Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Поэтому естественно возникает задача: найти практически удобный метод вычисления определенных интегралов. Этот метод, открытый Ньютоном и Лейбницем, использует глубокую связь, существующую между интегрированием и дифференцированием. Изложению н обоснованию этого метода посвящены следующие параграфы настоящей главы. 'З 3. Основные свойства опрццеленного интеграла Свойство 1.Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интегралаг если А = сопз1, то Ау(х) дх = А ((х) дх.
а й Доказательство. и А~(х) г(х = 1пп ~~ АЯ!)Лх! = гй ах .Ь к ! — г 0 й 1=1 ь = А 1пп ~~ )'(~,)Ьх! = А з~ ~(х) дх. '* "',=1 Ф. ОСНОВНЫЕ !'НОЙС!'ЯА ОПРЕЛЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 353 (!р(з) — з" (х)) с1х > О а А! пли !Р( )д — ~~(х)дх>О, / Рис. 2ьг откуда следует неравенсгво (3). Если 3'(х) > О и !р(х) > О, то указанное свойство наглядно иллюстрируется геометрически (рис. 217). Так как <р(х) > г'(х), то площадь криволинейной трапеции аА! Вьб не больше площади криволинейной трапеции аАТВзЬ.
Свойство 4. Если т и М вЂ” наименьшее и наибольшее значения функции 3'(х) на отрезке [а,Ь) и а < Ь, то ь т(Ь вЂ” а) < / з" (х) дх < М(Ь -- а). (4) Доказательство. По условию т < з'(х) < М. На основании свойства (3) имеем: ь ь ь тдх ( з(х)дх( Мдх. (4') Но ь ь тдх = т(Ь вЂ” а), Мдх = М(Ь вЂ” а) х (см. пример 3 3 2 гл. Х1).
Подставляя зти выражения в неравенство (4'), получим неравенство (4). Если у(х) > О, то зто свойство легко иллюстрируется геометрически (рис. 218)! плошадь криволинейной трапеции аАВЬ содержится между площадями прямоугольников аА,ВгЬ и аАзВзЬ. Свойство 5 (теорема о среднем). Если функция з'(х) непрерывна на отрезке (а, Ь], то на этом отрезке найдегпся такая точка 8, чгпо справедливо следующее равенство: у(х) дх = (Ь вЂ” а)у(с). а (3) опгвдвлвниый иитвггкл ,!!з!, х! Доказательство. Пусть для определенности а < Ь.
Если т, и М суть, соответственно, наименьшее и наибольшее зна !виня г'(х) на отрезке [а, 6], то в силу формулы (4) <ь — /к(х) ' < а Отсюда — ! (х) дх = д, где т < д < М. а Так как г"(х) непрерывна на отрезке [а, 6], 'го она принимает все промежуточные значения, заключенные между т и М. Следовательно, при некотором значении 4 (а < 9 < ь) будет ьь = .г(с), т.е. ь ь(х) дх = г(с)(Ь вЂ” о).
Свойство б. Для любых трех чисел а, Ь, с справедливо равенство ь с ь (6) Тогда с в О а с Ь к У(б!)Ьх, = ~ ~~ф)Оьхь+ ~ ~Дб!)Лх!. Переходя в последнем равенстве к пределу при шах сьх! — ь О, получим соогношение (б). Рис. 219 если только осе зти три интеерала срщесторют. Доказательство. Предположим сначала, что а < с < Ь, и составим интегральную сумму для функции 1"(х) на отрезке [а,6].
Так как предел интегральной суммы не зависит от способа разбиения отрезка [а,6] на части, то мы будем разбивать отрезок [а,Ь] на малые отрезки так, пабы точка с была точкой деления. ь Разобьем далее интегральную сумму ~, соответствуюп!ую отрезку с [а,6] на две суммы: сумму ~,', соответствуюпьую огрезку [а,с] и а ь сумму ~, соответствующую отрезку [с,Ь]. З55 а!.!'и((' (нпие Опгнпелгпного ин'(и! Рл (л Если и =.
Ь < г. г( ца ошюпапип доказанн(по можем (шпигат!с ь ('(.г) (йг = / ('(з) О! р / г'(.() ((х и. и! ь г Дх) (х =- / ((х) Ох . - / ('(х) (х; ь ((х) (!х = — ~(х) ((х, поэтому / у'(х) Их = / г"(х) йх + / г'(х) ((х, Аналогичным способом доказывается -зто свойство при .(набом другом расположении точек а, 6 и с. На рис. 2(9 дана геометрическая иллюстрация свойства б для гого слг (ая. когда у(х) ) О п а < с < 6: плошадь грапепни аАВ6 ранна сумме плошадей (рапеций аАСс и (СВ6. '5 4.
Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона — Лейбница Пусть в определенном интеграле / ™)~х нижний предезз а закреплен, а верхний предел 6 мепяегся. Тогда будет меняться и значение интеграла, т.е. интеграл есть фунмцпля верхнего предела. Для того ггобы иметь привычные обозна- (начение интеграла не зависит.) Получим инх гис. ззо те(рал ) у(!) ((!. При по('гонимом а эгог интеграл булег предсгавлять собой функцию верхнего предела х. Эту цо иа основании формулы (4) 6 2 имеем: 'юнна, верхний предел обозначим через х, а чтобы не смешивагь его ( перел(енной интегрирования, наследию(о обозначим через б (Ог обозначеняя переменной интегрирования О п=((х Л' д,"...х, ав ',;Ф(х)х Д '.з(З',.у ' ' х О а хех+ах 355 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ )Ггь х1 функцию мы обозначим через Ф(х): Если 1(1) — неотрицательная функция, то величина Ф(х) численно равна площади криволинейной трапеции аАХх (рис.
220). Очевидно, что эта площадь изменяется в зависимости от изменения х. Найдем производную от Ф(х) по х, т.е. найдем производную определенного интеграла (1) по верхнему пределу. Теорема 1. Если )" (х) — - непрерывная функция и Ф(х) =) )" (1) й, ь то имеет место равенство Иными словами, производная от определенного интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции, в котпорую вместо перемен ой интегрирования подставлено значение верхнего предела (при условии, что подынтегральная функция непрерывна).
Доказательство. Дадим аргументу х положительное или отрицательное приращение Ьх; тогда (учитывая свойсгво б определенного интеграла) получим: Ф(х+ Ьх) = / ~(1)й = / ~(1) й+ ~ У(С)й. Приращение функции Ф(х) равно ЛФ = Ф(х+ Ьх) — Ф(х) = / У(Ю)й+ ~ У(б)й — / Дб)й, т.е.
ЬФ = / 1(1) й. К последнему интегралу применим теорему о среднем значении (свойство 5 определенного интеграла) 1АФ = ) (С)(х+ Лх — х) = Г(С)Ьх, где ( заключено между х и х+ Ьх. Найдем отношение приращения функции к приращению аргумента: т(б)ах )(б) Ьх дх 357 вычислении опгвделннного ингегналл Плсщовагельно, Ф'(х) —.— 1пп — ~ =- 1пп 1(() ат ю от щ-о Но гак как с -э.г при гах э О, го 1пп 7(с) = йгп г"(~), а вследствие непрерывности функции 1(х) йгп 7" (С) = 7'(х).
4-~г Таким образом, Ф'(х) = 7(х). Теорема доказана. Данная теорема просто иллюстрируется геометрически (рис. 220): приращение сьФ = 7(с)Ьх равняется площади криволинейной трапеции г, основанием Ьх, а производная Ф'(х) = 7"(.г) равна длине отрезка хХ. Замечание. Из доказанной теоремы, в частности, следует, что вслкал непрерывнал функция имеет первообразную. Действительно, если функция 1(г) непрерывна на отрезке [а, х], то, как указывалось в З 2 гл. Х1, в этом случае определенный интеграл ] 7'(1) д1 а существует, г.е. существует функция Ф(х) = / 7"(1) й. в Но по доказанному выше она является первообразной от 7'(х), Теорема 2.
Если Е(х) есть какал-либо первообразнол от непрерывной функции 1(х), то справедлива формула ь У(х) дх = Е(6) — Е(а). и (2) Эта формула называется формулой Ньютона-Лейбница*1. Доказательство. Пусть Е(х) есть некоторая первообразная от функции 1(х), По теореме ! функция ] у(1) Й есть также е первообразная от 7(х). Но две любые первообразные от данной Ы Необходимо отметить, что гаков название формулы (2) условно, поскольку нн у Ньюгона, ни у Лейбница не было ганой формулы в точном смысле этого слова, Но важно то, что именно Лейбниц и Ньютон впервые установили связь между интегрированием и дифференцированием, позволяюшую создать правило Лля вычисления определенных интегралов.
опгеделеинли! иптеггпл !1Л Х1 функции отличаются на постоянное слагаемое С*. Следовательно, можно написать: у (г) 1г! = Г(х) -!- С". а Это равенство прн соотнетгтну1он!еы выборе С* справедливо при носк значениях х, т.е, является тождеством. Для определения постоянного С' положим в етом тожд! стве .г = а: тогда или О = Г(а) + С*, откуда С' = — Г(а). Следовательно, )'(Ь) 1й = Г(х) — Г(а). е Полагая х = Ь, получим формулу Ньютона Лейбница: ь у(!) 1И = Г(Ь) — Г(а), а или, заменив обозначение переменной интегрирования на х: )'(х) г)х =- Г(Ь) — Г(а). а С!тметим, что разность Г(Ь) — Г(а) не зависит от выбора перво- образной Г, так как вге первообразны< отличаются на постоянную величину, которая при вычитании все равно уничтожается.
