Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 66
Текст из файла (страница 66)
(9) где через )р(1) обозначена функция от В, сгоящая под знаком интеграла. Таким образом, задача интегрирования данной функции Д(х) на отрезке [а, Ь) всегда может быть сведена к интегрированию некоторой другой функции 72(х) на отрезке [ — 1, Ц. Итак, задача свелась к тому, чтобы в формуле ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ 375 (ГЛ. Х! 2(аз+ з + —,- + —.' +...) = си[пав+ а,(х, + хг + .. + хп)+ +аг(х, +хг+ +х„)+ +а„г(х~ +х," + .
+х'„' )). Приравняем коэффициенты при ао, аы аг, аз,...,а„г в левой и правой частях равенства: или С„ = — , г +х„=О, г г ° +х ЗС' + з 4 г +У, 5С„ 2=Сап хг + хг + г хг-Ьхг+ и з (1О) хз + хз + 4 4 Уз+УЗ+ и 5 Из последних п — 1 уравнений находим абсциссы хы х,...,х„. Эти решения найдены Чебышевым для различных значений и. Ниже приводятся найденные им решения в случаях, когда число п промежуточных точек равно 3, 4, 5, 6, 7, 9: Приравнивая выражения (8) и (9), получим равенство, которое должно быть справедливо при любых ао, аы аг,...,а„п.
1 со1 интегРАг!ы,:!Ависящне от пАРАмегРА Таким образом, приближенное вычисление интеграла на отрезке ] — 1, 1] «роизводигся по следующей формуле Чебышева: С (Х) Йх = — ],С (Х!) + С (Хг) +... + С (Хя)), -1 где п — какое-либо из чисел 3, 4, б, б, 7 или 9, а хс, ..., х„--. числа, приведенные в таблице. В качестве и нельзя брать число 8 или числа, превосходящие 9; в этом случае система уравнений (1О) дает мнимые корни. Когда заданный интеграл имеет пределы интегрирования а и Ь, то формула Чебышева принимает вид ,((х) сСХ = (1(Х1) + у (Хг) +...
+ 1(Хя)], а Ьеа Ь вЂ” а где Х, = — '+ — хс (с = 1, 2, ..., и), а хс имеют указанные в таблице значения. г с Пример. Вычислить à — (= 1п2). 1 Решение. Прежде всего заменой переменных преобразуем этот интеграл в новый интеграл, у которого границы интегрирования будут -1 и 1! 1+2, 2 — 1 З С ЗРС з = 2 2 2 ' 2 2 ~ — с=-е — = !сс 2' Тогда г 1 )(' сз ~ кс 1 -1 Вычислим последний интеграл, приняв я = 3, по формуле Чебышева с (с) аз — 3 (7(0, 707107) + 7(0) -1- 7(-0, 707107)) — 1 Так как 7(0,707107) = 0,269752, ДО) = 0,333333, 7(-0,707!07) = 0,436130, то ! ./ — = -(0,269752 + 0,333333 + 0,436130) = — .1,039215 = 0,692810 0,693.
!СС 2 2 311 3 ' ' ' 3 -! Сравнивая этот результат с результатами вычисления цо формулам прямоугогсьииков, по формуле трапеций и формуле Симпсона (см. пример в прелыдуыем параграфе), мы замечаем, что результат, полученный нами по формуле '1ебышева (с тремя промежуточными точками), лучше согласуется с истинным значением интеграла, чем результат, полученный по формуле трапеций (с Ревя. тыо промежуточными точками).
