Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 67
Текст из файла (страница 67)
13. ) —. Оте. !п(х(. 14. ) 3(пхйх. О!ив. 2япз —. 15. ) хтдх. х ! х о 2 хз 4 42 1 ; /2 я Отв.. 16. ) —. Оп!в. — !п (22 — 1(. 17. )' созз х 42. Отв. †. 18. 3,2х — 1 2 о 4 /г ) япз хйх. Оп!в. о Вычислить значения нижеследующих интегралов, применяя указанные подк/2 1 дх х глановки 19. )' япхсоззхйх, созх = !. Оте. —. 20. )— о 3 о 3.1-2созх 2 к 4 хйх . ! 2 ' 4х Отв. —.
21. )', 2.1- 4х = 22. О!пв..—. 22. -,х=с81. ,/5' ', у/г+42' ' ' ' г ' ' ., (1+хт)2' 3 г "1 4/з Огне. — -1- —. 23. )' — — 4х, х — ! =-12. Отв. 2(2 — асс!82). 24. )' 4 2 ! х 3/4 зу/274. ! ' 1 3 / сок!ай!а 4 2 = —. Оп!в. !п —. 25. (' — —.--,—, яп24 = 1. Огпв. 1п —. х 2 о б — 53!пу24-3!пзщ 3 ! ! Доказать, что 26. )" х"'(1 — х)" йх = ( х" (! — х)т йх (гп > О, и > 0). 27. о о Ь ь а ! а )'/'(х) йх = )' /(а Р Ь вЂ” х) йх.
28. )'/'(22) дх = — )' /(хз) 42. а о — а хйх Вычислить следующие несобственные интегралы: 29. 1' . Отв. 1. 30. са дх и ! йх и ) е *йх. Отв. !. 31. ) — Ото, — (а > О). 32. ) - —. Оте. о о аз + хз 2а о /)- х 2 сс йх 1 ! О ЗЗ. )' —. Отв. —. 34. )'1п х дх. Ото. — ! 35. )' хзтх йх. Отв. Интеграл хз 4 о о '"' йх 42 расходится. 36. ) —.
Огне. Интеграл расходится. 37. ) . Ото. и. 'х хз -1- 2х -1- 2 ' дх :! 2 йх дх 38. (' —. Оп!в. —. 39. ) —. Отв. Интеграл расходится. 40. а уз/х 2 о хз х гзг1~ сдгш1ьнцыи шгтбшхл л гИ Ото. —. 41. ) —. Опик Интеграл раг'хсьтитсгг 42, ( е "ип бх ~!х ( г > О). б а Огне.
—;. 43. ) е "'со, Ьтда (а > О). Отв ' а.ье' а аз, !т' зйс Вычислить приблнженныс значения ннтагралав: 44. !и 5 .: / - — по фархггтг г грапецнй и по формуле Симпсапн (и = 12). Ото. 1,6182 (по формула грагге~ггги)! 1Г 1.6098 (по формуле Симпсона). 45, (:з гВ по формуле грхпгциц и ао )гермулг 1 г Симпсона (и =- 10). Ота. 3690: 3660 46. ('хг( .-хуйх по формула трапеций о 3 г(г (и = 6). Опга.
0,8109. 47. ( по формуле Симисопа (и =. 1). Огне. 0,811!. йг — 1 го 48. )'!8!а гг(х по формуле трапеций и по формуле Симпсона (и = !0). Ота. (х 6,0656! 6,0896. 49. Вычислить значенне л нз соотношения — = ( — —.—,, примевяя о а вгпх' формулу Симпсона (и = !0).
Ота 3,14!59. 50. ) г(х по формуле Симпсона о т (и = 10). Отв. 1,371. 51. Исходя нз равенства ) е" *г(х = —. где о > О, а гг' найти при целолг и > 0 вели шну интеграла )' е г" йг. Опте. и! 52. Исходя а г(х гг Й нз равенства ), = —, найти ве.шчпну интеграла ) — — — — —, Ота. о хгфа 2хга' о (т - 1)" "' гг ! 3 . 5... (2ц — 1) 2 '2 и! '1 — е 53. Вычислить иптеграп ) —.г(х. Ота. !п(! Р а) (г > .1).
о хг г г 54. Пользуясь равенством )'х" ге(х = —, вычисли гь интеграл ) х" 1(!и г)кдх. а и' о Ота ( — 1) !г! гг1"' Глава ХП ГЕОМЕТРИ"1ЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЛОхКЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 3 1. Вычисление площадей в прямоугольных координатах Если на отрезке [а, Ь) функция 1'(х) > 0), го, как известно (Ь 2, гл. Х1), площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой у = )'(х), осью Ох и прямыми х = а и х = Ь (рис.
