Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Замечание 2. Отметим, что уравнения (4) и уравнение (5) определяют не одну функцию у = Пх). Онн определяют две непрерывные функции на отрезке — а ( х ( -)-а, Одна из них принимает неотрицательные значения, другая— неположительные. 3 18. Производная функции, заданной параметрически Пусть функция у от х задана параметрическими уравнениями: х = !Р(г) ) ьо < ! < 2 (1) !У=А(!)) ' Предположим, что эти функции имеют производные и что функция х = 92(г) имеет обратную ! = Ф(х), которая также имеет производную. Тогда определенную параметрическими уравнениями функцию у = 7'(х) можно рассматривать как сложную функцию .
= ~(!), 4 = ф(х), ! — промежуточный аргумент. З гз! пгоизнодггая еункции, заданной плгамктг ичкоки зз По правилу дифференцирования сложной функции получим: у.' = у,'С.' = у);(С)ф'.(х). (2) На основании теоремы о дифференцировании обратной функции следует: ф',(х) = Подставляя последнее выражение в равенство (2), получаем: р'(С) ' или УЗ= а4. (ххах Выведенная формула дает возможность находить производную у,' от функции, заданной параметрически, не находя выражения непосредственной зависимости у от х.
Пример 1. Функция у от х задана парал4етрическими уравнениями: (О ( С ( к). у = ав!пС г г Найти прогшводную ча г Ц прн любом значении С; 2) при С = —. гС44 й Решение. СавшС)' асозг (асозС)' — аюпС 2) (у' )г — г4 = — сгй(к/4) = — 1. Пример 2.
Найти угловой коэффициент касательной к цикловде х = а(С вЂ” з!и С), у = а(1 — сов С) в произвольной точке (О ( С ( 2к). Решение. Угловой коэффициент касательной в каждой точке равен значению производной у' в этой точке, т.е. равен уг У* = хг Но хг — — а(1 — соз С), у = аз!пг. Следовательно, С С 2юп — соз— аз!пг 2 2 С /и С1 у а(1 — сов С) = сСК 2 — — Сй( 2 — 2), 2зш 2 Следонательно, угловой коэффициент касательной к циклоиде в каждой ее точке Ггг Ст равен Ск(- — -), где С вЂ” значение параметра, соответствуюшее этой точке.
Но г) к это значит, что угол а наклона касательной к оси х равен — — — (для значений 2 2 С между -к и к)"!. '! Действительно, угловой коэффициент равен тангенсу угла а наклона каГгг Ст гг сательной к оси Ох. поэтому сйа = сй(-. —;) и о = — — — для тек значеннй г, 2) л для которых — — — лежит между О и к, 2 2" 'гл 11! пеоизводнхя и лиеэвекнцилл '2 19. Гиперболические функции Ьй мисник нрилож~ лиях математического анализа встречаются комбинации показательных функций вида —,,(г — е ") и —,(е" +е ). "Эти комбинации рассматривают как но- 2 о вые функции и обозначавю так: вЬх= ' 2 '=::: —:) 2 'Уус ' у=l Первукг из функций (1) называют гиперболическим синусом, вторую — - гиперболическим косинусом. С помощью зтих функций можно определигь еще две функции 11~ х = — и с1Ь х = —: вв, сйх Жх ' ' вйх' Рис.
ВО гиперболический тангенс гиперболический котангенс( 1Ьх = с* -с е с' .~- е оса х в* е сЬ х — вЬ х = 1, (2) сЬ(а+Ь) =сЬасйб+вЬавЬЬ, (3) вЬ(а + Ь) = вЬ а сЬ 6+ сЬ а вЬ б. (3') у=16 х Ряс. 81 Действительно, 2 ( 2 ) ( 2 ) с2*+2+с — 2 сг* Ь2 с-2 — 1. Далее, заметив, что сЬ(а ~; б) = ' +' Функции вЬх, сЬх, 1Ь х определены, очевидно, для всех значений х.
