Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 65
Текст из файла (страница 65)
В этих случаях вычисление определенных интегралов по ~п иннин<снн~аз вычисление нн»щ глл ~н формуле Ньюгонп г1ейбнпна засруднигельно, и применяются ран . ~п шые анчолы п1»иблссоссенного вьгшс сония опредс.н нных ингс- ~ !ылсщ. Сс'йчас мы из.ю.кнм нссксхп,ко ~ по»обое прнб.шжспного пи птрп!ниюппя. исходя пз нюня~на опрслелс.нного писгграла как н!иьючн»уммы. !. Формула прямоугольников.
Г!усп на отрезке )и, Ь) задана 1н нрерьпзная функция д =- Г(.»), Трсбуегся вы*шс:шть определенный интеграл с 1(х) сйг. а Разделим отрезок )а,Ь) гочкамп и — -- хо, хы хе,...,ха = Ь на п равных частей длины сзх: ь — а с~ха Обозначим далее через ув, уы уе,..., уа .ы у„значения функции Ях) в точках хо х,, хз,х„, т.е. Уо =.Г(хо), У1 =,Г(:»1), ...., Уа =,г(х„). Составим суммы: уо'.ах+ усЛх ! ' + Уа .!ах, ус а х 1- уз<.1х г + уа г< х. Каждая из этих сумм является интегральной суммой для ((х) на отрезке !о, Ь) и поэтому приближенно вьгшгляет интеграл ,1(х) с(» — — (уо + ус + уг ь .1- уа и), а 6 7(х)с)х = 6 а(У1+ ут+ .. + Уа).
Это и есть формулы прял<оугольннкоо. Из рнс. 227 ясно, что сели !(х) — — положительная и возрастающая функция, то формула (1) выражает площадь сгупенчатой фисурьб составленной из <свходягцих» прямоугольников, а формула (1') — - площадь ступенсатой фигуры, состоящей из <свыходящих» прямоутольников. Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле прямоугольников, буде» тем меньше, ~см больше число и (т.е.
чем ь — а меньше шаг деления Сах = — ). Л 11. Формула трапепий. Есгесгвеппо считать, чго мы получим более точное значение определенного интеграла, если данную кривую у = Г(х) заменим не ступенчатой линией, как это было 372 ОпРеделенный НДТГГРАл (го! х! т! Рис 227 Рис. 228 в формуле прямоугольников, а вписанной ломаной (рис. 228). Тогда площадь криволинейной трапеции ПАВУ заменится суммой площадей прямолинейных трапеций, ограниченных сверху хордами ААь, А,А2,...,А„ьВ.
Так как площадь первой из этих трапеций равна У вЂ” 2 ЕА,Ах, площадь второй равна "— — У!сох и т.д., то о+ !+У! ((х)дх - ( — Лх+ — — '-Ьх-Р + ', Ьх), или ! УО -~- У! У! .!- и Уи- ! .!- Уи 2 2 ' 2 а ь Пх) сьх „( 2 + У! + Уо + ' ' '+ У вЂ” !). (2) Это и есть 4орльула трапеций. Отметим, что число, стоящее в правой части формулы (2), есть среднее арифметическое чисел, стоящих в правых частях формул (Ц и (1').
Число и выбирается произвольно. Чем больше будет это число Ь вЂ” а и чем меньше, следовательно, будет шаг !Ах = —, тем с большей точностью сумма, написанная в правой части приближенного равенства (2), будет давать значение интеграла. П!. Формула парабол (формула Симпсона). Разделим отрезок [а, б] на чегпное число равных частей и = 2т. Площадь криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [хо, ть] и [хь,хо] и ограниченной заданной кривой у = 7(х), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через три точки: М(хо, Уо), Мь(хь, У!), Мо(хв, У ), и имеющей ость параллельную оси Оу (рис.