214), равна /' сьь = ~ 1(х) гзх. а Если 1(х) < О на [а, Ь), то определенный инь теграл [ Дх) дх также < О. По абсолютной веа личине он равен площади ь,ь соответствующей криволинейной трапеции: у =-)(г) и 0 а — Ь Рнг, 232 ь -Я = з(' у'(х) дх. а ь.Ь = / [У(х) ~ йг а Пример 1. Вычислить площадь ГЗ фигуры, ограниченной синусоидой у = а1нх и осью Ог, нри О < х < 2н (рис.
233). Если 1(х) конечное число раз меняег знак на отрезке [а, Ь], то интеграл по всему отрезку [а,Ь) разбиваем на сума|у интегралов по частичным отрезкам. Интеграл будет положигелен на тех отрезках, где 1(х) > О, и отрицателен там, где 3 (х) < О. Интеграл по всему отрезку даст соответствующую алгебраическую сумму площадей, лежащих выше и ниже оси Ох (рис. 232). Для того чтобы получить сумму площадей в обычном смысле, нужно найти сумму абсолютных величин интегралов по указанным выше отрезкам или вычислить интеграл ь Й .4 333 ГеОметРические и мехлниче1гкие пяиг)Оженил (Гл хи Решение. Так как 51п х ) О при О < х < к и Мп х < О при к < х:-.
2п, то г г Ыпхс(х = — созх)о = — (соз)г — созе) = — (- 1 — 1) -.= 2, о Михах = — созх)г .= — (соз2л -сояя) = -2. Следовательно, (2 = 2 -1- ) — 2) = 4. Коли нужно вычислить площадь области, ограниченной кривыми у = 51(х), у = Л(х) и ординатами х = а, х = Ь, то при условии Л(х) ),)г(х) будем иметь (рис. 234): 6 6 6 О =) 11 )4 — /У 1*)4*=) )Л)*) — У 1*34 .
12) у=5!Л К Оа - Ь О я 2п Рис. 233 Рис. 234 Рис. 235 Рис. 232 О=)' Л )4 =))гг* 4Г а Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограпичеииой кривыми (рис. 235) унчгхиу=хг. Решение. Находим точки пересечеиия кривых: 5)х = хг, х = хя, откуда х) = О, хг = 1. Следоватепьво, 1 1 1 / Л / гг г~( — г) 2 Ягг~' о 3 о 3 о о о Вычислим теперь площадь криволинейной трапеции в слу- чае, если кривая задана уравнениями в параметрической форме (рис. 23б): х ш ( (3) у ш Ф(3) (3) где а < Ф < )9 и (а(ст) = а, у)()3) = Ь. Пусть уравнения (3) определя- ют некоторую функцию у = Дх) на отрезке (а, д) и, следовательно, площадь криволинейной трапеции может быть вычислена по фор- муле 6 6 П г!ОЩАДЬ КРИВО 1ИНЕЙНОГО ОЕКТОРА 389 1 21 Сделаем замену переменного в этом интеграле: х = 82(1), ггх = г))'(1) )11.
На основании уравнений (3) получим. р = — у(х) = := У)гр(1)) = Ф(1). Следовательно, Это и есть формула для вычисления площади криволинейной трапеции в случае кривой, заданной параметрически. Пример 3. Вычисли~ь площадь о)!части, ограниченной эллипсом, з = а соя!, у = Ь я!о). Решение. Вычислим площадь верхней половины эллипса и удвоим.
Здесь х изменяется от -а до эа, следовательно, 1 изменяется от я до О, б) = 2 /(Ьь)п))( — аз!п ! )12) = - 2аЬ / я1п 14! = 2аЬ / я1п !ой = Л о 2 )2 4 )о = 2лЬ вЂ” — — 41 = 2аЬ(- — — ) = ггаЬ. ( 1 — соь21 (1 щп211 о Пример 4. Вычислить площадь области, ограниченной осью Ох и одной аркой циклоиды х = о(1 — я!и !), у = а(1 — ешь ь Реолеиие.
Изменению 1 от О до 2я соответствует изменение я от О до 2яа. По Формуле (4) имеем: 2 Я = / а(1 — соя 1)а(1 — сов!) от = от / (1 — соь))2 41 = о о 2 г 2 ° = аз Д/ )11 — 2 / соь Г 4! + / созз ! 41~, о о о 2 2) 2) 2 )12 =. 2)г, / соя)от — — О, / соь 1)й = — гй = гг.
1 Е соь 21 2 Окончательно получаем: Ч =. оз(2я + я) = Зяаз. 8 2. 11лоптаць криволит)ейного сектора в полярных координатах Пусть в полярной системе координат имеем кривую, заданную уравнением где Д0) — непрерывная функция при а < 0 < 12.
