Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 62
Текст из файла (страница 62)
стремится к одному и тому же пределу г, то этот предел называют определенным интегралом от функции Дх) на отрезке [а,5] и обозначают ь 344 ОПРЕДЕЛЕННЪ|й ИНТЕГРАЛ |гл. я! интегральные суммы стремятся к тому же пределу з, и потому на основании равенства (6) можем написать: ь '-.
~-'"=У ."' (7) а|ах ах, — |О |=1 ь 11!и ~ ~М,Ьх, = / ((х)дх. |пах ах. -10 1=1 Если построить график подынтегральной функции у = 7" (х), то в случае 7(х) > 0 интеграл (7') ь ~(х) бх з„= ~ ~т!Ьхь, (9) !ах! и 3. = Е М;Дх!. (10) 1=1 Для дальнейшего установим некоторые свойства верхних и нижних интегральных сумм. Свойство 1. При увеличении числа отлрезков, на которые мы разбиваем отрезок [а,в] путлем добавления новых тпочек деления, нижняя интпегральная сумма может только возрастать, а верхняя интегральная сумма только убывать. а будет численно равен плоиьади так называемой криволинетьноть тлрапеции, ограниченной указанной кривой, прямыми х = а, х = О и осью Ох (рис. 214).
Позтому если требуется вычислить площадь у (з) криволинейной трапеции ограниченной кривой у = 7(х), прямыми х = а, х = О и осью Ох, то эта площадь Я вычисляется с помощью интеграла; ь У(х) дх. (6) Рес. 214 Докажем следующую важную теорему. Теорема 1. Если функция 7'(х) не||рерывна на отрезке [а,б], то она интегрируется на зтлом отпрезке. Доказательство. Снова разобьем отрезок [а,о] (а < Ь) на от- РЕЗКИ [Хвю Х1]) [Х| э Х2]1 ° ~ [Хь-11Х!]~ ..
1 [Хп-!э Хп]. СОСТЕВИМ НИЖНЮЮ и верхнюю интегральные суммы: 345' О~РЕДЕЛЕННЫй ИНТЕГРАЛ 1 2! Доказательство. Пусть отрезок [а,Ь] разбит на п' отрезков путем добавления новых точек (п' > и). Если какой-то отрезок [хь т,хг] будет разбит на несколько отрезков, например на р„отрезков, то в новой нижней интегральной сумме з„, отрезку [хг „хг] будет соответствовать рг слагаемых, которые мы обозначим через з„'„. В сумме з„етому отрезку соответствует одно слагаемое ть(хь — хь т).
Но для суммы гр„и величины ть(хг — хь .4) справедливо неравенство, аналогичное неравенству (4) З 1. Мы можем написать: зр, > тпг(хь — хь т). Написав соответствующие неравенства дня каждого отрезка и суммируя левые и правые части, получим: и» )~й» (и' > тт).
(11) Свойство 1 доказано. Свойство 2. Нижняя интпегральная сумма (9) и верхняя интегральная сумма (10) при неогоаниченном увеличении числа отпреэков путем добавления новых точек деления стпремятся к некоторым пределам 8 и з. Доказательство. На основании неравенства (б) з 1 можем написать: й„< М(Ь вЂ” а), т.е. з„ограничена при всех и. На основании свойств 1 з„монотонно возрастает при возрастании и. Следовательно, на основании теоремы 7 о пределах (см. з 5 гл.
П) зта переменная величина имеет предел; обозначим его через 8: (12) — » »-тсо Аналогично устанавливается, что з„ограничена снизу и монотонно убывает. Следовательно, з„имеет предел, который мы обазначим через 8: 1пп з„= У. »-т оо Свойство 3. Если функция 1(х) непрерывна на замкнутом отрезке [а,Ь], тпо пределы 8 и з, определенные в свойстве 2 при условии, чтпо тах Ьхг -т О, равны. Этот общий предел обозначим через сн 8 = 8 = 8.
(13) Доказательство. Рассмотрим разность верхней и нижней интегральных сумм: — 8 = (Мт — тт)Ьхт + (Мг — тз)Ьхэ + + (М вЂ” тт)т1хг+ ° ° ° » + (̄— т„)Ьх„= ~» (М; — т;)стхт. (14) 1 340 ОПРЕДЕЛЕННЪ|Я ИНТЕГРАЛ РГЛ. Х! Обозначим через еп наибольшую из разностей (М, — т,) при данном разбиении 1пп вп = 1пп вп = з (17) или в = в = з, ч.тд. Свойство 4. Луста вп, и зп, — нилсняя и верхняя интегральные суммы, соответствуюи4ие разбиениям отрезка [Е,Ь] на п4 и соответственно на пг отрезков.
