Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Вычислить интеграл ! ия (ез яг)з ' Решение. Это интеграл типа И!. Сделаем замену я = аз!и а, тогда Ыс = а сов гс!в, ет / асовгс!в ( асов гг!г'! ! !г ов Лз:"г ~ МР:Р* ь г 1 з 14. О функциях, интегралы от которых не выражаются через элементарные функции *~ \/! - в!и т =. (сове!! мы для определеяяосгя останавливаемся лишь па одном случае: ~ сов г( = сова. В З 1 гл. Х мы уже отмечали (без доказательства), что всякая функция Дх), непрерывная на интервале (а,б), имеет на этом интервале первообразную, т.е.
существует такая функция г'(х), что г'(я) = Дх). Однако ме всякая нервообраэмая, даже тогда, когда она существует, выражаегпся е конечном виде через элеменпварные функтЗми в Таковы первообразные, выраженные интегралами ) е * !Ь, ! — "'г* ! —,'г* 1~1-в"'" *в* 1ш " гу Фо всех подобных случаях первообразйая представляет собой, очевидно, некоторую новую функцию, которая не сводится к комбинации конечного числа элементарных функций. Так, например, та из первообразных — - 1'е * !1х+ С, которая обращается в нуль при х = О, называется функ!!ней Лапласа и неопределенный интьГРА.И зз! 1Гл. х обочначаегся Ф(х).
Таким образом, Ф(х) .=- — ) Р **41х+ С1, если Ф(0) = О. ,Я ) у у---г' " Ъ'пражнення к главе Х .б 1. Вычислить интегралы; 1. 1 хб нх Отв. — + С, 2. Дх .1- ьбх) з!х. Отв. б хз 2хз/х ! 3 хчгхз 2 — + 4 С. 3. ) ( — — ! Их, 0тв. бе х — — хзьгх4- С. 4. ) —. Оте 2 З ' „- 4 ' ГО ' ',Г-, ' 1 8 в.'х — хзьгх+ С.
5. ) ( — + — + 2) з!х. Отв. — — — — + 2х + С. 6. ) —. Отв. ХзГХ ) ' ' * чсх Ж' 4 4 ! 1 12 хз 3 зз ~/хв 4 С 7. Цхз+ — ) зх. Отв — 4 -х2 чхз 4.зьзбх4-С. 3 !вбей 5 4 зз Интегрирование методом подстановки: 8. )'ез*нх. Отв.
— ез* + С. 9. 5 21п 5х совах !их ) созбхнх. Отв. — +С. 10. ) в1пахдх. Отв. — +С. 11. ( — 4х. О!ив. 5 а х 1 2, з!х ссб Зх, с!х 28 7х — 1п х+С. 12. ) 2 . Отв. — +С. 13. ) . Отв. +С. 14. 2 втз Зх 3 совз 7х 7 нх 1 нх е,'х . Отв, — 1п(зх — 7(4- С. 15. ) —, Отв. — 1п !! — х~ 4 С. 16. ) Зх — 7 3 1 — х 5 — 2х 1 1 Отв, — — !и ~5 — 2х(-!-С.
17. )'Гбзхс!х. О!ив. — — 1и ~ сов2Х~+С. 38. ) с!8(5х — 7) а!х. 2 2 1 ну 1 Х Оп!в, — )п(в)п(бх — 7)) 4 С. 39. ) —. Оп!в. — — 1п)совЗУ~+ С. 20. )'сзб — 42. 5 оба Зу 3 3 2 1 Отв. 3!и !в1и — ~ + С. 21. ) !842 весзуздр. Отв. — 182224-С. 22. )(с!бе*)с*!!х. 3 2 Ь'1 1 Ь' Отв. !п ~в!пез!+С. 23. )(сбво — с!8 — ) 43. Отв. — — 1п ~ сов43( — 41п(вт — )+С. ! ! з!п х сов4 х 24. ) в!пз х сов х их. Отв. — + С. 25. ) совах в!и хзх. Оте.
— — + С. 26. х 4 Эта функция хорогио изучена. Составлены подробные таблицы ее значений при различных значениях х. 1хак это делается, мы унидим в 3 21 гл. ХЧ1 (т. П) На рис 208 и 209 изображены график 2 подынтегрвльной функции у =- е * и график функции Лапласа у = Ф(х). Та из пернообразных г! — з'.Р.е-!с! !з И.