Функция же ссйх определена всюду, за исключением точки х =- О. Графики гиперболических функций представлены на рис. 80, 81, 82. Из определения функций вЬ х и сЬ х (формулы (1)] следуют соотношения, аналогичные соотношениям между соответствующими тригонометрическими функциями: гипвиволичвскььв функции ь 91 получаем: сЬасЬЬ+вЬавЬЬ + е .~-е те -'ге -~-е" --е — е -~-е еь — еь ° -ь — — ь еь — еь — ь — -ь +2' — — — сЬ( +ь) Аналогично доказывается и справедливость соотношения (3'). Название «гиперболические функции» объясняется тем, что функции вЬ1 и сЬ1 играют ту же роль для параметрического представления гиперболы У какую тригонометрические функции яп1 и сов1 — для параметрического представления окружности +у =1.
Действительно, исключая параметр 1 из уравнений у=яп1, х = сов 1, получим: х + уз = сов21+ яп 1 или хе+ у = 1 (уравнение окружности). Аналогично уравнения х=сЬЕ, у =вЬ| являются параметрическими уравнениями гиперболы. Действительно, возводя почленно в квадрат эти уравнения и вычитая из первого второе, получим: 2 сЬ21 Ьз Так как выражение в правой части на основании формулы 12) равно единице, то, следовательно, х — у =1, а это и есть уравнение гиперболы. Рис. 84 Рис.
83 Рис. 82 !гл, !и пеоизводная и диФФеРвициА.л Рассмотрим окружность с уравиеиием:гз Е ут = 1 (рис. 83). В уравнениях х = соз1, у = гйп1 параметр 1 численно ранен центральному углу АОМ или удвоенной площади 5 сектора АОМ, так как 1= 25. Отметим без доказательства, что в параметрических уравнениях гиперболы х=сЬ1, у =зЬ1 параметр 1 также численно равен удвоенной площади «гиперболического сектора» АОМ (рис. 84). Производные гиперболических функций определяются формула- (1Ь х) сь! *' (сСЬ х)' = — —., зьз х (зЬх)' = сЬт, (сЬ х)' = зЬ х, (ХХП) которые вытекают из самого определения гиперболических функ«* — е ций; например, для функции зЬх =, имеем: 2 (зЬх)'=(' ' ) =' "' .=сЬх.
з 20. Дифференциал Пусть функция у = 1" (х) диффереицируема иа отрезке (а, 6]. Производная этой функции в некоторой точке х отрезка (а, Ь) определяется равенством 1нп — = 1 (х). ૠ— о ах Отношение при !1!х -! О стремится к определенному числу ('(х) ах и, следовательно, отличается от производной 1'(х) на величину бесконечно малую: — = 1'(х) + а, 1ш! о х = 1!щ а=О.
кто 0 а* й2'- 0 где а -! 0 при !зх -! О. Умножая все члены последнего равенства иа Ьх, получим: ь!у = ('(х)бх + а!ах. (1) Так как в общем случае г!(х) ~ О, то при постоянном х и переменном (хх -» О произведение 1"'(х)!зх есть бесконечно малая величина первого порядка относительно с!х. Произведение же а!»х есть всегда величина бесконечно малая высшего порядка отуосительно !зх, так как диФФегвицилл Таким образом, приращение Ьу функции состоит из двух слагаемых, ич которых первое слагаемое есть (при ('(х) ф 01 так называемая главная частпь приращения, линейная относительно Ьх.
Произведение ('(х)Ьх называюг дифференциалом функпии и обозначают через т)у или г(((х). Таким образом, если функция у = т(х) имеет производную у'(х) в точке х, то произведение производной !'(х) на приращение Лх аргумепга называется дифференциалом функции и обозначается символом ау: ду = ('(х)тзх. (2) Найдем дифференциал функции у = х; в этом случае у = (х) = 1, и, следовательно, т(!т = дх = тлх или г!х = Ьх.