229). Такую криволинейную трапецию будем называть параболической трапецией. Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид у = Ах -ь Вх + С. Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола проходит через три заданные точки. Аналогичные !тиглиженное вычислении ингт!ллои Иг ~ у=)!'х) тт=а тц хт х! хт х! х„=!7 Рис. 229 Рис. 290 параболы строим н для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное значение интеграла. Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции. Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой у = Лхг+ Вх + С, осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2)т, то ее площадь равна Я = з(УО + 4У! + У2), (3) где у„и уг - крайные ординатны, а у! —. ордината кривой в середине отлрезка.
Доказательство. Расположим вспомогательную систему координат так, как показано на рис. 230. коэффициенты в уравнении параболы у = Аха+ Вх+ с определяются из следующих уравнений: если гв —— — Ь, то уо —— АЬ вЂ” ВЬ + С, если х! —— О, то у! — — С, если г = Ь, то уг — — ЛЬ~+ ВЬ+ С Считая коэффициенты А, В, С, извесгными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла: л — /(4 2 Вх+с)дх [Ах + Вх +с 1 6(2 ~ьг+бс) -л Но из равенств (4) следует, что Уо+ 4У! + Уг = 2.46~+ бС.
Следовательно, З (туо + 4У! ! У2) а чго и требовалось доказать. 374 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ !гл х! Вернемся снова к основной нашей задаче (см. рис. 229). ((ользуясь формулой (3), мы можем написать следующие приближенные равенства (Ь = 41х)! У(~) 4!Х 3 ЬО+ У! + Уг), а=хе у(х) сьх — (уг + 4уз + У4), хг =-Ь ф(Х) 44Х 3 (У2п1 — 2 + 4угш- 1 + Угт) ° йх х2 -2 Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его приближенное значение: ь у(х) гьх — (уо+4у1+2у2+4у3+ ' '+2у2гп-2+4угуп — ! -! у2п1), (5) или 2 (Х) С(Х б (УО + У2п! + 2(У2 + У4 + ' ' ' + угт — 2)+ ь — о + 4(у! + Уз+ ' '+ Уг -!)).
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления 2т произвольно, но чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства (5) дает значение интеграла* !. Пример. Вычислить приближенно г !п2 = (' — *. ! Решение. Разделим отрезок [1,2) на 10 равных частей (рис. 231). Полагая 41х = — = О, 1, 10 "! Для того, чтобы знать, сколько точек деления пело взять, чтобы подсчитать интеграл с заданной степенью точности, можно иоспользоеаться формулами оценки погрешности, получающейся при цриближенном вычислении интеграла.
Мы не приводим здесь этих оценок. Читатель может найти их в более подроб- НЫХ КУРСаХ аНаЛИЗа: СМп НаПРИМЕР, ФМХПьснгОЛЬЦ, КУРС ДИффЕРЕНЦИаЛЬНОГО И интегрального исчисления, 1970, т. и, гл. 1Х, 3 б. ФОРМУЛА '!ЕВЫН!ЕВА составим таблицу значений подынтегральной функции: !. По первой формуле прямоугольников (Ц получим: — О 1(Уа+уг 4. +уз) = 0,1 7,1877 = 0,71877. 1 По второй формуле прямоугольников (1') получим: — О, !(У! +уз+ +уга) = О, !.б б8773 = О,бб877 йг ! Непосредственно нз рис.
231 следует, что в данном случае первая формула дает значение интеграла с нзбыгпмом, вторая — с недосгпогпном. и. По формуле трапеций (2) получим; — * ге О, 1( ' -!. б, !8773) = 0,89377. 1 П1. По формуле Симпсона (5) имеем: хг г Рис. 231 — ]уа + уга + 2Ьг + У4 + уз + ув) 4- 4Ь! + Уз 4 уь + ут + уа)] = йт 0,1 1 0,1 3 = †(! + О. 5 -~- 2 2, 72818 + 4 3, 45955) = О, б9315. В действительности !и 2 = 7' — = О,б931472 (с точностью до седьмого знака). йх 1 Таким образом, при разбиении отрезка ]О, 1] на 1О частей по формуле Симпсона мы получили пять верных знаков; по формуле трапеций -- лишь три верных знака; по формуле прямоугольников мы можем ручаться только за первый знак.
