у =г (сов 2-~-шп 2) г г г г или х +у =г.
Эллипс. Дано уравнение эллипса 2 2 ьг — Ф вЂ” = Е Положим х = асов с (2') Подставляя это выражение в уравнение (!) и производя необходимые преобразования, получим: (2п) у = Ьвшг. уРАВннния кРиВых В г!АРАмет'Ри'гнпкОЙ Фбнми з Сг] Уравнения О < С < 2., (2) у = Ьяп С ~~ ~ а Г ~ ~ О ~ ~ С ~ | я являются параметрическими уравнениями эллипса. Выясним геометрический смысл параметра Проведем две окружяости с центрамн в яачале координат и радиусами а и Ь (рис. 77).
Пусть точка ЛС(х, у) лежит на эллипсе, а  — — точка большой окружности, имеющая ту же абсциссу, что и точка М. Обозначим через С угол, образованный радиусом ОВ с осью Ох. Непосредствеяно из рпсунка следует: Рис. 77 х = ОР = асов с (это — уравнение (2']], СО = Ьз|п С. х = ОР = О — РВ, но так как окружность катится без сколь- жения, то РВ = МК = ав!и ОВ=МВ=а!, Рис. 78 Следовательно, х = аС вЂ” а яп 1= а(1 — в!п 1).
Да!ее, у = МР = КВ = С — СК = а — а сов1 =- а(1 — сов1). Уравнения х = а(1 — вш 1) О ( С ( 27г, (8) у = а(! — сов 1) являются параметрическими уравнениями циклоиды. При изменении 1 от О до 2к точка М опишет одну арку циклоиды. Исключим параметр 1 из последних уравнений и получим непосредственную зависимость х от у. На отрезке О ( С ( к функция у = а(1-сов!] имеет обратную: а — у 1 = агссов —. а На основании равенстна (2Я) заключаем, что ССС = у, т,е.
прямая СМ параллельна оси Ох. Следовательно, в уравнениях (2) С есть угол, образованный радиусом ОВ и осью абсцисс. Угол 1 иногда называют эксцеипгрпческпм углом. Пиклоида. Ццклопдоб называется кривая, описанная точкой, лежащей на окружности, если эта окружность катится без скольжения по прямой (рнс.
78). Предположим, что точка М катящейся окружности в начале движения совладала с началом координат, Определим координаты точки М после того, как окружность повернулась на угол С. Обозначим через а радиус катящейся окружности. Как видно нз рис. 78, (гл, ги ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФВРЕИГ2ИАЛ подставляя выражение для ! в первое из уравнений (3), получим; а — у .г а — уу х = а агссоз — — а и!и (агссов — ) а а / или а — у х = а агссов — — уг 2ау — уз а х при 0(х(гга. Непосредственно из рис. 75 замечаем, что при ка ( х ( 2та а — у х = 2 га — (а агссов — уг2ау — уз). Замегим, что функция х = а(С вЂ” вш2) имеет обратную, но она не выражается через элементарные функции.
Позтому и функция у = Пх) Рнс. 79 не выражаетгя через элементарные функции. Замечание 1. На примере циклоиды легко убедиться, что в некоторых случаях для исследоваяия функций и кривых параметрические уравнения удобнее, чем непосредственная зависимость у от х или х от у. Астроида. 2(сгароидой называется кривая, заданная следующими параметрическими уравнениями: 0 ( <С < 22Г.
(4) у=аз!и ! С 2 Возводя все члены обоих уравнений в степень 2/3 н складывая, получим зависимость между х и у: х273 4 у273 = а273( в22-!-31пзрь или 273 + 273 273 (5) Ниже (см. ! 32 гл. )Г) будет показано, что зта кривая имеет форму, изображенную на рис. 79. Эта криная может быть получена как траектория некоторой а точки окружности радиуса —, катящейся без скольжения по другой окружно- 4' сти радиуса а (причем меныпая окружность все время остается внутри большей; см. рис. 79).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
