Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 12
Текст из файла (страница 12)
СРАВНЕНИЕ ЕЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ Определение 3. Бесконечно малая )3 называется бесконечно малой И-го порядка относительно бесконечно малой а, если /3 и аь-- бесконечно малые одного порядка, т.е. если 1пп)3/аь = А ф О. Пример а. Если а = х, Г3 = хг, го при х ы О бесконечно малая д есть бесконечно малая третьего порядка отвосительно бесконечно малой а,так как 1нп фп = !Нп х /!х) = 1. .->о *-эа Определение 4.
Если отношение двух бесконечно малых /3/а стремится к единице, т.е, если 1!ш,б/а = 1, то бесконечно малые д и а называют эквивалентными бесконечно малыми' ) и пишут а )3 Пример б. Пусть и = х и д = з!их, где х -э О. Бесконечно малые а и 13 эквивалентны,так как з1п х о Пример 6. Пусть и = х, !3 = 1п!1 + х), где х -г О. Бесконечно малые а и )3 эквивалентны, так как 1и!1+ х) 1!то х д — а хз 1пп — = 1нп— о и, о х 13 — и . хз йгп — = 1пп *->о !3 х-~о х Е хз !них =О, г-ге хг йгп х =О.
*-эо 1 + хг Пример 6. Прн х э оо бесконечно малые а = -* — т- и 33 = — — эквивах+1 х х лентные бесконечно малые, так как ик разность а — 13 = — т — — — — — — у есть х+1 1 1 х х х '1 В этом случае а и 33 иногда называют равноснльнымн бесконечно малыми. !см. пример 6 1 9). Теорема 1. Если а и )3 — эквивалситныс бесконечно малые, то их ра,тность а — )3 есгпь бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем )3.
Доказательство. Действительно, 1'пп — = 1пп (1 — -) = 1 — !Нп — = 1 — 1 = О. д а 'Х ау а Теорема 2. Если разность двух бесконечно малых а — ф есть бесконечно малая высшего порядка, чем а и чем )3, то а и )3 сугпь эквивалентные бесконечно малые. Доказательство. Пусть 1пп и = О, тогда !!ш(1 — — ) = О, а — д . У о1 и а! или 1 — 1пп ~ = О, или 1 = 1пп ~, т.е. а -)3.
Если 1пп -" —:-и = О, то 1пп(- — 1) = О, !'Нп — = 1, т.е. а Рз )3. Пример 7. Пусть и = х, д = х + х, где х э О. Бесконечно малые и и д эквивалентны, так как ик разность д — и = хз есть бесконечно малая высшего порядка, чем и и чем д. Действительно, 58 ПРЬДЕЛ НЕПРЕРЫННОСГЬ ФУНКПИй 'ГЛ. Н бесконечно малая высшего порядка, чем о и чем д. Предел отношения о и 11 равен 1: х -1- 1 !пп — =- Игп — = !Нп — = !пп (!-Р— ) = 1.
х х11 т 11 с-то тз *-тос 1 *мы Х .-т Х) Замечание. Если отношение двух бесконечно малых ))/а не имеет предела и не стремится к бесконечности, .то )г и гг не сравнимы между собой в указанном выше смысле. Пример 9. Пусть а = х, гз = хзтп(1)х)с где х -т О. Бесконечно малые о и г) не сравнимы, так как ик отношение )З(п = зю(1)х) при х — т 0 ие стремится ни к конечному пределу, ни к бесконечности (см.
пример 4 3 3). Ъ'пражнения к главе П Вычислить указанные пределы. хг -1- 2х .1- 5 1. Игп . Отав. 4. 2. Ипт [2 з!и х — соз х .!. сгб х). Отпв. 2. 3, г З1 *-т /г х — 2 1 4 1 4хз 2хг 1 1 Ипт . Опш. О. 4. Ипт (2 — — -(- — ) . Отв. 2. 5. !ни г ут2 Н Х Х-тс '. Х Хгт *-тос ЗХЗ вЂ” 5 4 х+1 1 + 2 -1-...