3 9. Формула Чебышева В технических вычислениях часто применяется формула приближенного интегрирования Чебышева. опгидвлвнный инт егглл зтб Юч ю р( ) (Х Х2)(Х ХЗ) ° ° (Х Х ) у( )+ (х2 — ххйх2 — хз) .. (22 — х„) (х — х2)(х — хз)...(х — х ) + (Х2 — Х! )(Х2 — Хз]... (Х2 — Х (х — 22)(х — хг)... (х — х 2) (х — Х2)(х„— х2)... (х„— Х„2) Получим следующую приближенную формулу интегрирования; ь ь Дх) дх - Р(х) Их; / а а (2) после некоторых вычислений она примет вид: Их) )х = С У(х ) + СХЛХ2) + " + С У(х.), (3) где коэффициенты С; вычисляются по формулам ь С,= '* *') ' **-'' х") (х *',( (4) / (Х, — Х2)...(Х, — Х, 2)(Х, — Хгю )...(Х, — Х ) а Формула (3) громоздка и неудобна для вычислений, гак как коэффициенты С; выражаются сложными дробями.
Чебышев поставил обратную задачу: задать не абсциссы хы хз,...,х„, а коэффициенты Сы Сз,...,С„и определить абсциссы ХЫ Х2,...,Хх Коэффициенты С, задаются так, чтобы формула (3) была возможно проще для вычислений. Очевидно, что это будет тогда, когда все коэффициенты С; равны между собой: С2 = Сз = . = С„. Если обозначить общее значение коэффициентов С,, Сз,..., С„ через С„, то формула (3) примет вид 72(х) г(х ю С [~(х2) + 22(хз) + ° + Хх(х„)]. ь Пусть снова требуется вычислить [ 7'(х) дх. х Заменим подынтегральную функцию интерполяциониым миогочленом Р(х) Лагранжа (б 9, гл.
27П), взяв на огрезке [а, б] НЕКОтОрЫЕ П ЗНаЧЕНИИ фуНКцИИ: 7 (Х2), 7'(Х2),..., 2 (Хх), Гдс ХЫ хз,...,х, — какие угодно точки отрезка [а,б]: 377 ФОРЫРЛА ЧБВЫШЕВА Формула (5) представляет вообще приблио2сенное равенство, но если 4'(х) есть многочлен степени не выше и — 1, то равенство будет точным. Это обстояте:)ьство и позволяет определить величины 1 и Х1 12 Хп. Чтобы получить формулу, удобную для любого промежутка ингегрировання, преобразуем отрезок интегрирования [а, Ь] в отрезок ) х= — + п1-В В -и г ) тогда при В = — 1 будет х = а, прн 7 = 1 будет х = Ь. Следовательно, ь 1 — 7 ( ° ' '-.1 14( ) 1  — а / ~~аеь В-а') 1 ь — а ! 1 (Х) 44Х = Сп[1 (Х1 ) + 1 (Хг) + ' ' ' + 1 (Хп)) — 1 (б) ПОдабраГЬ ЧИСЛа Сп, Х1, Хг,...,Хп таК, ЧтОбЫ Эта фОрМуЛа бЫЛа точной для всякой функции 7(х) вида 7"(х) =аз +аьх+агх + +а„ьхп"'.
(7) Заметим, чго Дх) 4(х = /(ао Ь а,х+ агх + + ап — 1хп ') 41х = -1 -1 < 2(аз+ — + — + — + . + ~, если п — - число нечетное; П2 а4 аб ап-1 3 5 7 и /' 2(ао+ — '+ . + — "" '1, если п число четное. 3 и — 11' (8) С другой стороны, сумма, стоящая в правой части равенства (б), на основании (7) будет равна Сп[наа + и1(Х1+ Хг+ +Ха) + аз(Х, Ь Хг+ ° + Х„) +... В ап-1(хп ' + хп ' + + хп ')).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
