Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 14
Текст из файла (страница 14)
пРОизводнля Ог Функции у '= х" 2) пай~и соогвет< твующее приращение функции: <зу = )(<с+ сьх) -- ) (х): 3) составить отноше<ше приращения функции к приращени<о аргумента: Ьу 1(х<-<хг) -. 1(х) дх <ух 4) найти предел данного отношения при Лх — 1 О: — 1(ш — У вЂ” ! (ш а -ш <зх ах — <о <ах Мы применим здесь и в следующих параграфах этот общий способ для вычисления производных ог некоторых элементарных функций.
Теорема. Производная функции у = х", где п — цс.лос полохситпс.льнов число, равна пхн ', т.е. если у = х", гпо у' = пхв Доказательство. Имеем функц<по у =х 1. Если х получает приращение <.'<х, то у + <зу = (х + <ах)". 2. Пользуя< ь формулой бинома Ньютона, находим: <1<у = (х + <лх) ' — х" = = т' + -"хн 'сьх+,;с' 2(<лх) + + (<хх)п — х" или Лу — пх <зх + х (<."Ух) + + (<зх) 3. Находим отношение; — = пх" ' + — — ) хо <зх + + (<лх)" 4. Найдем предел этого отношения: у = 1пп — = 1пп пх" +, х" <ах+ +(11х)н '~ =пхо Ьх <О <зх Ох — <О~ 1 2 следовательно, у' = пхн ', что н требовалось доказать. Пример 1.
у = хь, у' = бхз < = бх<. Пример 2. у = х, у' = 1х ', и' =- 1. Последний результат имеет простое геометрическое толкование: касательная к прямой у = х прн любом значении х совпадает с етой прямой и, следовательно, образует с положительным направлением осн Ох угол, тангенс которого равен 1. Отметим, что формула (1) верна н в случае я дробного и отрннагольного. (Это будет дока<вне в 1 12.) (гл зп ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРКНЦИАЗЗ Пример 3. у =- „тх.
Представим данную функцию в виде степени: х у = 22; тогда по формуле (1) (учитывая только что сделанное замечание) получаем: 1 1 2 или 22зГх 1 ! Пример 4. у = Представим у ввиде степенной функции х — 3/2 Тогда у= — -Х 2 = — -Х 2= 3 — з — з 3 -а 3 2 2 2хз /х '3 6.
Производные от функций у = яп х; у = сов х Теорема 1. Производная от в(пх есть сов х, т.е, если у = япх, гпо у = соях. (П) Доказательство. Дадим аргументу х прирашение Ьх; тогда 1) у + злу = яп(х + звх); 2) 41у = яп(х+ Ьх) — япх = 2ягдх+ * хсоя*+ = 2в1п —. совка х+ — ) ох Г а ) 2 ( 2 2 Мп — сое(х -1- — ) яп— 2 Гзх е1ив 4) у = 1пп — = 1(т зву . 2 . Г звх 1 1цп совках+†ах Ю П* ах,О ~Х 'ах.,а '(, 2 у) 2 но так как йх е1ив 1дп — = 1, 2 ах-зо 2 то у = 111п совках+ — 1 = соях. I I ах-зп Последнее равенство получается на том основании, что соях есть непрерывная функция. Теорема 2. Производная от соях есть — япх, тп.е.
если у = совх, то у' = — япх. (П1) 1 т1 пооизводныя: постоянной, схимы, пгоизвядяния 69 Доказательство. Дадим аргументу х приращение охх, тогда у + Ьу = соя(х + Ьх): Ьу = соя(х+ Ьх) — соях = — 2я!п* ' * 91п — '~,* 2 2 Ьх . / Гхт \ = -2я1п — 91п х+— 2 ( 2 /' дх яго — ' ар 2 . / Дх 1 — — — я1п х+— Ьх Ьх ( 2 2 Ьх я~о— Ьр у = Йп — = 1цп я1п х+ — = — 1цп я1п х+ — ~; ах-~О Ьх дх-~О ах (, 2,) ах-+О ~ 2 2 учитывая, что я1пх есть непрерывная функция, окончательно по лучим; у' = — 91п х. 'я 7.
Производные: постоянной, произведения постоянной на функцию, суммы, произведения, частного Теорема 1. Проияводпая постоянной равна яулю, т.е. если у = С, где С = сопят, то у' = О. (1Ъ') Доказательство, у = С есть такая функция от х, значения которой при всех х равны С. Следовательно, при любом значении х у=у(х) =С. Дадим аргументу х приращение Ьх (Ьх ~ О). Так как функция у сохраняет значение С при всех значениях аргумента, то у + Ьу = у(х + Ьх) = С. Значит, приращение функции равно Лу = 2'(х+ Ьх) — 2(х) = О, отношение приращения функции к приращению аргумента — =О, ,~р ~Хх и, следовательно, у = 1пп — =О, ххр дх о ах т.е у' = О. Последний результат имеет простое геометрическое истолкование.
