Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется плоскостпью комплексного переменного г (рис. 162) (на плоскости ставить символ г в кружке). 194 ~гл чп комплвксныв числл. многочлгны Точкам плоскости комплексного переменного г, лежащим на оси Ох, соответствуют действительные числа (6 = О). Точки, лежащие на оси Оу, изображают чисто мнимые числа, так как в этом случае а = О. Поэтому при изображении комплексных чисел на плоскости комплексного пореРиа 162 менного г ось Оу называют осью мнимых чисел или мнимой осью, а ось Ох — действительной осью.
Соединив точку А(а, Ь) с началом координат, получим вектор ОА. В некоторых случаях удобно считать геометрическим изображением комплексного числа г = а+ гй вектор ОА. 2. Тригонометрическая форма записи комплексного числа. Обозначим через 92 и т (т > О) полярные координаты точки А(а, Ь), считая начало координат полюсом, а положительное направление оси Ох — полярной осью. Тогда (рис. 162) имеют место следующие равенства: а = тсоз92, Ь = тз|п~р, а следовательно, комплексное число г можно представить в форме а + 16 = т соз 92 + тг зш 92 или г = т(соз92+ 391пуг).
(3) Выражение, стоящее справа, называется тпригонометрической формой записи комплексного числа г = а+16: т называется модулем комплексного числа г, 92 аргументом комплексного числа г; оно изображается так: т = ~г~, ~р = ага г. (4) Величины т и 92 выражаются через а и Ь, очевидно, так: т =,/а- '+ 62, 92 = Агс1к 6.
Итак, ~г~ = ~ + Ь! = ,/Р + 62, агк г = агк(а + 1Ь) = Агсгй — . 6 Аргумент комплексного числа считается положительным, если он отсчитывается от положительного направления оси Ох против часовой стрелки, и отрицательным при противоположном направлении отсчета. Очевидно, что аргумент у определяется не однозначно, а с точностью до слагаемого 2кй, где /с — любое целое число. Замечание. Сопряженные комплексные числа г = а + 16 и й = а — 1Ь имеют равные модули (г! = ф, а их аргументы равны по абсолютной величине, но отличаются знаком: агкг = — агйй. ооиовньж действия нлд комплексными числлми 195 1 г1 Отметим, что действительное число А так же может быть записано в форме (3), а именно: А = (А)(созО+гзшО) при А ) О, А = )А)(соек+ ггйпх) при А ( О. Модуль комплексного числа 0 равняется нулю 0: (О! = О.
В качестве же аргумента нуля можно взять любой угол у. Действительно, для любого угла сг имеет место равенство 0 = О(соб сг + г гйп сг). б 2. Основные действия нвд комплексными числами 1. Сложение комплексных чисел. Суммой двух комплексных чисел гг = аг + гЬ1 и гг = аг + гЬг называется комплексное число, определяемое равенством гг + гг = (аг + гЬ1) + (аг + гЬ ) = (аг + аг) + г(Ь1 + Ьг). (1) Из формулы (1) следует, что сложение комплексных чисел, изображеняых векторами, производится по правилу сложения векторов (рис.
163, а). с~ 1 ге ггг Ь) а) Рис. 1бг 2. Вычитание комплексных чисел. Разностью двух комплексных чисел гг — — аг + гЬ~ и гг = аг + лЬг называется такое комплексное число, которое, будучи сложено с гг, данг в сумъее комплексное число гг: гг — гг — — (аг+ гЬ1) — (аз +ЬЬ ) = (аг — аг) + г(Ь1 — Ь ). (2) Отметим, что модуль разности двух комплексных чисел равен расстоянию между точками, изображающими эти числа на плоскости комплексного переменного (рис. 163, б): 1гг — гг! = 3. Умножение комплексных чисел.
