Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Подставляя значения о и — $ в формулу (7), получим (рис. 148): И* ух )2хгз/г а) а =Зхч-р,)) = — ь — ) —; б) при х=онакодим: а=р,))=0! в) при х = р/2 имеем: а = бр)2, )) = -р. Если в точке М)(х,у) данной линии кривизна отлична от нуля, то этой точке соответствует вполне определенный центр кривизны С!(о,))).
Совокупность всех центров кривизны данной линии образует некоторую новую линию, называемую эволтотпой по отношению к первой. Таким образом, геометрическое место центров кривизны данной линии называется ее эволюпгой. По отношению к своей эволюте данная линия называется эвольвентпой или инволютпой (или роэвертакой). Если данная кривая определяется уравнением у = 7(х), то уравнения (7) можно рассматривать как параметрические уравнения эволюты с параметром х. Исключая из этих уравнений параметр х (если это возможно), получим непосредственную зависимость между текущими координатами эволюты ст и,9.
Если же кривая зш)ана параметрическими уравнениями х = гр(т), у = г)г(1), то уравнения (7') дают параметрические уравнения эволюты (так как величины х, у, х', у', х", уо являются функциями от 1). Пример 2. Найти уравнение эволюты параболы у = 2рх. г Решение. На основании примера 1 имеем для любой точки (х,у)параболы: а =Зхз.р, (2 .)зтг игр Исключая из этик уравнений параметр х, получим: Рис. 149 )г 8( )з 27р Это — уравнение полукубической параболы (рис.
149). Пример 3. Найти уравнение эволюты эллипса, зацанного параметрическими уравнениями; х = о сов г, у = 6 э)п г. 183 свойства эволюты Решение. Вычисляем произватные от х и у по С: х = -аипС, у = ЬсовС, ха = — асояС, уп = -ЬипС. Подставляя выражения производных в формулы (7'), получим: Ьсояь(ас мпз С.С-Ьзсозз С) а = асов Св ауыпз С + аЬ созз С з ЬЗ з Г ЬЗ1 з = асов С вЂ” асов сят С вЂ” — соя С = (а — — ) соз С. а аС ' Таким образом, ьз о= (а — — ) соя С.
Аналогично получаем: аз С3 = (Ь вЂ” а ) Мп Исключив параметр С, получаем уравнение зволюты эллипса в виде (ь)"' (Я)"'=(". ")"' Здесь а и СС вЂ” текущие координаты зволюты (рис. 150). Пример 4. Найти параметрические уравнения зволюты циклоиды х = а(С вЂ” юпС), у = а(1 — соя С), Репгение. х' = а(1 — соя С), у' = ая1пС, хп = азп11, у" = а сов с. Подставив полученные выражения в формулу (7'), находи а = а(С + яш С), СС = — а(1 — соя С). Сделаем преобразование переменных, положив Рис. 150 о=5 — ка, СС = 0 — 2а, С = т — я1 тогда уравнения зволюты примут вид 8 = а(т — зщт), г1 = а(1 — сов т); они определяют в координатах б, в циклои- Рис. 151 ду с тем же производящим кругом радиуса а. Таким образом, зволютой циклоиды является такая же циклоида, но смещенная по оси Ох на величину — яа и по оси Оу на величину — 2а (рис.
151). '8 7. Свойства эволюты Теорема 1. Нормаль к данной кривой является касательной к ее зволсоте. Доказательство. Угловой коэффициент касательной к эволюте, определяемый параметрическими уравнениями (7) предыдущего 184 КРИВИЗНА КРИВОЙ )гл, ч! параграфа, ранен Я ав ах аа на ' ах Заметив, что (в силу тех же уравнений (7)) пг ах п2 получаем соотношение (2) Нр 1 аа у' Но у' есть угловой коэффициент касательной к кривой в соответствующей точке, поэтому из полученного соотношения следует, что касательная к кривой и касательная к ее эволюте в соответствующей точке взаимно перпендикулярны, т.е. нормаль к кривой является касательной к эволюте.
Теорема 2. Если на некотором участке МгМ2 кривой радиус кривизны изменяетаел монотонно (т.е. либо только возрастает, либо только убывает), то приращение длины дуги зволюты на этом участаке кривой равно (по абеолютаной величине) соответствующему приращению радиуса кривизнь! данной кривой. Доказательство. На основании формулы (2') 8 1 гл.
