Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Так как кривая симметрична относительно обеих координатных осей, то вычислим сначала длину ее четвертой части, расположенной в первом квадранте. Находим: у- = -Засов Сяш1, а — — Заягп Ссояс. Параметр 1 будет Лг ' Ф изменяться от 0 до х/2. Следовательно, /2 г'2 4 — я = 2( /9аг сова гяшгг+ 9агяшвгсояггбг = За / х/сояггя!пггкг = о о 12 в1п'1!яуг За = За я1пгсоягсЫ =- За — ! е 394 !Рз!. хп !'еометри'3ескне и мгхяни'!вские при !Оженим Замечание 3.
Если задана нростнрамстпвеинои кривая параметрическими уравнениями х =' то(1), 0 = С!(!) . = 1(1) (6) где о < 4 <,0 (см. з 1 гл. 1Х), то длина ее ду!и опрсделяетсн (так же и для плоской дуги) как предел, к которому стремится длина вписанной ломаной.
ко!да длина наибольшего звена стремится к нул!о. Если фупкш!и,р(Г), у!(4) и т(!) непрерывны и име!от непрерывные производные па отрезке (а,)4), го кривая ил!ест определеннук! длину (т.е. для нее не существует вышеуказанный предел), которая вычисляется по формуле = / Ъ(4))з+(р'(4))з+(Х'(4)РВ (7) О Последний результат мы принимаем без доказательства. Пример 3. Вычислить длину дуги вивтовой линии х =- асов!, у .= аип4, = = ага! при измспсияи ! от О до зг. Решение.
Из данных уравнений находим: йх =- — ав!и!ай !4у = псов!!44, ав =. ага с!!. Подставляя в формулу (7), получим: в ~ тт з = / тУа- Низ ! -!- ат аозт ! !. а!с!в и! = а / т/ ! т га! !4! = Зта тУ ! .1- 1п! о о 2. Длина дуги кривой в полярных координатах. Пусть в полярных координатах задано уравнение кривой р:- 7(в). (8) где р — полярный радиус, 0 — полярный угол.
Напишем формулы перехода от полярных координат к декартовым: х = рсозв, у = рзшв. Если сюда вместо р подставим его выражение (8) через В, то получим уравнения х = 7"(0)соев, у = 7"(О) з4пв. Эти уравнения можно рассматривать как параметрические уравнения кривой и для вычисления длины дуги применить формулу (5). Для этого найдем производные от х и у по парйме.ру в: Я = У'(0) с . В - У(0) 1 В, — „~ = 7'(В) гйп 0 + )'(0) соз В. Тогда Следовательно, . = /,/~з+рЧВ. ао ,'гЛИНЛ гЧУГИ Кянпый Пример 4.
Нзйгн длину карлиеппы О = а(1 ь гоэО) (ряс. 240) Изменяя полярный укол 0 гп 0 ло з, .пол! ~пы подожму и~комой длины. Влегь О' —.. аыпО Сле!овзгельпо, Рзгс. 240 О = 1а сов и 00 .= 8айп.— ! = Оа. Пример 5. Вычис.пггь длину эллинга: т .= о сов г, 0 < С < 2я, й — 6вш 1, предполагая, что о > 6, Решение.
Для вы ~ислепия воспользуемся формулой (5). Вычислим сначала 114 длины дуги, те. длину дуги, соотвегствугощей изменениго параметра от 1 = 0 до ! —.. яг'2: Ог (аг — Ьг) сов 2 ! О! = уга2 — 62 где й = — — < 1. Следовательно, а кгг в = 4о / у!1 — Ьг савв!О!. Остается только иычислить пошгедний инты ршт. Но оп, как известно, не выражается в элементарных функциях (см. 6 14 гл. Х).
Этот нигегргыг можно вычислить только приближенными методами (например, по формуле Симпсона). В частности, если большая полуось эллипса ранна 5, а малая равна 4, то Ь -- Згб,и длина эллипса равна , - 4 ;, / )/! (5)'с.зз!О! в —.. 2/ )(аг(1.-соз0)г 1-авып 0~!О в .= 2а / ус2.6 2 сов 0 00 =. — у'аЬВпг ! 4-62 сове ! Ог = ( о !2 12 — )(аг(1 - со*в !) Г Ьгсозг ГО! = / ((ог , гг )-„2 62 =- е / 1 — — —.— совз Гвй „2 а 22 = а / уг1 — 62 совз С Ог, о 396 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ И МЕХАНИЧЕСКИЕ ПРИЗ!Г!ЖЕНИЯ (ГЛ. ХИ Вычисляя последний интеграл по формуле Симпсона (деля отрезок (О, л/2) на четыре части), получим приближенное значение интеграла: 1з 1Г 11 — — сове !4! Рз 1,298, 3 5 а и, следовательно, длина дуги всего эллипса приближенно равна з гз 25,96 единицы длины.
3 4. Вычисление объема тела по площади параллельных сечений Пусть имеем некоторое тело Т. Предположим, что известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной к оси Ох (рис. 241). Эта площадь будет зависеть ог положения секущей плоскости, т.е. будет функцией от х: х!, х, Рис. 241 Ю=Ю ) Предположим, что бг(х) есть непрерывная функция от х и определим объем данного тела.
