Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 40
Текст из файла (страница 40)
(ХΠ— Х ) Затем, положив х = х1, получим: у1 = С1 (х1 — хо)(х1 — хг)... (х1 — х„), откуда У1 С (х, — хо)(х1 — хг)... (х1 — х„) ' Таким же образом найдем: уг (Х2 — ХО)(Х2 — 21)(Х2 — ХЗ)... (Х2 — Х ) ф— У (Х вЂ” ХО)(х ~ — Х1)(Х вЂ” Х2)... (Х вЂ” Х -1) Подставляя найденные значения коэффициентов в формулу (1), получим: Рх (х — х1)(х — х2)" (х — х~ ) Уо+ (хо — х1)(хо — хг) (хо — ХР) + (Х вЂ” ХО)(Х вЂ” Х2)... (Х вЂ” ХР) (х1 — хо)(х1 — хг) " (хг — х ) У1 +...
+ " "- у„. (з) (х — хо)(х — х1)... (х — х„-1) (х„— хо)(х — х1), (х„— х -1) Эта формула называется интлеряоллционной формулой Лагран22са. Отметим без доказательства, что если 1р(х) имеет производную (я+ 1)-го порядка на отрезке (а,Ь], то ошибка при замене функции 1р(х) многочленом Р(х), т.е. величина В(х) = 1р(х) — Р(х), удовлетворяет неравенству (В(х)/ < /(х — хо)(х — х1)... (х — х„)/ ~,тах/~р("+')(х)!. Р(х) = Со(х — х1) (с — .сг)... (х — х„) ь + С1 (х — хо)(х — хг)... (х — хв)+ + С2(х хо)(х — х1)(х хз) .. (х хо) +... ...
+ С (х — хо)(х — х1)... (х — х„1) (1) и определим коэффициенты Со, С1, ..., С„так, чтобы выполнялись условия грг КОМПЛЕКОНЫЕ: '!ИС'ЛА МНОГО'!ЛЕНЫ )Гл 'и 1'(х) =- 3 4,, --- . (- о) .1- (т — 2)(х -!- 4) (х — !)(х х 4) (х — 1)(х — 2) (1 — 2)(1 + 4) (2 — 1)(2 -!- 4) ( — 4 — 1)( — 4 — 2) — 4, нли Р(х) = — -.-- х — — х .!- —. 39 е 123 252 30 ' 30 30 ' '3 10. Интерполяцнонная формула Ньютона Пусть известны (и+ 1) значение функции оо(х), а именно уо, Уо,, у„при (и + 1) значении аргумента хо, х1,..., х„, При этом разность между соседними значениями аргумента постоянна. Обозначим ее через Е!. Таким образом, имеем таблицу значений неизвестной функции у = еп(х) при соответствуя!щих значениях аргумента. хо хз =хо-1-6 ха=хо->-2й ..
х =хо-1-лй и ро ш ут Составим многочлен степени не выше п, который принимает соответствующие значения при соответствующих значениях х. Этот многочлен будет приближенно представлять функцию <р(х). Предварительно введем обозначения: Езуо = У1 '! еа Уо = Уз з Л Ус =Уз Уо сау! = у- У! Ьуз = Уз — Уз — 2У1 + Уо = е1У! — 21уо, ~'У! = ~уз — 11У1, " — Зуз + Зу! — Уо = ез УŠ— сз Уо сз Уо =та У! — ез Уо. Это так называемые разности 1-го, 2-го, ..., и-го порядка. Напишем многочлен, принимающий значения уо, у! соответственно при хо и х,.
Это будет многочлен 1-й степени 1!(х) = Уа + езуо Замечание. Из теоремы 4 3 6 следует, что многочлен Р(х) является единственным, удовлетворяющим поставленным условиям. Укажем, что существу!от и другие интерполяционные формулы. Одна из них — интсрполяционная формула Ньк!тона рассмотрена в 3 10. пример. из эксперимента полу !ены такие значения функции у =- ее(х)! уо = 3 при то = 1; у! .= — 5 при х! =. 'г:, у! = ! при х! .= — 1 Требуется представить приближенно функцшо у = ее(х) мносочленом второй степени. Решение.
По формуле (3) имеем (при и =. 2)! 1 !о! »из интвРпО »яциОннАя Ф!»Рму»!А ньютОнА Дей стон тельно, 6 Р»(х=.»! = Уо 1 г» Уо ~ = Уо Р (У! — Уо) = У!. Р»(х)(»=л» = уо, Напишем многочлен, принимающий значения уо, у», у соответственно при хо, х», х». Это будет многочлен 2-й степени — О Уоа — хо»Х — Хо (2) Действительно, будет иметь вид: — ха (х — хо 1)+ — *„*'(* „" — 1) (* „*' -2).
(З) Е»,(, „=у,, 2»г(.= , = Уо + гУ Уо 2 Многочлен третьего порядка ге(Х) — УО+ !АУО 1, + з! Наконец, многочлен и-го порядка, принимающий значения уо, у», у», ..., У„соответственно при хо, х!, хг, ..., х„, будет иметь вид; »Агво х — хо в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Это и есть интерполяционноя формула или интерполяционный многочлеп Ньюп»она. По существу, многочлен Лагранжа и многочлен Ньютона для данной таблицы значений тождественны, но по-разному написаны, так как многочлен степени не выше п, прннимаюший заданные (и+ 1) значения прн данных (и+ 1) значениях х, находится единственным образом. Во многих случаях интерполяционный многочлен Ньк>тона более удобен, чем интерполяционный многочлен Лагранжа. Особенность этого многочлена заключается в том, что при переходе от много- члена Й-й степени к многочлену (Й+ 1)-й степени первые (Й+ 1) членов на меняются, а только добавляется новый член, который равен нулю при всех предыдущих значениях аргумента.