Таким образом, дифференциал дх независимого переменного х совпадаетп с его приращением Ьх. Равенство дх = тлх можно было бы рассматривать также как определение дифференциала независимого переменного, и тогда рассмотренный пример показывал бы, что это не противоречит определению дифференциала функции. В любом случае формулу (2) мы можем записать так: ду = ( (х)дх. Но из этого соотношения следует, что Г(*) = Я Слгдовагелъни производную ('(х) мозтсно рассматприватпь как отпноизение дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного. Вернемся к выражению (1), которое с учетом (2) перепишем так: Лу = ду + аЬх. Таким образом, приращение функции отличается от дифференциала функции на величину бесконечно малую высшего порядка относительно тзх. Если г'(х) ~ О, то аЬх является бесконечно малой высшего порядка и относительно ду и !1ш — = 1+ !пп, = 1+ 1пп, = 1.
ь*-~0 яг л~ые Х'Ь)а* ьт-эе Х'(*) Поэтому в приближенных вычислениях иногда пользуются приближенным равенством тзу = т(у, или в развернутом виде 1(х+ гг ) — 1(х) = Г'( )~5 (5) что сокращает вычисления. П1 ПРОИ ЗНОЦНЬЗ! Н ДИ ВФЯП1.1П!Иа.
1 пример 1. ваити лиффоренцпвл цу и прирв1пение ьу фуннци.! у —. х~". 1) при произвольных значениях з. н Дх; 2) при х = 20, ах = О, 1. Решение. 1) Ду .— — (х 1- Дх)! — х! = 2:гах. г)у —. (х Уаг =. 2газ 2) Если х = 20, ах =- О.!, то Ъу = 2 20 О. ! ! !О. 1,'т = 1 01, 60 = 2 20 0.1 = 1,00 Погрешность при замене Цу на 17!Г рами О, 01 Во зпп!гих 1. 1у*шя; ег можно считать малой по сравнению с Оу = 4, 01 и е1о пренебрс п, Рассмотренная задача наглядно иллнютриргется рнс.
85. В приближенных вычислениях пользуются таках ж! приближенным равенством, которое получает- ах ся из (б), )'(х+ !.'зх) - 7(х) + 1 (х)7дх. (6) Пример 2. Пусть 7(х) = ып х, тогда 7"'(х) = сов х. В этом случае приближенное равенство (6) примет вид ып(х -1- д.г) = в!пх ' сов хдх, (7) Вычислил! приближенное значение ып »бз. Положим х =— (что соответствует углу н -15'), дх =- 8 (соответствует и з ,углу в 1в), х Ь ах =- —; (8- . Подсгавляя в (7), будем Рис. 85 иметь.
УЕ я з г г ып 46' = з!и!» т 180! - ып»- .- -'.О сов.» ып46 — —,— ' =- 0,7071 1-0,7071 0,0175 = 0 710! г 2 и 2 2!80 Пример 8. Если в формуле (7) положим х =- О, Дх = а, то получим следую1цее приближенное равенство: . в!паша. Пример 4. Если Дх) = !бх, то по формуле (6) полу 1аем следуюшее приближенное равенство: 18(х -1- Дх) 18х -1- Цх, соз х при х = О, Сух = о получаем !8 а — а. Пример 5. Если 7(х) = у'х. то формула (6) дает усх х дх ут -1- дх, 2 угх Полагая х = 1, ах = а, получаем приближенное раненсгво: У1.1- о 1 Е;а.
2 Задача нахождения дифференциала функции равносильна нахо- ждению производной, так как, умножив последнюю на дифферен- циал аргумента, получим дифференциал функции. Следовательно, большинство теорем и формул, относящихся к производным, со- хранякзт свою силу и для дифференциалов.
Так, например: УУ з тв! диФФв!'гнпнля д(ифференциал суммы двух дифферепцируемых функ!Ргй и и, и равен сумлте дифференциалов затих функцгдг: д(и + и) = дтт 1- ди. Дифференциал произведения двух дифференцируеми!х функции и и и !лтределлгтася формулой д(ии) = иди + ш1и. Докажем, например, послсдшою формулу. Если у = ии, го ду = у дх = (ии ц ои )дх = ии дх + ии дз, но и'дх = дтг, поэтому с1у = иди + иди. Аналогично доказывшогся и другие формулы, наприлтер формула, определяющая дифференциал частного: и иди — ц<Ь если у = —, то ду = несколько примеров на вычисление дигрференциала Решим функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
