Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 10
Текст из файла (страница 10)
2 1. Яисло е Рассмотрим переменную величину (" ) !)и ! ( Ц ( )2 и(и 1)(и 2) ( )5 и(п — 1)(и — 2) °... (и — (п — 1)) / 1 '! Произведя очевидные алгебраические преобразования, получим: ,".) = ° Ь( - ) —,,'.( - )( - ) " + ! 2 (1 ) (1 ) . " (1 ) (2) Из последнего равенства следует, что переменная величина и 1+ -~ — возрастающая переменная величина при возрастал~ щем Действительно, при переходе от значения и к значению п+ 1 каждое слагаемое последней суммы взрастает 1 2(1 ) < 1 2(1 +1) и т'д' и добавляется еще один член.
(Все члены разложения — поло- жительные.) где п — возрастающая переменная величина, принимающая значения натурального ряда чисел 1, 2, 3,..., п Теорема 1. Переменнал величина (1+ — ) при и — > оо имеет и) предел, заключенный мезссду 2 и 3. Доказательство. По формуле бинома Ньютона можем написать: 47 число е 1 7! !1» Покажем, что переменная величина (1+ -7)! ограничена. Замечая, что ~1 — — < 1; (1 — -) (1 — -)! < 1 и т.д. из выражения (2) получим ерав нство (1+») + +! 2+! 2 з+ '+1 г з» Замечая далее, что 1 ! 1 1 1 ! 1 2 3 гт' 1 2.2 4 2в' '' ' 1 2...
» 2 можем написать неравенство ) 1+ -) < 1+1+ -+ -+... +— 1» 1 1 1 » 2 2т ' 2" Подчеркнутые члены правой части этого неравенства образуют геометрическую прогрессию со знаменателем о = 1/2 и первым членом а = 1, поэтому (" ) "1"~ -' — -'-1=" '- И)" =1+ =1+ 1 1 —— Следовательно, для всех и получаем: (1+ „-') < з. Из неравенства (2) следует, что (1+ — ) > 2. Таким образом, получаем неравенства 2 < (1+ -) < 3.
а — ад" 1 — д [г- Я) ~ <з. (з) 11" '! Можно поквзаттч что (1+ — ) -+ е при» -е +оо, если» не является монотонно возрастающей переменной величиной. ° » Этим установлено, что переменная величина (1 + -)! ограничена. 1» Итак, переменная величина (1+ — ) — возрастающая и ограниченная, поэтому на основании теоремы 7 2 5 она имеет предел. Этот предел обозначаетса буквой е. » Определение. Предел переменной величины (1 + — ) при и -+ со называется'> числом е: е = 1пп (1+ -) НРедел. непРеРывность Функций (ГЛ. Н е = 2,7182818284...
Теорема 2. Функция (1+ -1 сгпремится при х, стрелеяи1емся 1 к бесконечности, к пределу е: !Ип (1+ -) = е. !Ун Доказательство. Было установлено, что (1+ -) -+ е при и — 1 оо, если и принимает целые положительные значения. Пусть теперь х стремится к бесконечности, принимая как дробные, так и отрицательные значения. 1) Пусть х -+ +оо. Каждое его значение заключено между двумя положительными целыми числами п<х<п 1-1. При этом будут выполняться неравенства: 1 1 1 — » —— и х и+1' 1+ — > 1+ — > 1+ —, 1 1 1 и х и+1' (1+„-')еы > (1+-')* > (1+ —,',)". Если х — > со, то., очевидно, и п -1 со.
Найдем пределы переменных, !Ух между которыми заключена переменная (1+ -) х 1еп (1+ -)"+ = 11п! (1+ -) (1+ — ) = 1цп (1+ -) 1'пп (1+ -) = е 1 = е, 11 (1+ — ',) 1не (1 + — ) е — — е следовательно (по теореме 4 З 5), 1:п (1+ -) = е. (4) Из неравенства (3) на основании теоремы 6 з 5 следует, что н число е удовлетворяет неравенству 2 ( е ( 3. Теорема доказана.
