Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Так, зависимость площади сг круга от радиуса Й определяется функцией О = тйг. Областью определения данной функции при рассмотрении данного 0 геометрического вопроса является бесконечный интервал 0 < Н < +со. Естественной же областью Рис. 5 оиределения данной функции является бесконечный интервал — со < В < +со. Если функция у — Дх) задана аналитически, то она может быть изображена графически на плоскости координат хОу. Так, графиком функции у = х является парабола, изображенная на рис. б. З 8.
Основные элементарные функции. Элементарные функпин Основными элементарными функциями называются следующие, аналитическим способом заданные функции. 1. Отененная функция: у = х'*, где а — действительное число'>. 11. Показательная функция: у = а', где о — - положительное число, не равное единице. 111. Логарифмическая функция: у = 1ок х., где основание логарифмов а — положительное число, не равное единице.
1Ъ'. Тригонометрические функции: у = зги х, у = сов х, у = сих, у = сскх, у = вес х, у = созесх. Ъ'. Обрагпные тригонометрические функции: у = агсэга х, у = агссоз х, у = агой х, у = агссгбх, у = агсзес х, у = агссозесх. Рассмотрим области определения и графики основных элементарных функций. Степенная функпия, у = х . 1. о — целое положительное число. Функция определена в бесконечном интервале — со < х < +оо. Графики функции в этом случае при некоторых значениях о имеют вид, изображенный на рис.
б и 7. > При и иррациояальяом эта функция вычисляется путем логарифмироваяия и потевцировавия: 1ок э = а!ох х. При этом предполагается, что х > О. ~х !!оии! ~и ильми!!ти ии3 и' их икции Рис. 3 Рис. 7 Рис. 6 Рис З Рис. 10 Рис. !! Рис. !2 2. и — целое отрицательное число. В этом случае функция определена при всех значениях х, кроме х = О. Графики функций при некоторых значениях а имеют вид, изображенный на рис. 8 и 9. На рис.
10, 11, 12 изображены графики степенной функции при дробно-рациональных значениях о. Показательная функп:,ия, р = а*, а ) 0 и а ~ 1. Эта функция определена (/)* при всех значениях х. График ее имеет, о ( — ) /О 3 2' / ' вид, изображенный па рис. 13. (2) / /О Логарифмическая функция, у =!ойих, а ) О и а Р': 1. Эта фУнк- 2. ция определена при х ) О.
Грэс(>ик ее изображен на рис, 14. Тригонометрические функпии. Независимая переменная х в формулах 2 / р / 2 у = гйпх и т.д. выражается в радианах. Все перечисленные тригонометрические Рис. 13 функции — периодические. Сформулируем более общее определение периодической функции. Определение 1. Функция й = Дх) называется периодической, если существует такое постоянное число С, от прибавления (или вычитания) которого к аргументу х значение функции не изменяется; /(х + С) = /(х). Наименьшее такое число называется периодом функции; в дальней!пем будем обозначать его 21. 1гл ~ 1ИСЛО,ПЕРЕМЕННАЯ,ЬУНКЦИЯ Из определения цспосредствснно следует, что у = 61п х есть периоди 1еская функция с периодом 2 г: зги х = гйп(х -~- 2к).
Период созх также равен 2я. Период функций у.= 1йх и у = сгкх равен к. Функции у = ыпх, у = соз 7; определены при всея значениях х; функции у = 1йх и у = зесх определены вс1оду, кроме точек х = (2й+ 1) — ",„(й = О, ~1, ~2,... ); Рнс 14 функ~1ии у = сгкх и у = созесх определены при всех зна'1енияк х, кроме точек х =- Ьт (Й = 0,~1,~2,...). Графики три1онометрических функций изображены на рис.
15 — 19. Рис. 15 Рис. 16 Рис. 18 Рис. 17 Обратные тригонометрические функции будут нами подробно рассмотрены позднее. Введем, далее, понятие функции от функции. Если у является функцией от и, а и в сиону очередь зависит от переменной х, то у также зависит от х. Пусть у = Е(и) и и = у(х). Получаем функци1о у от х у = Е[~Р(х)]. Последняя функция называется функцией отп функции или сложной функцией. пример 1. пусть у = вини, н =- х~. Функция у = мн(хв) является сложной функцией х. з 8! сх новныв элвмвнт«гные Функции Замечание.
Областью определения функции р = Г[у(я)[ является или вся область определения функции, и = !о(х), или та ее часть, в которой определяются значения и, пе выходящие из области определения функции Г(и). Пример 2. Областью определенна функции у = Л вЂ”. х~ (у =,/и, и = ! — хз) является отрезок ( — 1, 1], так как и < В прн ]х] ) 1 н, следовательно, фУнкциЯ ига не Рнс. !9 определена прн этих значениях х (хотя функция и = 1 — хз определена прн всех значениях х).
Графиком этой функции является верхняя половина окружности с центром в начале координат н радиусом едяпнца. Операция «функция от функции» может производиться не один, а любое число раз. Например, функция у = 1п[гйп(хз+ 1)[ получается в результате следующих операций (определения следую!цих функций): в = я + 1, и = з!'ив, у =!и и. Определим, далее, понятие элементарной функции. Опрщтеление 2. Элелеенпзармоей функцией называется функция, которая может быть задана одной формулой вида у = 1'(т), где справа стоящее выражение составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции.