Произведением комплексных чисел гг — — аг + гЬ1 и гг = аг + гЬг называется такое комплексное число, которое получается, если мы перемножаем эти числа как двучлены по правилам алгебры, учитывая только, что г = — 1, гг= — г, г =( — г) г= — г =1, гв=гитд., 19б !гл. ю! КОМПЛЕКСНЫГ ЧИСЛА МИОГОЧЛЕНЫ и вообще при любом целом 41 1 .4ь 1 4!4-2 у .4ь4 3 На основании этого правила получаем: «1гг = (а! + г61)(а! + !Ьг) = а!аг + гй!аг + !а! 6 + ! Ь!62 или «,г = (а!аг — Ь1Ь2) +!(Ь,аг+ О,ЬБ). Р) Пусть комплексные числа даны в тригонометрической форме г1 — Г!(СОБ!Р! + «Б1П!Р!), «г = ! 2(СОЯ!Рг + «Я1ПО«2).
Найдем произведение этих чисел «!22 —— г1(соя!р! + ! Ейп!р1)гг(соя!рг + ! Ейп!рг) = = г. гг !соя !р! соя !рг + 1 яш !р1 соя рг + 1 соя !р! я!и рг + 1 Б1п !р! Бйп !р ) = = гггг [(сов я«! сов !Рг — Я1п Р! ЯИ1 !Рг) + 2(Я!п !Р! соз !Рг + сов !Р! Я!п У«2)] = г1!'2[соя(!р! + !рг) + ! Б1п(!р! + !!22)). Таким образом, 21 22 — — г1 гг [соя(!р! + !рг) + ! Бш(!р1 + !рг)), (3') т.е.
Произведение двух комплекснь!х чисел есть такое колтлексное ~иола, модуль которого равен произведению модулей сомнозюителей, а аргумент равен сумме аргументов сомнозки!Пелей Замечание 1. Произведение сопряженных комплексных чисел « = а+ !6 и й = а — !Ь в силу равенства (3) выражается так: 22 = аг+6' или — [2 ~ -~2 ' = х+1У, ог + Ь, то а, + 16! — — (аз + 462)(х+ гу) а, + 161 = (агх — 62У) + !(а«У+ 62х); или х и у определяются из системы уравнений а1 = а2х — Ьгу, 61 = Бгх + агу.
Произведение сопряженных комплексных чисел равняется квадрату модуля каждого из них. 4Деление комплексных чисел. Деление комплексных чисел определяется как действие, обратное умножению. ПУсть г, = аг +1Ь1, «2 — — аг + !Ьг, [22[ = ъ/аз+ Ьг ф О. Тогда — ' = г есть такое комплексное число, что 21 = 222. Если «г г г! осиовнык действия над комплексными чисг!Ьььи 197 Вешая систему, находим: а|а| -Ь- Ь!Ь| л|Ь! — а|6| аг 1-6г ' пг »-Ьг Окончательно получаем: а|аг + ЬьЬг + агЬ! — ьчьг (4) г=,, +ь лг + Ьг аг + Ьг Практически деление комплексных чисел выполняется следующим образом: чтобы разделить г| — — а| + |Ь| на ег — — аг + ьЬ», умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю (т.е.
на аг — |Ь ). Тогда делителем будет действительное число; разделив па него действительную и мнимую части делимого, получим частное а, -Ь- ьЬ! (а! .Ь-|Ь|) (аг — ЬЬг) (а|аг+ Ь|Ьг) Е |(агЬ| — а|Ьг) пг ж |Ьг (аг ж |Ьг) (аг — |Ьг) (а'+ 6') +| а|аг -~- 6|Ьг агЬ| — а|Ьг — аг Ьг аг „ Ьг Если комплексные числа даны в тригонометрической форме г| = г|(соз|р| + ыйпьрь)! ег = г»(созьрг + | згпьрг), то — = — "' [соз(ьрь — 6»г) + ь зьп(ьрь — ьр )].
(5) Для проверки этого равенства достаточно умножить делитель на частное: гг(сок ьрг + г з|п|рг) — "' [соз(ьр! ьрг) + | з!п(ьрь ьрг)] = = Гг — [СОЗ(ьРг+ |Р| — ьрг) + |ЗП1(ьРг + ьР1 ьРг)] '|(ЬЫЗ|Р1+ З|" ьР1). Таким образом, модуль частного двух комплексных ьисел равен частному модулей делимого и делителл; аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя. Замечание 2. Из правил действий над комплексными числами следует, что в результате операций сложения, вычитания, умножения и деления комплексных чисел получается снова комплексное число.