Графиком функции у = С служит прямая, параллельная оси Ох. Касательная к графику в любой ее точке, очевидно, .совпадает с этой прямой и, следовательно, образует с осью Ох угол, тангенс которого у' равен нулю. 70 !гл. и! пгоизнодиля и диене!'енциа '! у = Си(х), у е Ьу = Си(х е схх), Си(х Е 7!!х) — Си(х) = С(и(х + !хх) — и(х)1, н(х -1- Ьх) — е(х) Ьх 1пп — У = С !Ип ' . т.е, у' = Си'(х). ах-то Пх ьх -ее гьх пу сьх 'у Пример 1. у = З— 1 у'=З( — ') =З(х-у ) =З(--1)х-ег-' = йх-е е7х т.е 3 тхьгх Теорема 3.
Производная суммы конечного числа диффереицируемых функций равна соответствующей сумме производных этих функций* !. Для случая, например, трех слагаемых имеем. у = и(х) е и(х) е ю(х!. у' = и'(х) .1- у'(х) + ю'(х). (171) Доказательство. Для значений аргумента х у=и-';и+в (аргумент х в обозначении функции для краткости письма опус- каем). Для значения аргумента х + 7)х имеем; у+ !ау = (и е саи) е (и + !хи) -ь (ю -1- !."гю), где ггу, л!ец !хи и сх!о — приращения функций у, и, и и и7, соответствующие приращению Ьх аргумента х. Следовательно, С!у С!и т! е гтю С!х !тх Пх гтх ' гху = гав + Ьо е 7аю, у = !пп — = !!щ — + 11п! — -~ 1пп !ту, тЕн . С!е !тю а!с-«О «тх ах-!о Гхх ах !о !тх а«-.!о !.'х или у' = и'(х) + и'(х) + ю'(х).
Выражение у = н(х) — е(х) равносильно у = н(х) Е (-1)е(х) н у' = (н(х) Е +( — 1)е(х))' = и'(х) + (-е(х)!' = и'(х) — и'(х). Теорема 2. Постояиныи множитель можно антоси«пь за знак производной, т.е. если у = Си(х), где С = сопзг, то у =- Си'(х). (17) Доказательство. Рассуждая так оке, как и при доказательстве предыдущей теоремы, будем иметь: ПРОИЗНОДНЫЕ: ПОСГОЯИНОЙ, ОУММЫ, ПРОИЗВЕДЕНИЯ Пример 2.
у = Зх1 —— „= З1х1! (,-1)' З.Л,з ( й),-1-1 т Р. р' = 12х -~- —— з 3 .з Теорема 4. Производная отп произведения двух дифференцируел1ых функций равна произведению производной первой функции на вторую функцию плюс произведение первой функции на производную отп второй функции, т.е. если у = ии, то у' = и'и+ ии'.
(И1) Доказательство. Рассуждая, как и при доказательстве предыдутцей теоремы, получим: у = ии, у+ Ьу = 1и+ Ьи)(и+ тли), сту = 1и + !ли)1и + Ьи) — ии = схии + и!хи+ 1лиЬН, Ь1и Ети тхх сто — = — и+и — + тяп —, ах Гхх сх у = !пп — = 11п1 — и+ 1пп и — + 1пп Ьи — = ОУ . Ьи . Гхе тхе тух — то етх стх — то ~-'х ах — то Ох ах — то 1пп — !и+и 1пп — + 11п1 тли 1пп =( ! Гхи 1 тхе тьэ а -о Ьх! Гхх-то Е1х Ьх — то тьх-то '-тх !так как и и и не зависят от Ьх).
Рассмотрим последний член в правой части 1!т Ьи 1пп СУУ ах- о а - о ох' Так как и1х) — — дифференцируемал функция, то она непрерывна. Следовательно, 1пп Ьи = О. Кроме того, Ьх — >о 11пт — = и' ~ со. ах-~о Пх Таким образом, рассматриваемый член равен нулю, и мы оконча- тельно получаем: у' = и'и + ии . На основании доказанной теоремы легко получается правило дифференцирования произведения любого числа функций. Так, если имеем произведение трех функций у = ииш, то, представляя правую часть как произведение и и 1иш), получим: у = и 1иш) + и1иш)' = и иш + и1и ш + иш ) = и иш + ии ш + ииш'. Таким приемом можем получить аналогичную формулу для произ- водной произведения любого !конечного) числа функций.