381 ИН1Е1'РАЛЫ, ЯАВИсьяп(ИЕ ОТ ПА РАМЕ'1РА Ь 1о) Переходя к пределу при сосу — ~ О, получаем* ): ь )1пь — - — ' - "-' —;. 1 (о) =- [ )' (х, и) йх ((о .(- Гэо) — )( 1) па 10 до " а а нлн ь ь [/ 1(х, о) 1(с[ = [' т' (х 11),(х а а Последняя формула называется формулой Лейбница. 2. Предположим теперь, что в интеграле (1) пределы интегрирования и и Ь являются фрнкциялеы отп и: ь(а) 1(ст) = Ф[о,п(о),Ь(о)] = ~ Дх,о) с(х. а(а) Ф[сь,а(сь), Ь(о)] есть сложная функция от о, причем и и Ь являются промежуточными аргументами. Для того, чтобы найти производную от !(о), применим правило дифференцирования сложной функции от нескольких переменных (см. 8 10 гл. Ъ'1?1) 1(о) = — ( — — +— дФ дФ 1(а дФ с(Ь (й) до да 1(о дЬ ао' На основании теоремы о дифференцировании определенного интеграла по переменному верхнему пределу (см.
8 4) получаем: — = — у( 1(х,о) йх дФ д дЬ дЬ | а да да / дФ д а = 1[Ь(ьт), и], а = — — / 1(х,о) йх = — ([а(ст),о], Наконец, для вы'1исления — применяем формулу Лейбница: дФ д / ~'"( а ь Подынтегральная функция в интеграле ! = ) Епа стремится к нулю при сьа — ь О. Иэ гого, что подынтегрвльная функция в каждой точке стрельится к нулю, не всегда следует, что интеграл также стремится к нулю. Однако в данном случае ( стремится к нулю при сьо — ь О. Этот факт мы принимаем беэ доказательства. 382 ОП! В.'!ЕЭНгн!!ЫО! И и 1Е!' ГП.1 Л! Подставляя в формулу (3) иолу !е!и!ьн выражения нрсэиз!сотни,1х, будем иметь: Иа,' 1,'„(ст) -== / 1",,(с.о) с!х ЯЦс!), сг) '-- =- )(а(о), ~!/ '— " пса! вше«й с Решение.
Заметим прежде всего. что копасрсдствгяно вьн!ис пггг, э!от ипто, я!и а.с грал мы не можем, так как первообразная от функции е '' — — '- не выражается через элементарные функции. Для вычисления даинога интеграла будем рассмагривать сто как функцию от параметра а. Тогда его производная по а найдется па вынеденной ныше формуле Лейбница'1: ! 1(а)= /~е ' '" 1 с!х= /е сова«с!х о о Но последний интеграл легко вычисляется с помощью элемев!арпых функций; 1, 1 оп ранен — — т.
Поэтому Г(с!) = — — у. Интегрируя полученное гождесгьх 1-1-а ! -1-а найдем !(а): 1(а) = агс!ба -. С. Остается определить С. Для етого замечаем,что (з) !(О)=/е чп! «Их= /Ос!«=.0. о о Кроме того, агссб 0 = 0 Подставляя в равенство (5) а =- О, найдем. 1(0) = агс!йОЬ ЬС, о~куда С =- О. Следовательно, чля любого значения а имев г место равенство !(а) = агссЬ а, т.с. е "' — „— —: = агс!йа. , —, в!и а«! о Формула Лейбница выведена в предположении, чго пределы интеграции а и Ь коне шы.
Однако в данном случае формула Лейбница также справедлина, хотя один из пределов интегрирования равен бесконечности. Об условиях, при которых допустимо дифференцирование несобственных интегралов по параметру, см., например, в книге; Г.М. Фнхшенгольц, Курс дифференциального и интегрального ис пюления, Фв!матгиз, !070, т. П, гл, Х!Лг, 1 3.
С помощью фора!Хэ!ы,'1сй!Зница можно вычислить некоторые определенные интегралы. Пример 1. Вьгшслпы иитограп О! ННГЕГРАЛЫ, ЗАВНС'ЯЦ!ИЕ СУТ ПАРАМЕТРА Пример 2. Гал1ма-функция. Рвссл1отрим интеграл, зависящий ог паралн1гра о, хо е"'ах. е Покажем, что зтог несобственный интеграл существуег (сходится) при о > О. Представим его в виде суммы хв е *ах= ( х е *с!к!-/х" е'*г!х.