Если правила действий над комплексными числами применить к действительным числам, рассматривая их как частный случай комплексных, то эти правила будут совпадать с обычными правилами действий, известными из арифметики. Замечание 3. Вернувшись к определениям суммы, разности, произведения и частного комплексных чисел, легко проверить, что если в этих выражениях заменить каждое комплексное число сопряженным, то и результаты указанных действий заменяются сопряженными числами. Отсюда, в частности, вытекает следующая теорема.
198 комплвксныг числе м~огочлвны )гл. л) Теорема, Если в многочлен г дейетпвительными коэффициенталги Аох" + А)х" ' +... + А„ подставить вместо х. гасло а + )б, а затем сопряженное число а — гб, то и результатпы эп)их подстановох будут взаимно е опряже н ныл) и. '9 3. Возведение комплексного числа в степень н извлечение корня из комплексного числа 1. Возведение в степень. Из формулы 13') предыдущего параграфа следует, что если и — целое положительное число, то (т(соз )р + 1 91п )р))" = т" 1соз п)р + 1 яп п9э) .
(1) Эта формула называется формулой Муавра. Она показывает, что при возведении комплексного числа в целую положительную степень модуль возводится в этну степень, а аргумента умножается на показатель степени. Рассмотрим теперь еще одно приложение формулы Муавра. Полагая в этой формуле т = 1, получим: (соз)р+191п)р)" = созп)р+1япн)р.
Разлагая левую часть по формуле бинома Ньютона и приравнивая действительные и мнимые части, мы сможем выразить япп)р и созп)р через степени япзэ и соззэ. Так, например, в случае и = 3 получаем: соз )р+13соз ряп)р — Зсоз)рз1п )р — 191п) р = созЗ)р+191пЗ)р; 3 2 г з используя условие равенства двух комплексных чисел, получим: сов Зр = созе р — Зсоз)рз1пг р, з)пЗр = — з)пз)р+ Зсозг рз1п)р, 2. Извлечение корня.
Корнем и-й степени из комплексного числа называется такое комплексное число, и-я степень которого равняется подкоренному числу, т.е. о')'Й+' ' ~)=и) Ф ' ' Ф), если р" (сов п)б+ 1 зги пф) = т(соз)р+ г 91п)р). Так как у равных комплексных чисел модули должны быть равны, а аргументы могут отличаться на число, кратное 2я, то р" = т, .пф = уз + 2яб, Отсюда находим: р= ут, ф= 199 нозввдкник комплкксного числя в стгпкнь г з! где и — . любое целое число, ~/г —. арифмегическое (т.е.
действительное положительное) значение корня нз положительного числа г. Следонательно, зг!""г+'"".Й= з !" '" з"'"'" ! !з! Придавая й значения О, 1, 2, ..., и — 1, получим и различных значений корня. Для других значений и аргументы будут отличаться от полученных на число, кратное 2к, и, следонательно, получатся значения корня, совпадающие с рассмотренными. Итак, корень и-й степени из комплексного числа имеет и различных значений. Корень гг-й степени из действительного числа А, отличного от нуля, также имеет и значений, так как действительное число является частным случаем комплексного и может быть представлено в тригонометрической форме: если А > О, то А = (А((соз О+ г яп О); если А < О, то А = )А((соби + тяп и).
Пример 1. Найти все значения кубического карня из винницы. Решение. Представим единицу в тригонометрической форме: 1 = соз О -!. г з!и О. По формуле (2) получаем: гс 1 = сов О -!- з яп О = соз з — з .. О -!- 2гся . О+ 2йгг 3 -!. ге!ив 3 Полагая и равным О, 1, 2, находим три значения корня: тг = саво.в гяп О = 1, тг = соз(2я/3)-1- гяп(2я/3), тз = соз(4я/3)-!-зяп(4я/3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