Еспи ввести обюзначение") Г(Ь) — Г(а) = Г( )(„ О Выражение,'Ь называется знаком двойной подстанопки. В литературе встречаются дае формы записи: или Г(Ь) — Г(а) = )Р(т)]ь, Г(Ь) — Р(о) = г (з)!„. Мы е дальнейшем будем употреблять и тот и другой способы записи. вычисление опгвдвлвнного ннтггеаль го формулу (2) можно переписать так: У(х) с)х = Е'(х)(', = Г'((2) — Г(а). и Формула Ньютона Лейбница дает практически удобный мезод нычисления определенных интегралов в том случае, когда известна первообразная подынтегральной функции. Только с открытием этой формулы определенный интеграл смог получить то значение в математике, какое он имеет в настоящее время. Хотя с процессом, аналогичным вычислению определенного интеграла как предела интегральной суммы, были знакомы еще в древности (Архимед), однако приложения этого метода ограничивались теми простейшими случаями, когда предел интегральной суммы мог быть вычислен непосредственно.
Формула Ньютона-Лейбница значительно расширила область применения определенного интеграла, так как математика получила общим метод для решения различных запач частного вида и поэтому смощза значительно расширить круг различных приложений определенного интеграла к технике, механике, астрономии и т.д. Пример 1. =Ф.= 2~Ь Ь2 О2 2 Пример 2. Пример 3. ь х"-Ь1 Ь Ь"41 — аач' Пример 4.
ь с Ых = е'~ь сь Пример В. 2 аьвхкх = -соьхД" = — (сох 22 — соао) = О. а Пример 6. = ~/1.~- 221а = ч2 — К 1Р— *= ъ'2 Ч- ха а оштлелвиныи инткггкл гао ~гл хь 6 5. Замена переменного в определенном интеграле Теорема. Пусть дин интеграл ь ~Пх) дх к где функции г"(х) непрерывки ни отрезке [и,6]. Введель новое переменное ь по формуле Если 1) р(а) = и, рР) = 6. 2) Ьо(1) и Ьо'(Ь) непрертлвни ни отрезке [а,д], 3) ДЬо(Ь)] определена ни отрезке [а,д], то ь ~ 1(х) дх = /,([р(1)]р'(Ь) дй (1) а а Доказательство.
Если Г(х) есть первообразная для функции У(х), то можем написать следующие равенства: 1(х)дх = Г(х) +С, У[ь (1)]ь '(1) дь = Г[ (1)] + с (2) (3) Справедливость последнего равенства проверяется дифференцированием обеих частей по ь. (Оно так же следует из формулы (2) 6 4 гл. Х.) Из равенства (2) получаем: ь У(х) Нх = Г(х)[ь = Г(6) — Г(и). л Из равенства (3) получаем: Р У[У(1)ЫЬ) дЬ = Г[~(1)]].
'= Г[ (Ф)] - Г[Ф(а)] = Г(6) — Г(и) н Правые части последних выражений равны, следовательно, равны и левые. Замечание. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (1) мы не возвращаемся к старой переменной. Если мы вычислим второй из определенных интегралов равенства (1), то мы получим некоторое число; этому же числу равняется и первый интеграл. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 1гл. хг или окончательно ь 6 /г Пример. Вычислить интеграл /„= ( яп" х йх.
о /г /г /„= (' вгп хНх = / вгп" хвипхкх = — вгп" хйсовх = / о /г = — яп" хсовх(з/ л (и — 1) г( яп" гхсовхсовхзх = о ,' г /г = (и — 1) / в1п" хесе хйх = (и — 1) ( яп" х(1 — яп х) Нх = а о я/г /г = (и — 1) ( в!и" хйх — (и — П ( в1п" хнх. В выбранных обозначениях последнее равенство можно записать так: /: (и 1)/ -г (и 1)/ откуда находим: и — 1 / -г. п (2) Теы же приемом найдем: и — 3 / — г 2/ — 4 позтол~у и — 1п — 3 / и и — 2 2 — 1 2 — З З 2гп 2гп — 2'''4 2 2) и — число нечетное, и = 2гп -1- 1: 2гп 2пл-2 4 2/ тг 2пгь1 2гп — 1'''5 3 ' /г во так как /г /о= г( в1п хНх= ( ггх=б, /г = / в1пхйх = 1, и Продолжая таким же образом далев, мы дойдем или до /о или до П в зависимости от того, будет ли число и четным или нечетным.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