Проведем плоскости х = хо = а, х = х1, Х вЂ” Хз ... ! Х = Хп — б Эти плоскости разобьют тело на слои. В каждом частичном промежутке хь ! < х ( хг выберем произвольную точку б! и для каждого значения з = 1,2,...,п построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Ох, а направляющая представляет собой контур сечения тела Т плоскостью х = б!. Объем такого элементарного цилиндра с площадью основания !"1(б!) (хг 1 ( б! < хс) и высотой Ьх! равен О®)Ьх!. Объем всех цилиндров будет: н„= ~~ Д(б!)Ьх!. Предел этой суммы при гвахх, — э О (если он существует) называется объемом данного тела и = 1пп ~ ~О(б!)А х,.
так бе,-го Рис. 242 Так как и„ представляег собой, очевидно, интегральную сумму для непрерывной функции 1ьз(х) на отрезке 397 ОНЬЕЬ1 ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ а ( х ( д, то указанный предел существует и выражается определенным интегралом ь и = [ ье(х)г(х. а Пример. Вычислить объем грехосного эллипсоида (рис. 242) 2 уг 2 — — + — = 1. , 2 Ьг с2 Решение. В сечении эллипсоида плоскостью, параллельной плоскости Оух и отстоящей на расстоянии х от нее, получится эллипс р2 22 г р2 хг " ЬГ%' ~Ф:-"~' с полуосями Ь1=Ь ! — * —, ег ' с1 = с '1 — —.
х а но площадь такого эллипса равняется яьгсг (см. пример 3 д г). поэтому О(-) =.ь.(ь - ив ,'). Обьем эллипгоида будет равен е = ггЬс / (1 — — ) ггх = яЬс(т — — ) ( — — яаьс. а зе2 3 — а 4 „2 3 3 5. Объем тела вращения Рассмотрим тело, образованное вращением вокруг оси Ох криволинейной трапеции аАВд, ограниченной кривой у = у(х), осью Ох и прямыми х=а, х=д. В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной к оси абсцисс, есть круг, площадь которого (,2 = я.у = я[Дх)]~.
Применяя общую формулу для вычисления объема [(() 3 4], получим формулу для вычисления объема тлела вращения: ь ь ) 2' в = ) 111 М'г*. В частности, если а =- Ь = с, эллипсоид превращается в щар, и в этом случае мы получаем: знн ГеометгнчГские и ыехани'>еские иеиложвни>! !!о! К>! Рис.
243 Рис. 244 Пример. Найти объем тела, образуемого нра>цением цепной линии д = о(е" >' Ь е 2 вокруг оси Ох иа участке от х —... б цо х = Ь (рис. 243). Рец>ение Ь Ь о = х — / (е™; е '~ ) йх =. — "' ~ (ет*>' -~-2 ге '>и)>гх:= о о т ' ° ь а т З 6. Плопгадь поверхности тела враптения Пусть нам дана поверхность, образованная вращением кривой й = Дх) вокруг оси Ох. Определим площадь этой поверхности на участке а < х < >>.
Функцию у(х) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [а, Ь). Как и в 2 3, проведем хорды .4М>, М>М2, ..., М„,В, длины которых обозначим через сьн>, >лез, ..., Ьаз„(рис. 244). Каждая хорда длины Ьз! (! = 1,2,...,и) при вращении опишет усеченный конус, площадь поверхности которого ЬР, равна и; = 2, "'-'""'Ьз, 2 Но Применяя формулу Лагранжа, па>учим: ад у(х ) — >'(х - ) : — ~(6), где хг, <~! <х;; следовательно, а,, = >4 > ! 4>!.! а „ ЬР,=> гс-',"',>>:,.! >С>а,, 3 еа и попы дь а клл вел апкв и и зээ П.пппадь повсркааааа'таа. опиа нпиой ломаной. булат равна Рп:а 2г '~ — — --,/1+,('-( )Лх,.
и;ш сумме Ри ах аг~ (Г(аг, а) -1- ~(ага)],а 1.и у'г(~,)аазхь (1) распросзранеппой па все звенья ломаной. Предел этой суммы, когда цаиболыцее звено ломаной гзв, стремится к пулю, называется площадьго рассматриваемой поверхносгпи оращения. Сумма (1) пе является иитегральиой суламой для фуикпии 2к1(х) згг1 + ~а(га)г, (2) гак как в слагаемом, соответсгвушгдем отрезку [хз ы т;]а фигурирует несколько точек этого отрезка х... х„С;. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т.е.
Р =- 1ПП аЯ (((Х, ,) + ДХ,)]тау1 + уаг(С,)азХ; = а —..! и — Е йа(соФ 7аюее шахах, -ас а=1 пли Р =- 2в. / ~(х)а у1+ у'аг(з) гх. Пример. Определить плошадь повермности параболоида, образованного вращением вокрут оси Ох цуги параболы рг =- 2рх, соответствующей изменению х от х =- В до х = о Решение. и = ъгзрр~ р'=-. —: згг+ рчзг = )(!+ —" = ~/— 2мгх' )/ 4х 1а 2х По формуле (3) получвм: Р = 2в / чазрх(( — —,,— — дх = уиагр ( чг2х й рази = — (2х -~- р , 2 а12(2 а „)зги 1~' а""Д(. „ч р)зуг зГг) аоо Геометяические и ьгехлни !вские пРилОженыя !ГЛ Х1! з Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