21 имеем: аэ 2 1 2+ах/)2 где дз — дифференциал длины дуги эволюты; отсюда (й) =(й) (В Подставляя сюда выражения (1) и (2), получим; (й) =(1+ ")1'"Ъ "„, "Ъ ) . (3) Найдем, далее, ( — ) . Так как ад 2 (1 7, у!2)3/г (1 + у!2)3 Дифференцируя по х обе части этого равенства, получим после соответствующих преобразований 2Л а// 2(1 1 у 2)2(Зу!7упг уп! у!2уп!) 712 ( п)3 2 1 .1. угг 3/2 Деля обе части равенства на 2Л = У,, получим уп у!2)!/2(Зуlупг уь у!гупФ) ах уп2 с'войсствА эволюгы 2 П Возводя в квадрат, получим («л) (1 ) 72)(ЗУ У .У У У ) Сравнивая равенства (3) и (4), находим: (4) ( ) =(й) откуда сИ 88 42 Нх сИ По условию — не меняет знак (В только возрастает или тольНх с28 ко убывает), следовательно, и — не меняет знак.
Примем для определенности — „< О, — 8 > О (что соответствует рис. 152). СлесИ 88 сИ сЬ довательно 82 Нх' Пусть точка М, имеет абсциссу х„а М2 -- абсциссу Х2. Применим теорему Коши к функциям 8(х) и В(х) на отрезке [хс,х2]: 1' 88 1 8(82) — 8(21) «~х ~*=8 Н(82) — д(81) ( сИ) — — 1, 4» .=( где с — число, заключенное между х1 и х2 (х1 < с < х2). Введем обозначения (рис.
152): 8(Х2) = 82, 8(Х1) = 81, Й(Х2) = Й2, Й(Х1) = В1. Тогда 2 ' = — 1, или 82 — 81 = — (В2 — Й1). Но это значит, что й2 — Лс [82 — 81[ = [В2 — Й1[. Совершенно так же доказывается это равенство и при возрастании радиуса кривизны. Мы доказали теоремы 1 и 2 для того случая, когда кривая задана уравнением в явном виде у = 1(х). Если кривая задана параметрическими уравнениями, то эти теоремы остаются в силе, причем их доказательство проводится совершенно аналогично. Замечание. Укажем следующий простой механический способ для построения кривой (эвольвенты) по ее эволюте.
Пусть гибкая линейка согнута по форме эволюты С8С8 (рнс. 153). Предположим, что нерастяжимая нить, одним концом укрепленная в точке Св, огибает эту линейку. Если мы будем эту нить развертывать, оставляя ее все время натянутой, то конец нити опишет кривую М8М8 — эвольвенту. Отсюда происходит и название «эвольвента» -- развертка. Доказательство того, что полученная кривая действительно является эвольвентой, может быть.
проведено с помощью установленных выше свойств эволюты. Отметим, что одной эволюте соответствует бесчисленное множество различных эвольвент (рис. 153). КРИВИЗНА КРИВОЙ 18б 1гл ч1 Рис, 154 Рис. 152 Рис, 153 Пример. Пусть имеем окружность радиуса а (рис. 154).
Возьмем ту из звольвент втой окружности, которая проходит через точку Мо(а,б). Учитывая, что СМ = СМо = ас, легко получить уравнения звольвенты окружности: ОР = х = а(соя14-1яп>), РМ = у = а(в>п1 — 1сов 1). Отметим, что профиль зуба зубчатого колеса имеет чаще всего форму ввольвЕнты круга.
8 В. Приближенное вычисление действительных корней уравнения Методы исследования поведения функции дают возможность находить приближенные значения корней уравнения >'(х) = О. Если данное уравнение есть алгебраическое уравнение"> первой, второй, третьей или четвертой степени, то существуют формулы, позволяющие выразить корни уравнения через его коэффициенты с помощью конечного числа операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения корней. Для уравнений выше четвертой степени таких формул, вообще говоря, не существует. Если коэффициенты любого уравнения, алгебраического или неалгебраического (трансцендентного), не буквенные, а числовые, то корни уравнения могут быть вычислены приближенно с любой степенью точности. Отметим, что даже в тех случаях, когда корни алгебраического уравнения выражаются через радикалы, *> Уравнение 1(х) = О называется алгебраическим, если 1(х) есть многочлен (см.