Именно, если у = итиз, ., и„, то ! ! у = и из... ип — 1ип + и1и ° ие-1ие + ' ' ' + и1из ° ° ° ие-1и !гл ш пгоизводняя и диеявгвнцилл Пример 3. Если у = хт Б1пх, то у' = (х )'Б1пх+ х (Б1пх)' = 2ХЯПХ Е х Пример 4. Есян З = т1хв1пхсовх, то И = (ь1х) Б1пхсовх ! Б1х(в!пх) сОвх -1. Б1хв1пх(совх) — ЯПХ СОВХ + Ь1Х СОВ Х СОВ Х -1- Бган ЯПХ(- яп Х) = 1 2,гх г 2 ЯП2Х 2 ь1х — — Б1пхсовх+ тгх(сов х — Б1П х) = — -1- т/хсов2Х. 4,/х Теорема 5.
Производная дроби (т.е. частного от деления двух функций) равна дроби, у которой знаменатель естпь квадрат знаменателя данной дроби, а числитель есть разность мезвсду произведением знаменателя на производную числителя и произведением числителя на производную знаменателя, т.е. в если у= —, то у'=" (Ъ'111) Доказательство. Если сьу, Ьи и Ьи суть приращения функций у, и и и, соответствующие приращению Ьх аргумента х, то у+сту= д и -1- Сьи и БС1П вЂ” псве Б + ств е Б(Б 4 Ссе) ' Бсгп — ПЛБ яп ян ссу С1Х Ьх Лх Ссх Б(о -1- сья) Б(Б -1- сье) Сви сье ° гоп .
Гьн — ю — и— Б )пп — — и !оп сту 1. Ссх 2БХ " -1о Ссх и о С1Х ах о Ях а . о Б(п -ь ое) Б !Пп (Б+ 1ао) ໠— >О Отсюда, заметив, что !ли — > О при Ьх — > О'), получаем и Б — ПБ в в У .Б Пример 5. Если у = —, то совх' (хв)' сов х — хв(сов х)' зхт сов х + хв яп х Р савв х сов т х Замечание. Если имеем функцию вида п(х) где знаменатель С есть постоянная, то, дифференцируя эту функцию, иет иацобности применять формулу (ЪП1), а целесообразнее применять формулу (Ъ); (! ) ! 1 и Конечно, этот результат получается и по формуле (Ъ'111). !пп гве = о, так как Б(х) — днфференцнруемая н, следовательно, непреи о рывная функция.
7З 1 в1 ПРОИЗВОДНАЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ Пример 6. Если у = —, то у' = совх, 1савх1' Мпх 7 З 8. Производная логарифмической функции 1 Теорема. Производная от функции 1оя,х равна — 1оя,е, т.е. если у = !ояа х, то у' = — !ока е. (1Х) Доказательство. Если 1ху есть приращение функции у = 1оя х, соответствующее приращению Ьх аргумента х, то у + Ьу = 1оя,(х+ 1хх); Ьу = !оя,(х + стх) — 1о8, х = 1оя *+ * = 1ояс (1+ — )! Помнсоким и разделим на х выражение, стоящее в правой части последнего равенства.
1!!8 (1+ ) = 1с!8 (1+ ) Обозначим величину — через а. Очевидно, а -+ О при Ьх -+ О и Ьх данном х. Следовательно, Ь = -1ОК.(1+а) . Ьу 1 х Но, как известно (см. З 7 гл. П), 1пп(1+ а) = е. а — >о Если же выражение, стоящее под знаком логарифма, стремится к числу е, то логарифм этого выражения стремится к 1оя,е (в силу непрерывности логарифмической функции). Поэтому окончательно получаем: у = !Нп — = !пп — !ойа(1+ а) = — 1ойа е.
Пу . 1 1. 1 ° Гхх-+о 11х а-ю х х Заметив, что 1оя„е = —,, полученную формулу можно переписать 1 так: у х 1и а Отметим важный частный случай этой формулы: если а = е, то 1п а = !п е = 1, т, е. ГЛО У =-. ! 1 (Х) если у = !пх, 74 1гл. т пгоизноднля и диФФегенпилл ~ 9. Производная от сложной функции У | уз =у и... т.е.
производная сложной функции равна произведению производ- ной данной функции по промежуточному аргументу и на произ- водную промежуточного аргумента по х, Доказательство. При определенном значении х будем иметь: и = ю(х), у = Е(и). При наращенном значении аргумента х+ Ьх и+ Ьи = у(х+ Ьх), у+ Ьу = Г(и+ Ьи).
Таким образом, приращению Ьх соответствует приращение Ьи, которому соответствует приращение Ьу, причем при Ьх — > О будет Ьи->О и Ьу-40. По словию У 11ш — = уа. Ьу р Ьа — ~а Ьа Из этого соотношения, пользуясь определением предела, получаем (при Ьи ~ 0) (1) где о -+ О при Ьи -4 О. Перепишем равенство (1) Ьу = у,'Ьи+ ЬЬи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