Число е — иррациональное число. Позднее будет указан метод его вычисления с любой степенью точности. Его значение с десятью верными знаками после запятой: 1 7! число е 2) Пусп х — > — со. Введем новую переменную 1 = — (х+ 1) или х = — (1+ 1). При 1-+ +оо будет х — ! — оо, Можем написать: 1пп (1 + — ) = 1!и! (1 — — ) Рпс. 45 =е 1=е. е Теорема доказана, График функции у = (1+ — ) рис. 45. Если в равенстве (4) положить 1/х = а, то при а — ! 0 (но а ф 0) и мы получаем 1пп(1+ а) = е.
и — ~0 Примеры: 1 йш (1+ 1)" "' = ум (! Ч. 1) (1+ ! ) ' = 1пп (1+ — ) 1пп (! Е изображен на х — > со имеем е и =е 1 =е. -) = 2. Йп (1+ -) = !Пп (1+ -) (1+ -) (1+ — ) — 1пп (1-!- -) ° 1!тп (1+ -) Бт (1-1- — ) = е е е = е . !!щ (, + 2)* !пп (1+ 1)' !!ш (1+ — ) +-) !пп (1+ — ) =е 1=е . — !пп (1 е ..0( Замечание.
Показательная функция с основа- нием е, у = е*, играет исключительно большую роль в дальнейшем У=с курсе математики. Эта функция играет большую о роль при изучении различных явлений в механике (теория колебаний), в электротехнике и рациотехнике, в рациохимии и т.д. Эту функцию часто называют экспоненшой (Ехропеп11а! (цпс11оп). Графики показательной функции у = е' и показательной функции у = е * изображены на рис.
46, 50 пРедел. непРеРывность Функций 1гл. гг 3 8. Натуральные логарифмы В з 8 главы ! была определена логарифмическая функция у = 1о8,х. Число а называется основанием логарифмов. Если а = 10, то у называется десятичным логарифмом числа х и обозначается у = 18х. Из школьного курса известны таблицы значений десятичных логарифмов, которые называются 5ригговыми, по имени английского ученого Бригга (1556 — 1630).
Логарифмы с основанием г У Уг=1а к = 2,71828... называют иаглураль- А ными или непгровмми логариф- г Уг=и 1 у, мами, по имени одного из пер- !к!0=/ вых изобретателей логарифмиче- 0 1 2 3 4 5 6 7 8 910 к ских таблиц, математика Непера е к (1550-1617). Следовательно, если Рис. 47 е" = х, то у называют натуральным логарифмом числа х и пишут у = !пх вместо у = 1о8,х. Графики функций у = 1пх и у = 13х построены на рис. 47.
Установим, далее, зависимость между десятичными и натуральными логарифмами одного и того же числа х. Пусть у = 18х или х = 10". Прологарифмируем левую и правую части последнего равенства при основании е, получим !пх = у1п10. Определяем 1 1 у = — !пх, или, подставляя значение у, имеем 18х = — !пх. 1и 10 1и 10 Таким образом, если известен натуральный логарифм числа х, десятичный логариг~м этого числа находится путем умножения на множитель М =,— 0,434294, не зависящий от х. Число М называется модулем перехода от натуральных логарифмов к десятичным: 18х = М1пх.
Если положим в этом тождестве х = г, то получим выражение числа М через десятичные логарифмы: 13 г = М (1п е = 1). Натуральные логарифмы через десятичные выражаются так: !пх = м 18х, 1 где — — 2, 302585. Рг Замечание. Для вычисления натуральных логарифмов чисел существуют специальные таблицы (например, см. И.Н. Броникпгейн и К.А. Семендяев, Справочник по математике, гмизматгиз, 1967). НЕПРЕР|ЯВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 8 9. Непрерывность функций Пусть функция у = ) (х) определена при некотором значении хо и в некоторой окрестности с центром в хо. Пусть уо = з(хо). Если х получит некоторое положительное или отрицательное-- безразлично - - приращение Ьх и примет значение х = хо+|ах, то н функция у получит некоторое приращение Ьу.
