Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 64
Текст из файла (страница 64)
Рассмотрим два случая; 1) и — число четное, и = 2пн инткп игонлник по члстям 2 е) го Г2 2п! — ! 2п1,.3 5 3 1 х йп! гкп -2 '6 4 2 2' е "Гг Г2 +! / ып тйт 2т 2 — 2 ! ! 2т 51 угп -! ''7 $3' о и ( 214 6...2т ! 1 Гг 2 !3 5..Д2т -1)/ 2т 1-1 Гг !1 (3) Докажем тенер!ч что 1!т — — ' — = 1, Г2» -гс 12 !.1 Для всех х интервала (О, — ) справедливы нераеенсгва ' 2 21П Х)З!П К)ЗП1 сх, Интегрируя в пределах от О до хГ2, получим. Гг 1)12 )Гъ о!куда Г2 — 1 ) Г2 ) 12 ! 12с ь! Из равенства !2) следует. Гг !2 +! 2ш -1- ! гш Следовательно, 1пп = !1т — - =1 Гг 2 +1 -! Гг Ч.г пс 2т Из неравенства !4) получаем. 1пп ' = !. Г2 ш-сс 12 1-1 Переходя к пределу в формуле (3), получим формулу ГГеллпсп. 2 !(3 5...(2ш — 1)) 2гл 1-11' Эту формулу можно записать в следующелг виде: сг .
'2 2 4 4 6 2гп — 2 2ш 2т 2 -! а!! 3 3 5 5 '''2т- ° 1 2т-1 2т 1-1/' — — р Из этих формул следует формула Ггеллисе, выражающая число я,г2 в виде бесконечного произведения Дейсгвительно, из последних двух равенств путем почленного деления находим: Опгвделенныи интеггал 1гл х! З 7. Несобственные интегралы 1. Интегралы с бесконечными пределами. Пусть функция 1(х) определена и непрерывна при всех значениях х таких, что а ( х ( +ос. Рассмотрим интеграл у а 6 к рис. ззз ь Этот интеграл имеет смысл при любом 6 ) и. При изменении 6 интеграл изменяется, он является непрерывной функцией 6 (см, з' 4).
Рассмотрим вопрос о поведении этого интеграла при 6 ь +ос (рис. 222). Определение. Если существует конечный предел ь 1пп ) (х) 0х, Ь-ь-~-аа / а то этот предел называют несобственным интегралоэь от функции 1(х) на интервале [а, +ос) и обозначают так: .~- ао / 1(х) ььх. а Следовательно, по определению, имеем: 1(х) с1х = 1пп ~Дх) с1х. а а Говорят, что в этом случае несобственный интеграл ( ~(х) дх а ь существует или сходится. Если ( ь'(х) дх при 6 — ь +со не имеет а конечного предела, то говорят, что ( 1(х) с1х не существует или а расходится. Легко выяснить геометрический смысл несобственного интеграь ла в случае, когда Дх) ) 0: если интеграл ( )(х) Ых выражает площадь области, ограниченной кривой у = ~(х), осью абсцисс и ординатами х = а, х = 6, то естественно считать, что несобственный .~-аа интеграл [ ь" (х) Ых выражает площадь неограниченной (бесконеча ной) области, заключенной между линиями у = ь" (х), х = а и осью абсцисс.
НЕООБСГВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ Аналогичным образом определяются несобственные интегралы и пля других бесконечных интервалов: О а Дх)с(х = !пп / Дх)г)х, г оо с 1- оо ~ 1(х)Йх = / 1(х) г(х + / 1(х) Нх. — оо с Последнее равенство следует понимать гак: если каждый из несобственных интегралов, стоящих справа, существует, то существует (сходится), по определению, и интеграл, стоящий слева.
-1- > Пример 1. Вычислить интеграл )' — т (рис. 223 и 224). о 1+к /тхг Рис. 224 Рис. 225 Рис. 223 Решение. 11о определению несобственного интеграла находим: ь / йх ( кх !лп = 1нп агсск х)о — — 1пп агс13 Ь = —. ь-чч-а 2' о о Рассмотренный интеграл выражает площадь бесконечной криволинейной трапеции, заштрихованной на рис.