-1- п 1 Отав. —. б. 1пп . Отпв. 1. т. !пп — О . †. В. 3 с кс х и тот иг 2 11 -1- 21 -1- Зг -1-... + иг 1 Игл . Отпв. —. О-тсо из 3 Ъ'квзание. Напишем формулу (гс -1- цз — уз = Зкг Ф Згс -1- 1 для гс = О, 1, 2, ..., и. 13 1 23 13 3 11 ! 3 1 1 3 2з 3 21 ! 3 2 1 1 ... (и -1- Ц вЂ” из = Зи + Зи -1- 1. Складывая левые и правые части, получим: (и 4 Цз З(11 Ф 21 -~ ... -Р иг) , З(1 Ф 2 Ф ... -> и) -~ (п 4- Ц, и(и Ф ц (п + цз 3(11 Р 21, + иг)ь 3 + (и -~ ц, 2 откуда п(и -ь Ц(2п .4- Ц 1 92 -1- .,-1-и б х +х — 1 Зхг — 2х — 1 9. )нп Опте. оо. 10, Иш . Ошв.
О. ос 2х ь 5 хз44 4хз — 2х .!.х 1 хг — 4 хз — 1 11. Иш Отав. —. 12. Итп . Отв. 4. 13. 1пп— *-О Зхг-!.2х 2 * гх — 2 * — т1 х — 1 хг — 5з Ф б 1 хг -!- Зх — 10 Отв. 3. 14. 1пп Отав. —. 15. Иш Отав. 1. *-тгха — 12х -1- 20 8 *-тг Зхг — 5х — 2 уз -!- Зуг -!- 2у 2 . из + 4пг + 4и 1б. !Нп . Отпв. — —. 17. !пп . Ошв. О. 18. в-т — г уг у б ' 5 ' „т г(п4 2И„З)' (х15)З хз 1 3 „.а !пи . Отпв. Зхг. 19. 1нп ~ — — ~.
Ошв. — 1. 20. Иш— т о 6 *-т1 1 — Х 1 — ХЗ1 с-т1 Х вЂ” 1 Угг+ Отав. и (и — целое положительное число). 21. Иш Отв. —. 22. с О х 2 ~I2х х-1- 1 — 3 2ът2 „гхг Ф рг р 4 уз'х — 1 11гп Отав.. 23. Игп Ошв. —. 24. !пп— ьтх — 2 — '12 3 к — то утхг + Ог 4' ' р т-т1 стх — 1 УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ ГГ 2 /х — и/а Т/а ут! -!- х Р хс — ! ! Отав. —. 25. !Пп — —. Опте.. 26. Игп — — Отпв. 3 Х вЂ” О тив -тв х 2 'хя:3 . ух' Р ! 2Т. 1пп я . Отпв. 1.
28. Итп — Оигв. ! при х — г -!-со, -! Нрн УЯ 3 — — „— ! 1 х — т -со. 29. !пп (и/ху+ ! — утт2 — 1), Оюв. О. 30. Иш х(,/х2-!. ! — х). Отв. 2 впх я!п 4х при х — т -1-со, -со при х -т — оо 31. !Пп —. Отпв. 1. 32. Игп . Овгв. 4. *-тв !ЗХ с-то Х я!Оя(х/3) ЗЗ. Игл . Отпе. —. 34. Ищ х/у/1 — соя х.
Отав. ус2. 35. Иш х с!8 х. с О хя 9 с-г+О О 1 — 2сояв т" 2 Отав. 1. 36, Игп .. Опте. и'3. ЗТ. !Пп (1 — г) 18 †. Овгв. с -т /я зги(в ! *-т! 2 тг 3/ 2агсвпх 2 вп(о+ х) — вп(Π— х) 38. Игл Отив. —. 39. Иш — Отпв 2 соя О. с — тв Зх 3 *-то х !Зх згпх 1 . с 2тв 2 , с 1сс 40. !Пп Отпв. —. 41. !пп (1.+ -) . Отпв. ея. 42. Иш (! — -) х 1 т х ! !с +я Отпв.
—. 43. Иш ( — ) . Опте. —. 44. !пп (1 + — ) . Отпв. е. е — ' 1-1-х е ит~ и 45. Иш (п(ув(п -1- 1) — !пи)). Отпв. 1. 46. !Пп (1 -1- соя х)зтсс Отпв. ея. и ис г /2 !п(1+ах) . г 2х-1-3 ьг 2 сс 2 47, !пп . Отав. а, 48. !гш ( — ) . Отв. е. 49. иш(143!82 х)"я *. *-со х ' с-сси 2х-!.1 О ( х 1 и . !П(1 9 е ) Отив.