которая обрагдается в нуль при х = О, называется эллиптическим интегралом и обозначается Е(х): Рнс. 209 Е(х) = / 1771 — кгв!Нгхс(х+ С если Е(0) = О. Для этой функции также составлены таблицы значений при различных значениях х. 336 НЕОГГРЕДЕЛЕНННГЙ ИНТЕГРАЛ 1ГЛ Х Огиз. !и (х 4- ъ/хг+9) + С. 80. / —. Огив. — 1п )Ьх+ ъ/Ьгхг — а~(+ С. Йх 1 ъ/Ьгхг — а~ Ь 81. ( . Огив, — !п(ах Е ъЬ1 -!.
а х ( -Р С. 82. /' . Отв. ! — 7-7 Вх ъ/Ьг+а х~ а агхг — сг 2ас ~ ах 4- с! 5 — хз Въг5 !хз — ъг5' ъ/! ЕИТ х г!х г Е* 4!Х Огив. — агсзшх 1- С. 85. ) 4. Оигв. — агс! — + С 86. ) 2 х4 + а4 2аг аг ъ/1 — е~е в,'х 1 /-, соз х 4!х Оте. агсзше* Р С. ВТ. /' . Отв. — агав!п (/за+ С. 88. / ъ/3 — Ьхг' ' ъ/5 ' !/' ' а'+яп'х' 1 нюх йх Отв. — агс!В( ) + С. 89. ) . Оигв, агсз!п(!пх) -Р С. 90. а а х~/! - !пах агссоз х — х ! . х — яс!В х Вх.
Огив. — — (атосов х)г+ ъ/1- тг+ С. 91. /' 4!х. Отв. ъ/1 — х~ 2 1+ хг 1 г ! ъг!+1пх 2 — !п(1 -!- хг) — — (агсгВх)г .1- с. 92. ( — а ) 2 2 х 3 4!х. Отв. — ъ/(1-~-ъ/х)з4-с. 94. ( . Огив. 4ъ/1-1- ъ/х-!-с. ъ/Г+ ъ'х 4 з ъ/х 3 ъ/хф+ ъг~х е* ггх 95. ( г, Оигв. агс18е* + С. 96. !" . Огив.
ЗъЯпх + С. 97. 1 + ег* ъ/пиг х 2 з в!п2хдх ~ " - — — с"..*.г,... г Оигв. 9 Л+оеТх ' соз х 1 1 -2ъ/Г+созгх+С. 99. ( — Вх. Отв. — — з +С. 100. /' 4!х. з!п4 х тих Зз!пз х ссег х О г. 2 Ъ/!Вез+С. 101. ( . Оте. — агс!В()/-!Вх) -!- С. 5 2япгх-!-Зсозгх ъ/6 Ах+В. дх 1 х+1 Интегралы инда (' 41х: 102. / . Огив. — агс!В .4-С. ахг+Ьхес хг+2х 1-5 2 2 Зх 1 Зх — 1 дх 103. )' Оигв.
— агс!В -!- С. 104. Отв. Зхг — 2х+ 4 ъ/И1 ъ/И хг + Зх+ 1 1 ~2х+3 — ъг5( 4!х 1(х — 5( дз — !и~ !-РС. 105. ( . Оигв. — ( — !+С. 106. / ъ 5 ~2х+3+ъ/5! хг — 6х+ 5 4!х-1! 2зг — 2з 4-1 Вх ! Зх — 1 Отв. агс!В(2з — 1) -Р С. 10Т. Отв. — агс!В + С. Зхг — 2х + 2 ъ'5 ъ/5 (Вх — 7) Вх (Зх — 2) Вх 108. ( . Оизв, !п(Зхг — 7х -1- 1Ц .1- С. 109. 1 ' . Отв. Зхг — 7х .1. 11 Ьхг — 3 +2 3 11 10х — 3 Зх — 1 — !п(5хг — Зх + 2) — — агс! — + С.
110. /' 4!х. Отв. 10 Ьъ'31 ъ'31 хг — х + 1 3 ! 2х — 1 7х+1 2 — 1п(хг — х+1)+ — агсзВ +С. 111. 1 Ых. Оигв. — !и!Зх — Ц+ 2 ъЗ ~/3 6хг+х — 1 3 1 2х — ! 1 8 10х- ! 9 — !и!Зхе-ц+С. 112. ( Зх. Отв. — !и(5хг — х+2)- — агс!В + 2 5хг — х + 2 5 Ьъг39 9ъ/39 4 5 з+4хг 1 4х — 1 ВС, 113.