На основании определения следует, что элементарные функции являются функциями, заданными аналитически. Примеры элементарных функция: „Г,з у.=,/7!++4з!пгх,, = 6, — 6 1ой х -'; 4 чзгх -!- 2 гй х 1В* — т -, '1О Пример неэлементарной функции. Функция у = 1 2 3 ... н (у = 1'(и)) не является элементарной, так как количество операпнй, которое нужно произвести для получения у, увеличивается с увелвченнем п, т.е, не является ограниченным.
Замечание. Функция, изображенная па рис. 20, является элементарной, хотя она и задается с помощью двух формул: Дх)=х, если 0<я<1, )'(х) = 2х — 1, если 1 < х < 2. Рнс, 20 (Гг! 2б 'гис. цх пюч мкп~ын, ьтпк~е~щ Эту фупкцшо можно и;цнъ и щ1ной форму ннс аа) = -'( - -') - —,': — ~ =к -'~: - -.') °,'-~~'- )2 лля О < х < 2. (Сьг. также примеры 130-1йй в упражнениях к гл. ЬС) 2 9. Алгебраические фуцкпии К чис. су алгебраических фушсннй относятся чсц'мсп гарпыс функции следующего нида: 1. Целая рациональная функция илн многочлен у = оохн + огха ' +...
+ и„, где ао, п,, ..., ан — постоЯнные числа, называемые козе))г)гийиенталеи; п целое неотрицательное число, называемое сгпспснню левого ыена. Очевидно, что зта функция определена прп всех значениях х, т.е. определена на бесконечном интервале. Пример 1. К = ах+ Ь вЂ” линейная ййнкцоя. При Ь = О яипейная функция у = ах выражает пропорциоггельггукг зависимость у от х. При а = О, у = Ь функция есть постоянная. ПРимеР 2. у = ах -, 'Ьх+ с — каадрапшчная фгтнкчия.
График квадратичной функции есть парабола (рис. 21). Эти функции подробно рассмагриеались н аналитп.генкой геометрии Ь) а) а) Рис. 21 Рис 22 11, Дробная рациональная функция. Эта функция определяется как отношение двух многочленов: У= аох" + агх" -1-... -1- а Ьо, +Ь! . г+...+Ь Дробной рациональной функцией является, например, функция у = а/х, выражающая обратную пропорциональную зависимость. Ее график изображен на рис, 22, Очевидно, что дробная рациональная функция определена при всех значениях х, кроме тех, при которых знаменатель обращается в нуль.
1гм 27 ПОЛЯРНАЯ СИСТЕМА КООРДННАГ П1, Иррациональная функция, Если в формуле у = 1(х) в правой части производятся операции сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в степень с рациональными нецелыми показателями, то функция у от х называется иррациональной. 2хг +,гх Примеры иррациональных функций: у =,, у = Аггх и т. и. 1 Рзхг Замечание 1. Перечисленные три вида алгебраических функций не исчерпывают всех алгебраических функций. Алгебраической функцией называется любая функция у = 7"1х), которая удовлетворяет уравнению вида Рс(х)у" + Р (х)у" '+...
+ Р„(х) = О, где Рс(х), Рг(х)Р .., Р„(х) -- некоторые многочлены от х. Можно доказать, что каждая из функций перечисленных трех видов удовлетворяет некоторому уравнению вида (1), но не всякая функция, удовлетворяющая уравнению вида (1), является функцией одного из перечисленных видов. Замечание 2.
Функция, не являющаяся алгебраической, называется гпрансцеиденпгиой. Примеры трансцендентных функций: у = созх, у = 10* и т. и З 10. Полярная система координат Положение точки на плоскости можно определять с помощью так называемой полярной сисгпегаы координат. На плоскости выбираем некоторую точку О, называемую полюсом, и выходящую из этой точки по- р лупрямую, называемую гюллрной осью. Положение д>о точки М на плоскости можно определить двумя чи- 0 х слами: числом р, выражающим расстояние точки М от полюса, и числом уг — величиной угла, обра- Рис 22 зованного отрезком ОМ с полярной осью.
Положительным направлением отсчета угла сг считается направление против часовой стрелки. Числа р и гр называются полярными коордииапгами точки М (рис. 23). Радиус-вектор р будем всегда считать неотрицательным. Если полярный угол уг брать в пределах 0 ( сг < 2я, то каждой точке плоскости, кроме полюса, соответствует вполне определенная пара чисел р и уг. Для полюса р = О, гр — произвольное. Установим связь между полярными и прямоугольными декартовыми координатами.
Пусть начало прямоугольной системы координат совпадает с полюсом, а положительное направление оси Ох — с полярной осью. Из рис. 24 непосредственно следует: х = рсоз р, у = рзшуг и, обратно, р =;/х~ + уг, Фй гр = у/х. 28 число негкмеинпя, Функ'гнг~ х=ргозр Рис. 24 Рис. 26 Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