ез. 50. !Нп (соя — ) . Оп!в. 1. 51. !Пп . Отпв. 1 при а -т Жсо, '--г я1п ах а Π— ! 0 при а т -со. 52, Ипг —. Отив. —. 53. !Нп (в ) !). Отав. -1-Оо о яш;3х )) -с х 1 е * — ееи при х -т -!.со, 0 при х — т — оо. 54. Иш и!в — 1~. Отпв. 1пв. 55.
Ипт и с си .;о х е * — евв Отпе. а — ту. 56. Игп, Отив. 1. с-св я!п ах — я!ОтЗх Определить точки разрыва функций: х — 1 1 ЗТ. у= Оспе. Разрывы при х = -2; -1; 0; 2. 58. у = гй —. х(х -!- 1)(хя — 4) х 2 2 2 Опте. Разрывы при х = 0 и х = ш-! х —, ... ', * тг' Зтг' ' (2п+1)тг' 59. Найти точки разрыва функции у = 1 + 221* и построить график этой функции. Отпв.
Разрыв при х = 0 (у -+ -1-со при х — т О+ О, у — т 1 при х -т 0 — О). 60. Между следующими бесконечно малыми (при х -т О) величинами хя, у/х(! — х), ягп Зх, 2х соя х (/182 х, хея* выбрать бесконечно малые одного порядка с бесконечно малой х, а также высшего и низшего порядка, чем х.
Отив. Бесконечно малые одного порядка с х: вп Зх и хея*; бесконечно малые высшего порядка по сравнению с хс хя и 2хсозх яс/Гйях; бесконечно малая низшего порядка по сравнению с хг у/х(1 — х). 61. Среди указанных бесконечно малых (при х — т О) величин найти бесконечно малые, равносильные бесконечно малой х: 2впх, г !82х, х — Зхя, у2хя+х~, !О(1 1-х), хя+ Зхя, Отпв. ! 282х, х — Зхя, !п(1+ х). 62.
Убедиться и том, что при х -т ! бесконечно малые величины 1 — х и 1 — огх будут одною порядка малости. Будут ли они эививвлентны? Отпв, 1 — х !Пп — = 3, следовательно, данные бесконечно малые одного порядка, но г 1 — ягх не эквивалентны. Глава 1П ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ й 1. Скорость движения з = 7(1). Пусть в некоторый момент времени*> 1 движущаяся точка М находилась на расстоянии а от начального положения Мо, а в некоторый следующий момент 1+Ы точка оказалась в положении М1 — на расстоянии з+Ьз от начального положения (рис. 57). Таким образом, за промежуток времени Ь1 расстояние з изменилось на рно.
бт ВЕЛИЧИНУ ЬЗ. В ЗтОМ СЛуЧаЕ ГОВОрят, ЧтО За ПрОМЕжутОК времени А1 величина з получила приращение Ьз. Рассмотрим отношение —; оно дает нам среднюю скорость ььз движения точки за время Ь1: Ьз н ер (2) Средняя скорость не может во всех случаях точно охарактеризовать быстроту перемещения точки М в момент К Если, например, тело в начале промежутка Ы перемещалось очень быстро, а в конце очень медленно, то средняя скорость, очевидно, не сможет отразить указанных особенностей движения точки и дать нам правильное представление об истинной скорости ее движения в момент й Для того чтобы точнее выразить эту истинную скорость с помощью средней скорости, надо взять меньший промежуток вре- ~ Здесь, как н в дальнейшем, конкретное значение переменной мы будем обозначать той же буквой, что н саму переменную.
Будем рассматривать прямолинейное движение некоторого твердого тела, например движение камня, брошенного вертикально вверх, или движение поршня в цилиндре двигателя и тд. Отвлекаясь от конкретных размеров и формы тела, мы будем в дальнейшем представлять его в виде движущейся точки М. Расстояние з движущейся точки, отсчитываемое от некоторого начального ее положения Мо, будет зависеть от времени е, т.е.
з будет функцией времени и ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПРОИЗНОДНОЙ 9 г! мени 2аг. Наиболее полно характеризует скорость движения точки в момент 1 тот предел, к которому стремится средняя скорость при 2а1 — > О. Этот предел и называют скоростью дено!сенин в данный момент: в =- 1пп — '. (3) дг-ьп О! Таким образом, скорость!о деижег!ия в даниый момент называется предел отношения прирагцения пути гзя к приращению времени 111, когда приращение времени стремится к нулю. Напишем равенство (3) в развернутом виде. Так как Ья = Д1+ Ы) — Д1), го Найдем 21ж О(!г -Р 21С!1-1- Сг! ) !2!г дьь! 2 Составим отношенне О! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