о е 1 Верный ннгсгрзл правой части сходится, гак как О< Г; †и†... : „ 1 о' Второй интеграл также сходится. Действительно, пусть и — целое число такое, что и > о - 1. Тогда, оченидно, 0< ~хв-~е *г(х< ~ "е *т!х< 1 !!оследний ингеграл вычисляем путем интегрирования по частям с учетом того, чго !пп — = 0 х" (7) *-У-1- е* Г(о) = / х е. 1(х. о (б) Эта функция часто используется в приложениях математики.
Найдем значения Г(о) при целых о. При о = ! имеем Г(1) = / е * с!х = 1. о (0) Пусть целое о > !. Интегрируя по частям: Г(о)=( х е' т!х= — ха" е !е Р(о — 1)/х е *г!х о о или, учитывая (7), (10) Г(о) = (о — 1)Г(п — 1). На основании (10) и (9) находим при о .=-и (П) Г(и) = (и — 1)!. при л1обом целом положительном й. итак интеграл (6) определяет некоторую функцию о. Ке обозначают Г(о) и называют гамма-функцией. ОпРеделенный ин'геГРАД ~Гл. Хт 3 11, Интегрирование комплексной функпии действительного переменного В 2 4 гл. Ч11 была определена комплексная функция у(х) =. = и(х) + ьп(х) действительного переменного х и ее производная у(х) = и'(х) + ьи'(х).
Определение. Функция г'(х) = ст(х) + 3)т(х) называется перво- образной вт комплексной функции дейставительного переменного )(х), если гм(х) = т"(х), т,еч если Г(х) + 3Г(х) = и(х) + тп(х). (2) ь ь ь / 1(х) дх = и(х) + т и(х) дх. (4) а а а Это определение не противоречит, а вполне согласуется с определением определенного интеграла как предела суммы.
Упражнения к главе Х1 1. Составляя интегральную сумму г„и переходя к пределу, вычислить опреь деленные интегралы ) х ах. Указание. Отрезок (а,Ь) разделить на и частей )Ь ЬЗ- 3 точками хь = ад' (т = О, 1, 2,..., и), где д = 11 —. Отав. а 3 Ья Ь 2. ) —, где О < а ( Ь. Опте. !и —. Указание. Деление отрезка (а,Ь) пронзвоа дить также, квк и в предыдущем примере. ь 32 32 3. ) ь/хая. Отде. — (ьзтг — агтг).
Указание. сль предыдущий пример. 3 Из равенства (2) следует, что С'(х) = и(х), Г(х) = и(х), т.е. С(х) есть первообразная для и(х) и )т(х) есть первообразная для п(х). Из определения и этого замечания следует, если г'(х) = С(х) + +3)т(х) есть первообразнвя для функции у(х), то лкьбая перво- образная для 1(х) имеет вид Г(х) + С, где С вЂ” комплексная произвольная постоянная. Выражение г'(х) + С будем называть неопределенным интегралом вт комплексной функции дейстпвительного переменного и писать у(х) дх = ~ и(х) с)х + 3 / и(х) т(х = г'(х) + С.
(3) Оттределенный интеграл от комплексной функции действительного переменного у(х) = и(х) +за(х) определяем так: унглжне!!ия к глана х! Ь 4. )'3!ах йх. Ото, сола — соз/!. Указание. Предварительно усгановить слсдук!щес тождество: 3!на + яп(а Ь 6) ! яп(а !. 26) Ж... + зт(а Ж (п — !)6] == соз(а — 6) — соз(а -1- пЛ) ==. — — —.— — — — —. Пля этого надо умножить и разделить исе члены левой 2яп6 части на яп 6 и замени гь произвел! ние синусов разностью косинугои.
ь 5. )'созхйх. Оп!в. япб — яп а. Пользуясь формулой Ньюгона-Лейбница, вычислить определенные иптегра! лы; 6. ) к~ ах. Ото. —. 7. ( Рх 42. Оспе. е — 1. 8. ) 3(охйх. Огпв. !. 9. о а о о йх о2/2,у /3 — Отв. †. 10. ) = †. Оте. †. 11. ( 18 х йх. Огне. 1и 2. 12. о 1+хз 4 о ъ'Т- хг 4 о ' йх г 2 г )' —. Ото. !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