з б гл. УП). 1 81 ПРивлигкеннОе Вычисление кОРнеЙ уРАВнения 157 на практике иногда целесообразно применять приближенный метод решения уравнения. Ниже будут изложены некоторые методы приближенного вычисления корней уравнения. 1. Способ хорд. Пусть дано уравнение 7'(х) = О, 7(хг) 7(хг) (2) Или после преобразования хг2'(хг) — хг 7'(хг) У(х ) — У(х ) (2') Чтобы получить более точное значение корня, определяем 7'(аг). Если 1(аг) < О, то повторяем тот же прием, применяя формулу (2') к отрезку [аг,хг]. Если 7"(аг) > О, то применяем это формулу к отрезку [хг,аг].
Повторяя этот прием несколько раз, мы будем, очевидно, получать все более точные значения корня аг, аз и т.д. Рис. !55 Рис. 155 где 1(х) -- непрерывная дважды дифференцируемая функция на отрезке [а, Ь]. Допустим, что путем исследования функции у = 1(х) внутри отрезка [а,Ь] мы выделим отрезок [хг,хг] такой, что внутри этого отрезка функция — монотонная (или возрастающая, или убывающая), а на концах его — значения функции 7(хг) и ,7(хг) разных знаков.
Примем для определенности, что 1(хг) < О, 7(хг) > О (рис. 155). Так как функция р = 1'(х) непрерывна на отрезке [хг, хг], то ее график пересечет ось Ох в какой-либо одной точке между хг и хг. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой у = г'(х), соответствующие абсциссам хг и хг. Абсцисса а1 точки пересечения этой хорды с осью Ох и будет приближенным значением корня (рис. 156). Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки А(Х1,72(Х1)) И В(Хг,((Хг))1 ~~17)) = х' .
ТаК КаК у = О ч Пхг) гА(хг) хг — хг ' КРИВИЗНА КРИВОЙ (гл ч! 166 Пример 1. Найти приближенные значения корней уравнения 1(х) = хз — бх — ' 2 = О, Решение. Найдем, прежде всего, участки монотонности функции 7(х). Вычислив производную 1'(х) = зхг — 6, мы обнаруживаем, что она положительна при х < — и'2, отрицательна при — ъ72 < х < +ъ'2 и снова положительна при х > ъ'2 (рис.
157). Итак, функция имеет три участка монотонности, ва каждом из которых находится по одному корню. Для удобства дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности (но так, чтобы на каждом участке лежал соответствующий корень). Для этого, подставляя в выражение 7(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки: о, 7(о) = г, ] У(1)--3.~ -3, 1( — 3) = -7, -2, П-2) = 6, г, У(2) и -2,'( Пз) = и. ) х| хг = хв— хе = Таким образом, корни находятся в интервалах (-3; -2), (о; П, (2; з).
Найдем приближенное значение корня в интервале (О, 1); по формуле (2) имеем: 11 — О) 2 -3 — 2 5 Рис. 157 Так как 1(0,4) = 0,4 — 6 04+2 = -0,336, 1(0) = 2, то, следовательно, корень заключен между 0 и 0,4. Применяя к этому интервалу снова формулу (2), получим следующее приближение: (0,4 — 0) . 2 0,6 -0 336 — 2 2 336 0,342 и т.д, Аналогичным образом найдем приближенные значения корней в других интервалах.
2. Способ касательных (способ Ньютона). Пусть снова Дхт) < О, Дхг) ) О, причем на отрезке ]хг, хг] первая'производная не меняет своего знака, тогда в интервале (хт,хг) имеется один корень уравнения 7'(х) = О. Предположим еще, что и вторая производная не меняет своего знака на отрезке (хг, х211) этого можно добиться путем уменьшения длины интервала, содержащего корень. Сохранение знака второй производной на отрезке (хг,хг] означает, что кривая либо только выпукла, либо только вогнута на участке [хг, хг]. Проведем касательную к кривой в точке В (рис. 158).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