Замечание. По интерполяционным формулам Лагранжа (см. формулу (3) з 9) н Ньютона (формула (4)) определяются значения функции на отрезке хо < х < х„. Е!ли по этим формулам определяется значение функции при х < хо (это можно делать при малом ~х — хо(), то говорят, производится экстраполяция таблицы назад. Если определяется значение функции при х > х„, то говорят, что производится зке»праполяция таблицы вперед. 214 КОМПЛВКСНЬШ ЧИСЛА МНОГОЧЛВНЪ| (Г|1 "|| г 11. численное дифференцирование Уг (х) — Р (х) = — + — (2= — — 1). | Дуо гт'уо / х — х0 л гл 1 л При х = хе получаем 2у 92 (хо) Рг(хе) (2) Если будем рассматривать многочлен 3-го порядка (см.
(3) г 10), то после дифференцирования для его производной получим выражение: |Л Уо + ил[3( л ) б( )+2]' (3) В частности, при х = хе получаем: 1|2 (хв) Рз(х) + |ЛУ0 |Л2уо |Лзуо Л 2Л Зл Если мы будем пользоваться формулой (4) з 10, то для приближенного выражения производной при х = хв получим у| (хо) Р (х) = — — — + — — — + 2АУ0 |А2уо |Лзуо 224уа Л 2Л Зл 4Л (5) Заметим, что для функции, имеющей производные, разность 2.'Уув ЕСть бесконечно малая 1-го порядка, г) гуо — бесконечно малая 2-го порядка, Ьзуе — бесконечно малая 3-го порядка и т.д, относительно Й. Пусть значения некоторой неизвестной функции у2(х) заданы таблицей, которая рассматривалась в начале г 10.
Требуется определить приближенно производную этой функции. Эта задача решается гак. Строится интерполяционный многочлен Лагранжа илн Ньютона и от этого многочлена находится производная, Так как чаще рассматриваются таблицы с равными разностями между соседними значениями аргумента, то мы будем пользоваться интерполяционной формулой Ньютона.
Пусть даны три значения функции уе, у,, уг при значениях аргумента хо х|, хг. Тогда пишем многочлен (2) 2 10 и его дифференцируем. Получаем приближенное значение производной функции на отрезке хв < х ( хг. гю О НАИЛУЧШВМ Пенн!!И КЬНИИ ФУНКЦИЙ МНОГО' !.'!В!!АЬ!И ! г) 12. О наилучшем приближении функций многочленами. Теория х1ебышева В связи с задачей, рассмогрснной н Я 9 и 1О, естественно поставить такой вопрос: пусть на отрезке [а, Ь] задана непрерывная функция !р(х). Можно ли эту функцию с любой наперед заданной степенью гаочности приближенно представить в виде многочлена Р(х)? Иначе говоря, можно ли подобрать такой многочлен Р(х), чтобы разность между зг(х) и Р(х) по абсолютной величине во всех точках отрезка [а, Ь] была меньше любого наперед заданного положительного числа г? Утвердительный ответ') на этот вопрос содержится в следующей теореме, которую мы приводим здесь без доказательства: Теорема Вейерштрасса.
Если функция !р(х) непрерывна на отрезке [а, Ь], то для любого г > О существует такой Асногочлен Р(х), что во всех точках указанного отрезка вьтолняетсл неравенство [р(х) — Р(х)] < г. Выдающийся советский математик академик С.Н. Бернштейн двл следующий способ непосредственного построения таких много- членов, которые приближенно равны непрерывной функции зг(х) на заданном отрезке. Пусть, например, функция !р(х) непрерывна на отрезке [О, Ц. Составим вь!рюкенне п В ( ) ~ ~(гп)С ! п!(1 )и — т пг=п Здесь С ' — биномнвльные коэффициенты, зг) — 1 — значение и ! и) данной функции в точке х = —. Выражение В„(х) является п многочленом и-й степени; его называют Агногочленом Бернштейна.
Если дано произвольное г > О, то можно подобрать такой многочлен Бернштейна (т.е. так выбрать его степень и), чтобы для всех значений х на отрезке [О, Ц выполнялось неравенство ]В„(х) — зг(х)[ < е. Отметим, что рассмотрение отрезка [О, Ц, а не произвольного отрезка [а, Ь] не является существенным ограничением общности, так как с помощью замены переменного х = а+1(Ь вЂ” а) можно любой отрезок [а,Ь] преобразовать в отрезок [О,Ц. Прн этом многочлен и-й степени преобразуется в многочлен той же степени. ') Заметим, что интерполяционнып многочлен Лагранжа (см. (3) 1 9! не дает еще ответа на поставленный вопрос.
Его значения равны значениям функции в точках хо, хг, хг,..., х„, но они могут быть очень далеки от значений функции в других точках отрезка (а, 6). 216 КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА. МНОГОЧ11ЕНЫ (гл он Создателем теории наилучшего приближения функций с помощью многочленов является русский математик П.Л.
Чебышев (1821-.1894) — - один из величайших представителей математической мысли. Им получены наиболее глубокие результаты в этой области, оказавшие исключительное влияние на работу последующих математиков. Исходной точкой для создания этой теории была работа П.Л.
Чебышева по теории шарнирных механизмов, широко используемых в машинах. Изучая такие механизмы, он пришел к задаче разыскания среди всех многочленов данной степени с коэффициентом при старшем члене, равным единице, такого многочлена, который меньше всех отклоняется от нуля на заданном отрезке. Такие многочлены им были найдены и впоследствии учеными названы Аеногочлеыами Чебышева. Эти многочлены обладают многими замечательными свойствами и в настоящее время являются могучим средством исследования во многих вопросах математики и техники. испражнения к главе Ъ'Н 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