:1ЧЕ Гкомктеические и мкхаиичсе*кис пьизю кгиия (ГЗ1. Хн Определим площадь сектора 15АВ, озйзани*п пнукз кривой 51=5(0) и радиус-векторами 0 = о и 0 = 15. Разобьем лаш1ую облас-1ь раднуе.-векгораьш о = Оо, 0 = О,, Оп =,'3 на п чаггсй. 01зозпа1нм к1ргз 1а01, заОв, тдОп у1лы меукду проведгниьнш раз11ус-иек1орами (рнс. 237). Обозна1им через р, дзпшу радиус.-вектора, еоо1ветсгвующего какому-нибудь ущ1у О,, зак.по к1нпому мщкду О,, и Оь Рассмогрим круговой сектор с радиусом р, и центральныл1 углом а01. Его площадь будет равна ~~, = —,'р'.~0,. Сумма и и дп ж ' ~~, р-"Ь01 =- '. ~~, [У(В,.)!2~01 1= 1 и=-1 даст площадь «ступенчатого» сектора.
0 ~ е 2ЗУ Рис. 238 Так как зта сумма является интегральной суммой для функции рз = (5(0))2 на отрезке а < О < 55, то ее предел при шах ьа01 — 1 О есть определенный интеграл — р 00. 2 / а Он не зависит от того, какой радиус-вектор 01 мы возьмем внутри угла ьз01. Этот предел естественно считагь искомой площадью фигуры*1. Таким образом, площадь сектора ОЛВ равна 13 2/~ а Ыожио было бы показать, что это определение площади ие противоречит данному ранее; иначе говоря, если вычислять площадь криволинейного сектора с помощью криволивейиых трапеций, то мы получим тот же реэульгаг длина дчг и кшпюй 1 з! мли Ц = —,' /)Х10))2 10. (дг] Пример, Вычислить площадь фигуры, оцганнченной лемннскатой 1рнс, вбей): р — аъбг,ок 20. Реп!ение. Радиус-некгор опишет бласгь .
а~го!наг!ею, равной четнертн нгкомой площади, есзщ 0 меннегск от 0 до кг 4й — Я = — ) р 00 = -а ) соз'2000 =- — -'— . 1 Х з 1 з Х ы гг~й!п20! г аз о о Таким образом, плошадь фигуры. ограннченной лемннскатой, будет равна з 2 3. Длина дуги кривой 1.Длина дуги кривой в прямоугольных координатах. Пусть в прямоугольных координатах на плоскости дана кривая уравнением У = Х'гх). Найдем длину дуги .4В этой кривой, заключенной между вертикальными прямыми х = о и х = 6 (рис 239). В главе Ъ'1 Я 1) было дано определение длины дуги.
Напомним это определение. Возьмем на дуге .4В точки 4,ЛХ1,ЛХ, М„..., В с абсциссами о .. хс, т, хз, ..., хо ..., х„= 6 и проведем хорды АМ1, МгМз, ..., М„.! В, длины которых обозначим соответственно через га01, сует, Ьз„. Тогда получим ломануну — — -г — к аз,' х,, хз х, Ь ЛЛХгМ2...М„гВ, вписанну!о в дугу АВ. Длина ломаной равна и З„=~ а,з! г=! Длиной а дуги .4В называется тот пределг к которому стремится длина вписанной ломаной, когда длина ее наибольшего звена стремится к нулкк )пп Ъ'ХУ0; гп аз а 3, — г О 1мФ 393 длина дуги кгивой пример 1. Определить длину окружности яг + уг —.— тг. Решение. Вычислим сразу длину четвертой части окружности, еежащей в первом квадранте.
Тогда уравнение дуги ЛВ будет: Йу х у.= птг — хг, откуда ит чгтт: тг' С |едовагельно, — я = ( 1 т — — — бх .—. ~ — — — ггх = т агсйп — ~ / 'у тг — тг — /,/„'г =.2 т ~с 2' е о Длина всей окружности я =- 2хт. Найдем теперь длину дуги кривой в том случае, когда уравнение кривой задано в параметрической форме: х = 92(1), у = г)г(1) (о ( Е ( 13), (4) где 92(1) и ганг(я) — - непрерывные функции с непрерывными производными, причем ф(1) на заданном участке не обращается в нуль. В этом случае уравнение (4) определяют некоторую функцию у = у(х), непрерывную и имеюшую непрерывную производную сЬу чт(г) к = 2У(2)' Пусть а = д(о), Ь = 92(1У).
Тогда, сделав в интеграле (2) подстановку х = 92(с), с1х = ~р'(1) сг1, получим а а Замечание 2. Можно доказать, что формула (5) остается в силе для таких кривых, которые пересекаются вертикальными прямыми более чем в одной точке (в частности, для замкнутых кривых), лишь бы во всех точках кривой были непрерывны обе производные у'(1) и г)2'(С). Пример 2. Вычислить длину астроиды: х = асовз г, у = аяш Решение.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