Тогда имеет местпо неравенство зп, <зп, (18) при любых пг и пэ. Доказательство. Рассмотрим разбиение пг = пг + пэ отрезков, где точками деления ния первого и второго разбиений. На основании неравенства (3) З 1 имеем; зпа < впз На основании свойства 1 имеем: отрезка [а, Ь[ на будут точки деле- (19) вп, <вп,, (20) (21) Пользуясь соотношениями (20) и (21), можно расширить неравенство (19) йп1 < йп, < апа < апа или зп, <У„ ч.т.д.
еп = шах(Мг — т;). Можно доказать (на чем мы останавливаться не будем), что если функция 7'(х) непрерывна на замкнутом отрезке, то при любом способе разбиения отрезка [а, Ь[ еп -а О, если только шах Ьх, 4 0: !пп еп = О. (15) мах Гхх, -ао Свойство непрерывной функции на замкнутом отрезке, выражаемое равенством (15), называется равномерной непрерывностью функции.
Итак, мы будем пользоваться теоремой: непрерывная функция на замкнутом отрезке равномерно непрерывна на этом отрезке. Вернемся к равенству (14). Каждую разность (М; — т,) в правой части заменим неменьшей величиной еп. Получаем неравенство Зп йп ~< Еп4.~Х1 + Еп АХЭ + ' ' ' + Еп~1Хп = = е„(Ьх4 + Ьхг + ' + Ьх„) = еп(Ь вЂ” а). Переходя к пределу при шахЬхг -4 0 (и -4 со), получаем: 1пп (вп-зп) < 1пп еп(Ь-а) =(Ь-а) 1пп еп =О, (16) гпахах; — ао махах,— ао |пах ах; — ав т.е. опРедег!енный иитеГРА!! 347 й Аналогичным способом докажем з < в,*п. Итак, з' <з<з', или з — з* > О, з* — з > О. Рассмотрим предел разности (22) 1пп (з' — з* ). !пах Ьх!-!О Так как функция д(х) непрерывна на замкнугом отрезке [а, Ь], то (так же как и при доказательстве свойства 3) докажем (см.
равенство (1б)), что !пп (з — з* ) = О. !пах Ьх.-аа Перепишем последнее соотношение так: 1пп [(у* — з) -Р (з — з' )~ = О. !пах Ьх.-ао На основании (22) каждая из разностей, стоящих в квадратных скобках, неотрицательна. Следовательно, 1пп (3* — з) = О, 1пп (з — в* ) = О. п!ахах<-!О азах ах,-!О И окончательно получаем: 1пп з* .=з, 1пп з' =з, (23) и!ах Ьх, — аа п!ах Ьх, — !0 ч.т.д. Теперь можно доказать и сформулированную выше теорему. Пусть г'(х) непрерывна на отрезке [а, Ь]. Рассмотрим произвольную последовательность интегральных сумм п з„=- ~~ 1(С!)!ьх! !=! такую, что шах !Ьх! — ! О, ~, — произвольная точка отрезка [х, „хг[.
Свойство 5. Если 15ункция !"(х) непрерывна на отрезке [а, Ь), !по при любой последовагпельности разбиений отрезка [а,б1 на отрезки [х; !,х,[, необязательно путем присоединения новых точек деления, если только шах!лх, Р О, низюняя интегральная сумма в и верхняя интегральная сумма у' стремятся к пределу з, определенному в свойстве 3. Доказательство, Рассмотрим последовательность разбиений последовательности верхних интегральных сумм з„, определенных в свойстве 2. При любых значениях п и т (на основании неравенства (18)) можем написать: з' < з„. Переходя к пределу при п — ! оо, на основании (15) можем нзлисатьл ОПРелеленный интеграл 349 ь Пример 1.
Вы»игр»им интегрюс )'»х с!х (Ь > а). » Решение. Геометрически задача эквивалентна вычислению площади с„! трапеции, ограниченной линиями у .— — Ьх, х = а, у .= 0 (рис. 215). Функция у = »х, стоящая под знаком интеграла, непрерывна. Следовательно, для вычисления определенного р В интеграла мы вправе, как это было замечено выше, произвести разбиение отрезка [а,Ь] произвольным образом и 6 произвольно выбрать промежуточные точки 5». Результат вычисления определенного интеграла не зависит от спосо- А ба построения интегральной суммы - — лишь бы шаг разбиения стремился к нулю. Делим отрезок (а,Ь] на и равных отрезков.