/' Вх. Отв. хз — — + — 1и (2хг — х+ це — агс!В + 2хг х+! ' ' 2 4 24/7 ъ/7 -!-С. 114. / Вх 2 2!Вх+1 . Огиз, — агс!В 9 С. 2созгх+япхсгех -1-яп х ъг7 ъ/7 г!х г -агсв!и .1- С. 116. 1 . Оте. !п(х + — + ъ/хг+а+ ц + С. 2 ъ/41 ъ/Г+ х .!. х~ 2 УНРАЖНЕННЯ К ГГ!АВЕ Х 337 +М (:..Г (28 (Гх у/2а8+ 8~ ! ба+ 7 (Гх — — ° ° /хс('т )( у'3 Л09 у/х(3х + 5) у 3 (Гх 2х+3 (Гх "' à — ' ' ' '" "" "' Г л! — ) — +Гт)% )) а». Г У(5 Г (+) *.Г .
— — Л НРЛ(И,:. -.Г (' — ) ( +и 'Г 4 4 2 /х(2х — 1) 3 . 23 -ли- + — ( — + 'т( '- )(~ ° 2 4У)2 П. Интегрирование по частям; 127. Г" хе* (Гх. Оп!в. е*(х — 1) .!. С. 128. 2 ]'х!Вх(12. Отав. -х (!Вх — — !+С. 129. 1 хв!Вх(Гх. Оп!в. в!пх — хсовх+С. 130. 2 2 ] !пх (Гх. Отав. х(!пх — !) + С.
131. ] агсв(пх(гх. Отав, хагсвюх -!- У/! — х~+ С. 132. /'!п(1 — х)(гх. Отав, -х — (1 — х)!п(1 — х) + С. 133. / х" !пх(гх. Отав. и .!. 1 1 — ~!пх — — ~ + С. 134. Г'х агс!8х(Гх. Отав. — ](ха 9 1) агсгйх — х]+ С. 135. и-!-1 и-!-1 2 Г" хагсе!Вх(1т. Отав. — ((2хг — !) агав!Вх+х1/1 — х~]+С. 136. Г" !В(хг-Р !)(Гх. Отав, 4 х!В(22+1) — 2х+2агссйх+с. 137. Г" ага!8)/х(гх. Отав. (т+ !) агс18 У/х —,/к+ с. . агсв!п,/х 138. ] (4х. Отав.
2)/х агсв!п у/х + 22/1 — х .!. С. 139. ) агсв1п !/ — * (Гх. 'х 2,/ *+! хг ! Отав. хагаи!п (/' — * —, Гх+агс18,,/х+С. 140. Г'ясак!хе!х. Отав. — + -хв!п2х+ (/ в~-1 4 4 1 х агсвщ х -Г- — сов22 + С. 141. ] (Гх. Оп!в. х — Л вЂ” х аг(з!Вх -!- С. 142. 8 ,/! - х х агс!8х * 1 ! агсгйх (Гх. Отав. -!- — агсгйх-- -)-С. 143. ) хагс18~/хг — 1(/х. (хгв-!)2 4(1-Рхг) 4 2 1.!.х2 2 1 ! 1- у/1-хй) Отав.
— Ег ага!8 угхг — 1 — — у/хг — !+С. 144. ] (Гх. Ощв. !п] 2 2 — — агав!пх ! С. 145. ] !п(х+ !/1-!-х~)(гх. Отав. х!В]х+ у/! !-х~7]+ Я+ а~в- С. х (!х агав!Вх 1 ) ! — х 146. 1'агав!Вх . Отав. + — !п] — ~ + С. /(! х7)з утг -хТ 2 1+х Применить тригонометрические подстановки в следующих примерах: 147. ./а2 х7 1 з (Гх у(1 + х~ 2 ах(з!п — — — х~/4 — хИ+ -хг~/4 — х + С. 149. /' , Отав — — -!- С. 2 2 4 хгД+ х7' х ъ'хг — а~ 150. ( Г х ( + )' х + С. а2 /от+ 7 2х — ! Интегрирование рациональных дробей: 152. дх.
Оп)в. (х — 1)(х — 2) НЕОНРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Х !Н[ — [-1-С. 153. ) .. Опзо. — !и + С. 154. 2)з, х бх 1 (.с -!- 3) х — 1 (х 4- !)(х 1-3)(2 ' 5) 8 [х 1-5[з[х-1- !( гз 4хз. 8 хз х2 1х2(х — 2)21 хзбх дх. Опгв, — + — з-4х Е (и[ — *~-ъ С. 155. ) хз 42 ' ' 3 2 (х -)-2)3 '' ' (т2 1)(х -1-2) тг ! (х — !( !б 42 Отв. — — 2х -1- — !и -1- — !и[2 -1- 2[+ С. 156. ) — . Отв. 2 б !т -1- 1[з ."! (х — !)2(х — 2) 1 (г — 21 х — 8 3 (х — 2)2 — + !и — [+ С. 157.
) — 4х. Отв. — 1- !и + С. т — ! (т — 
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