224, Ььь Пример 2. Установить, при каких значениях а (рис. 225) интеграл х сходится и при каких расходится. Решение, Так как (при а ф 1) ь йх 1 1 — е)ь 1 (51-о х" 1 — а ' 1 — а 1 то йх = 11ш — '(Ь~-* — 1). х" ь 4.~.~1 — а 366 ОНРедклннныи иптдгРлл !!.! Х! Слсдоаатгчьно, относительно рассматрпа,!смога нпгсграл,! можно следа! ь с, н,п- !ашне ныно,ты: егла о ) 1, го ! — „' =..
— — ., тс. ингсгр ь! алн! я; ( вх ) г'* о.-1' сслн о<1, го те инге! рал р ах ншггя. --' = !и х) = ао — интеграл расходится. г!т х ! При о=-г, то 4 Пример 3. Вычис.пмь 1 -!. х Решение. Второй интеграл равен — „(см пример !). Вычислим первый интеграл о а Их /' дт а, л 1пп ' ., =. !нп агс1кх(~ = !пн (ага!КО-. агс!егт) =;;.
1 -1- х! — гс 1 1 -!- хт « — сс Следоаагельна, дх гг я 2 2 Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный интеграл или расходится, и оцепить его значение. Для этого могут быть полезными следугоп1ие теоремы, которые мы приведем без доказательств, а применение их докажем па примерах. Теорема 1. Если длл всех х (х ) о) выполнлетсл неравенство О < ((х) < (о(х) и если ) (о(х) г(х сходится, то ( )(х) дх такэд!е сходится, при о О этом .Рхо .1-со Дх) г(х < х~ !(1(гг) дх. а о Пример 4. Ысследааатгь сходится ли интеграл нх х (1-1- е*) 1 неоов|счи|енные нн | еГРА21ы зег Решение. Наметим, что нри ! ( т ! . ! .2 ' д|м|ае, — |:с =- — — ~ 1 Следовательно, сходится и его значение меньше !.
Теорема 2. Если для всех х (х ) а) выполняется неравенство |- сс О < |р(х) С Г'(х), причем )' ьс(х)с(х расходится, то расходится и а интеграл )' ((х) дх. а Пример В. Исследовать, сходится ли интеграл Замечаем, по л-|-! з ! стра,/„з чст Ио — !Нв 2чгт~| —— -Рос. чгт Ь- 1 Следовательно, расходится и данный интеграл. В последних двух теоремах рассматривались несобственные интегралы от неотрицательных функций. Для случая функции ((х), меняющей знак в бесконечном ингервале, имеет место следующая теорема.
а '.с Теорема 3. Если интеграл ) (((х)! с(х сходится, то сходится а |- сс и интеграл ) )(х) с(х. а В этом случае последний интеграл называется абсолютно сходяигимся. Пример 6. Исса|сдавать сходимосгь интеграла ОпРГдвлГнный интеГРал !ГЛ Х1 Решение Здесь подынтегральная функция - знакопернменная. Замечаем, что ~з!и'1< !! Во 1 йт. =- ! д' =- ! з ! -1„з ! „.з 2кг!, — "2.
1 )япх. Оледонателыю, н1пегрзл ! ! — з — , 'дх сходится. Отсюда следует, что ~ходит- 1 ся и данный интеграл 2. Интеграл от разрывной функции. Пусгь функция Дх) определена н непрерывна при а < х < с, а при х = с функция либо не определена, либо терпит разрыв. В этом случае нельзя с г!!порить об интеграле ) 2 (х) дх как о пределе интегральных сумм, а так как Г'(х) ве непрерывна на отрезке (в, с), н поэтому этот предел может и не существовать. ь Интеграл ) Дх)дх от функции 2(х), разрывноть в точке с, определяется следующим образом: с ь — / ~(х) дх =- 11пт Дх) дх. ь — !с — о ! а а Если предел, стоящий справа, существует, то интеграл назы- вают несобственным сходне!изься интегралом, в противном случае интеграл называют рпсходяпьимгл. Если функция 2(х) имеет разрыв в левом конце отрезка [а,с] (т.е. при х.=- в), то по определению с с / 2(х) дх = 1пп / Г"(х) дх.