а х,хр Длина Лх каждого частичного отрезка равна Лх Рис. 215 Ь вЂ” а — — -; это число и будет шагом разбиения. Точки деп пения имеют координаты: хо = а, х! = а+ Лх, хз = а+2Лх,...,х„= а+ пЛх. В качестве гочек ф» возьмем левые концы каждого отрезка 5! = а, 52 = а 1-Лх, 52 = а+2Лх,...,б» = о+(сс — !)Лх. нос гавим интегральную сумму (1). Так как р (бс) .= Ьбс, то 3, = »5!Ля+»42ЛХ+ !»4»Лх— = »оЛх» [й(а !. Лх)]Лх+ + (»[а 1- (п — 1)Лх])Лх = = 6(а !. (а+ Лх) 1- (а + 2Лх) + 1- [а + (гс — !)Лх])Лх = = 6(па -1- [Лх + 2Лх+ ° ° 6 (и — 1)Лх])Лх = ы 6(иа+ [1+ 2+ + (п — Ц]Лх)Лх, 6 — а где Лх;= —.
Учитывая, что о п(и — 1) ! -1- 2 „'- - . + (и — 1) =- —— 2 (кэк сумма геометрической прогрессии), получим: п(п -1)6 — а1Ь вЂ” а Г и — 16 — а! з„= !с[па+ — — — ] — = »[а+ — — — ](6 — а). 2 и! и — [ и г Ь вЂ” 1 62 — аз = ГС = »[а + — и — ](6- а) = 6 — » —. и — 1 Так как !нп — - = 1, то 1пп з„ »-»со И» с»с Итак, ь 62 а2 »хс(х = lс — —. 2 !!лощапь АВЬа (рис.
2!5) легко вычислить методами элементарной геометрии. Результат получится тот же. Это естественно и с геометрической точки зрения. В самом деле, основание криволинейной грапеции имеег длину, равную нулю, следовательно, и плосцадь этой криволинейной трапеции равна пурно. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИН'ГЕГРАЛ 350 !Гл. х! Ь Пример 2. Вычислить (хгйх Решение. Данный интеграл равен площади Ьг криволинейной трапеции, ограниченной параболой у = хг, ординатой х = Ь н прямой у = О (рнс. 216). Разобьем отрезок (О,Ь) на и равных частей точками: хо = О, х! = Дх, хг = 2Дх,...,хь л Ь =.
ПДх, Дх = Ь(п. За точки 5! возьмем крайние правые гочки каждого из отрезков. Составим интегральную сумлЬу; З» и ХЬДХ-1-Х2ДХ-1-. +Х»ДХ = 2 2 2 = ((Дх)2Дх.!. (2Дх)2Дх-Ь -Ь (иДх)2Дх) =- (Дх)з(12+ 2г 4 + иг) Рис. 216 Как известно, 12 + 22 + 12 + ... + иг = и(и + )( и ) 6 поэтому Ьз п(п41)(2и+ 1) ЬЗ ( 1) ( 1Ь з 6 !Пп з»=Яму! х йхи —. !3 3 ' Ь Пример 3. Вычислить ) т!Ьх (т = сопя!).
Решение. и тйх = !Пп ~ тДх, = 1!ш т~ Дх; = »» а»; -!о а*;-ло =1 =! = т !Пп ~ Дх, =- т(Ь вЂ” а), »л. =! Здесь 2. есть сумма длин отрезков, на которые разбит отрезок (а,Ь). При Ь=! любом способе разбиения эта сумма равна длине отрезка Ь вЂ” а. Ь Пример 4. Вычислить ! е ь!х. Решение. Снова разделим отрезок (а, Ь) на п равных частей: х, = а -1- Дх,...,хп и а -1-пДх; Дх = —. Ь вЂ” а и хо = а, За точки 6, возьмем левые крайние точки. Составим интегральную сумму: зп — — с'Дх 1- е»та»Дх 4 .. -! е" ЛО" "г'*Дх = = е (1+ а +ега + .Ь г!" 21а»)дх (з( ОСНОЕНЫЕ СВОЙГГТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТГГРАЛА 351 выражение в скобках есть геометрическая прогрессия со знаменателем еь' и первым членом 1, поэтому — е" ' Ок = ей(е"Ь" 1) Ьв ав еа" - 1 еп* — 1 Далее, имеем: ггсгя = 5 - а, !пп — = !. ОК Ь* гВЕЬв -1 (По правилу Лопигвля !пп, — =- !пп —, = 1.) Таким образом, 1 й-чв е — 1,,0 е' 1!гп е .=-Я=в~(е~ "— 1) 1=е -е, т е.
в*г(к = е — е . Замечание 4. Только что рассмотренные примеры показывают, что непосредственное вычисление определенных интегралов как пределов интегральных сумм связано с большими трудностями. Даже в тех случаях, когда подынтегральные функции являются очень простыми ()сх, хг, е*), этот способ требует громоздких подсчетов, Нахождение же определенных интегралов от более сложных функций приводит к еще большим трудностям.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