Новое, наращенное значение функции будет уо+Ьу = у(хо+Ьх) (рис. 48). Приращение функции Ьу выразится формулой с1у = З (ХО + а|Х) — З (ХО). Определение 1. Функция у = Г'(х) называется непрерывной при значении х = хо (или в точке хо), если она определена в некоторой окрестности точки хо (очевидно, и в самой точке хо) и если 1пп Ьу=О (1) или, что то же самое, (2) 1цп (~(хо+ Ьх) — Дхо)] = О.
Условие непрерывности (2) можно записать и так: 1пп 1(хо + с1х) = )(ха) Ьх-|О или (3) 1пп )(х) = 2(ха) но Рис. 48 то = 1!гп х. х -+хо Следовательно, равенство (3) можно записать так: 1цп у (х) = у ( 1пп х), (4) т.е. для того, чтобы найти предел непрерывной функции при х -+ хо, достаточно в выражение функции подставить вместо аргумента х его значение хо. Описательно геометрически непрерывность функции в данной точке означает, что разность ординат графика функции у = з(х) в точках хо+ Ьх и хо будет по абсолютной величине произвольно малой, если только 1сах~ будет достаточно мало.
Пример 1. Докажем, что функция у = хт непрерывна в произвольной точке хо. Действительно, уо = хт, уо+ |зу = (хо+ |2х)т, ьу = (хо+ 2|х) — хто — — 2х|||2х+ ьх, !!|и Гьу = 1!п| (2хо|вх+Гьхт) м 2хо 1ип Гьх+ 1!|п Ьх !Нп Ьх = В П -|О Пе-|О Пв-|О Ье-~О Ъ -|О при любом способе стремлевия Дх к кулю (рис. 49, а и 6). ПРЕДЕЛ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ФУНКЦИЙ 52 (ГЛ.
П Прнмер 2. Докажем, что Функппп у = яп х непрерывна в пронзвольной точке й хо. Действнтельно, уо = япхо, ус + гау = яп(хо + як), му = яп(хО + мх) — япхО = дх ( ах) 2 /' = 2 яп — сое(хо + — ) . л) а) Рнс. 49 Было показано, что 1пп яп — = О (прнсьх пз.~о 2 мх'1 мер 7 Е е).
Функпня соз(х+ — 1 ограничена. Следовательно, )пп му = О. г ) 'П .~О Аналогичным образом, рассматривая каждую основную элементарную функцию, можно доказать, что каждая основная элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена. Докажем далее следующую теорему.
Теорема 1. Если функции (1(х) и (г(х) непрерывны в точке хо, то сумма ф(х) = )1(х) + )г(х) такоке есть непреривная функция в точке хо. Доказательство. Так как Л (х) и )г(х) непрерывны, то на основании равенства (3) можем написать (нп (1(х) — )1(хо) и 11гп )г(х) — (г(хо). На основании теоремы 1 о пределах можем написать 1пп ф(х) = )пп [)1(х) + (г(х)) = г'1(х) + 11т згг(х) = г'1(хо) + (г(хо) = гр(хо). Итак, сумма ф(х) = )1(х) + )г(х) есть непрерывная функция. Теорема доказана. Иак следствие отметим, что теорема справедлива для любого конечного числа слагаемых.
Опираясь на свойства пределов, так же можно доказать следующие теоремы: а) Произведение двух непрерывных фумкций есть функция непрерывная. б) Частное двух непрерыемых функций есть функция непрерывная, если знаменатель в рассмагприваемой точке не обраи(ается в нуль. В) Если и = (р(х) непрерывна при х = хо и )(и) непрерывно в точке ио = (О(хо), то сложная функция )[(О(х)] непрерывна в точке хо Используя эти теоремы, можно доказать следующую теорему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