ь-!аео ! а ь Если функция !"(х) имеет разрыв в некоторой точке х = хо внутри отрезка (а,с), то полагают с ао с /'Дх) дх = /'Дх) дх+ /'~(х) дх, а а ао если оба несобственных интеграла, стоящих в правой части равен- ства, существуют. Пример т. Вычислить 1 дт о ьз! — х Решение. 1 ь ьпп 1 х = — !пп 2ч! — х~о —— Ь-!1-О З Г! -- х Ь 1-О о — !!ш 2(чг1 ° ь — 1) = 2. ь-гз-о зб9 НЕСОБСГВЕННЬЬЕ ИН'ГЕГРА71Ы 7! Пример б. Вычислить интеграл З -Г Решение.
Так как внутри отршка интегрирования существует точка х = О, где подынтеграпьная функция рагрывна, то интеграл нужно представить как сумму двух слагаемых: Вычислим каждый предшг отдельно: Г! 1пп у! — = — !!ш — ! = — !!гп ( — — —,) = оо. Г71х . 1ьч . /! 11 1 — 7 — О/ х 71-7 — О х 1-ч — О(е! г — ' — 1 1 Следовательно, на участке ( — 1, О) интеграл расходится: / г !ш (1 ) 7-7-1-0 Хг г -!-О Гг Значит, на участке [О, 1] интеграл также расходится.
Таким образом, данный интеграл расходится на всем отрезке (- 1,1). Отметим, что если бы мы стали вычислять данный интеграл, не обращая внимания на разрыв подынтегральной функции в точке х = О, то получили бы неверный результат. Действительно, Рис. 22б что невозможно (рис. 22б). Замечание. Если функция у(х), определенная на отрезке [а,б), имеет внутри этого отрезка конечное число точек разрыва ат, аг,..., а„, то интеграл от функции у(х) на отрезке (а, О) определяется следующим образом: Ь аг аг Ь у(х)ггх= у(х)гьх+ у(х)агх+ . + у(х)ггх, а а О1 в если каждый из несобственных интегралов в правой части равенства сходится. Если же хотя бы один из этих интегралов Ь расходится, то и ! у(х) г!х называгот расходящимся. а Для определения сходимости несобственных интегралов от раз рывных функций и оценки их значений часто могут быть применены теоремы, аналогичные теоремам для оценки интегралов с бесконечными пределами. 370 !!НЕГДЕ!!ЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ нч!, х! Теорема 1'.
Если на отрезке [а,с) функции Дх) и !р(че) разрывны в точке с, причем во всех !почках этого отрезка въа!очнень! неравенства р(х) > 1(!Г) > О. и если [ !р(х) с)х сходится, то [' 7"(х) дх также сходится. а а Теорема П'. Если на отрезки [а,с) функции 1(х) и !о(х) разрывны в точке с, причем во всех точках этого отрезка выполнены неравенства ф(х) >;р(х) > О, и если ) !р(х) с?х расходится, чпо и [ !(х) Нх расходится, а а Теорема 1П'.
Если 7"(х) -- функции чнакопеременноя на отрезке [а,с]„разрывная только в точке с, и несобственный ингнеграл с [ [1(х)~ г)х от абсолютной величины этой функции сходится, то а с сходится гпакже ингпеграл [ 7(х) с)х от салчой функции. а В качестве функций, с которыми удобно сравнивать функции, стоящие под знаком несобственного интеграла, часто берут с 1/(с — х)'. Легко проверить, что [ „г)х сходится при о < 1, а расходится при а > 1. ! Это же относится и к интегралам ) ах. а Пример 9.
Сходится ли интеграл 1 — — — г ах? о ч'*Ч чх Решение. Подынтегральная функция разрывна в левом конце отрезка (О, 1). Сравнивая ее с функцией, имеем: 1 1 ! з ч чгх + 4х ч?х Несс4ственный интеграл ( — существуег. Следовательно, несобственный ах о * ч?г ! интеграл от меньшей функции, т.е ( — -т ах, гоже существует. о чгх 4-4х З 8. Приближенное вычисление определенных интегралов В конце главы Х указывалось, что не для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через элементарные функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
