Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Вычисление работы с помощью определенного интеграла Пусть под действием некоторой силы Г материальная точка М движется по прямой Ов, причем направление силы совпадает с направлением движения. Требуется найти работу, произведенную силой Г при перемещении точки М из положения в = а в положение в = Ь. 1) Если сила Г постоянна, то работа .4 выражается произведением силы Г на длину пути, т.е.
А = Г(Ь вЂ” а). 2) Предположим, что сила Г непрерывно меняется в зависимости от положения материальной гочки, т.е. представляет собой функцию Г(в), непрерывную на отрезке а < в < Ь. Разобьем отрезок [а, Ь] на и произвольных частей с длинами !аз„г1ез,..., А!в„, затем в каждом частичном отрезке [я! 1, в,] выберем произвольную точку б, и заменим работу силы Г(в) на пути г.'ьв! (г = 1,2,...,и) произведением Гф)сьз,. Это значит, что в пределах каждого частичного отрезка мы принимаем силу Г за постоянную, а именно полагаем Г = Г(б!). В таком случае выражение Г(С,)сьз! при достаточно малом сиз! дает нам приближенное значение работы силы Г на пути сьзб а сумма п А„= ~ Гф)йгвь будет приближенным выражением работы силы Г на всем отрезке [а, Ь].
Очевидно, А„представляет собой интегральную сумму, составленную для функции Г = Г(в) на отрезке [а,Ь]. Предел этой суммы при и!ах(сьз,) -+ 0 существует и выражает работу силы Г(в) на пути от точки в = а до точки в = Ь: ь .4 = г[ Г(в)сЬ. а Пример 1. Сжатие Я винтовой пружины оропорпионально приложенной силе Р.
Вычислить работу силы Р при сжатии пружины на 5 см, если для сжатия ее на 1 см нужна сила в 1 иг (рис, 2!5). Решение. Сила Р и перемещение б связаны по условию зависимостью Р = !гб, где и — посгояняая. 40! КООРДИНАТЫ ИННГРА ГЯЖЕОТИ Вудем выражать Ь' в метрах, Г' — в килограммах. При Ь' = 0,01 Р = 1, хе. ! = й 0,01, откупа х = !00, Г = 1005. На основании формулы (1) имеем: 0,01 А = / 1005225 = !005 ),' =- О, !25 кгм. о Пример 2. Сила и, с которой злекгрический заряд е! отталкивает заряд ег (того же знака), находящийся от него на расстоянии т, выражается фор- мулой Рис.
245 „, ЕТЕ2 тг где )г — постоянная. Определить работу силы Р при перемещении заряда ег из точки АТ, отстоящей от е! на расстоянии тг, в точку Аг, отстояптую от ег на расстоянии тг, полагая, что заряд ег помещен в точке Ао, принятой ча начало отсчета. Решение.
По формуле (1) имеем: г А = г! Ь вЂ”,йт = -хе!ег — ! = Йе!ег! — — — !. е!ег тг т(„, !т! тг) при тг = оо получим: А = т — 'т(г = —. тт гт!'.1ег йе! ег При ег = 1 А = к — !. Последняя величина называется потенциалом поля, создаЕ1 т ' ваемого зарядом ег. З 8. Координаты центра тяжести Пусть на плоскости Оху дана система материальных точек Р!(хг,у!),Рг(хг,уг)!.. Рп(хп уп) г,' х;тп, Х1ТП1 1- Х21112 1- ' + Х ТПп =! хс— тпг -~- тпг + 4- тпп П1 , 'у та; =1 У!ТПТ -)- У2ТП2 -1- -1- Уптпп тпг -1- тп2 .!.. -1- тп (2) с массами тг,тг,...,т„.
Произведения х;т, и у;т! называются стптпическими момен- тамп массы т; относительно осей Оу и Ох. Обозначим через х, и у, координаты центра тяжести данной системы. Тогда, как известно из курса механики, координаты центра тяжести описанной материальной системы определяются формулами: йнг геене г!'ическив и механи'!ес кие пгилож!.нин )!л хн ь 1 х!15 яс ь ) <Ь ь ) г'(х) Ыа ус = ь ) ая ь (х,(Г~ Рг(х)'дт (н!тР (х)!гх (2') ь )' ъь! Ь )гЧх)йт. Пример 1. Найти координаты центра тяжести полуокружностн х! Ь ут = ат, расположенной яад осью Ох.
Решение. Определим ординату центра тяжести: у= ъ'а = ъ его т — ха <гя = ~)! ~- ~ — ) !гх, пь = — — ьгт, угаз хтт ъгат — х- -тггх о ) !гх ъГат:х го! . 'ла :гп х' х, = О (так как полуокружность симл!етрична относительно осн Оу) Линейной плотностью называется лласса единицы длины данной линии. ~гьы предполагаем, что линейная плотность на всех участках крнной одинакова. Мы используем эти формулы при отыскании пенгрон гяжес!н разли шых фигур и тел. 1. Центр тяжести плоской линии. Пусть гьапн кригин! г(В уравнением у = г (х), а < х < ь, и пусть эта кривая предстявляс г собой материальную лип!по.
Предполож!ил!, что линейная плотность") такой материальной кривой равна .у. Разобьем линию па п частей длины г.'ъзы га.чз, ганн. Массы этих частей бУЛУт Раапатьга ПРоизведеенпо пх длин на (постоянную) плотность: гьгп! = Угазь На каждой' части дуги гая, возьмем произвольну!о точку с абсциссой с,. Представляя тепеРь каждУьо часть дУти саз, матеРиальной точкой Р;(ъс„г(б,)) с массой гг'.ья! и подставляя в формулы (1) и (2) вместо х, значение вместо у, значение )(~,), а вместо т! значение ПЛя! (массы частей гая,), получим приближенные формулы для определения центра тяжести дуги: г с,тгъь, г у(хл,),гуж Если функция у = Г(х) непрерывна н имеет непрерывную производную, то стоящие в числителе и знаменателе каждой дроби суммы при шах!аз! — ! О имекът пределы, равные пределам соответствующих интегральных сумм.
Таким образом, координаты центра тяжести дуги выражаьотся определенными интегралами: 4ОЗ 1 в) коогдииЛты центгк Гяжвсги 2. Центр тяжести плоской фигуры. 11усть данная фигура, ограниченная ьчиниял|и у =,)ь(х), р = )2(х)| х = а, х = Ь, представляет собой материальную плоскую фигуру. Поверхностную плотность, г.е. массу единицы площади поверхности, мы будем считать постоянной и равной б для всех частей фигуры. Разобьем даннукь фигуру прямыми х = а, х = х|, ..., х = х„= Ь па полоски ширины»вхь, Ьхт| гхх„.
Масса каждой полоски будет равна произведению ее площади на плотнсвгь 6. Если каждую полоску заменить прямоугольником (рис. 246) с основанием ах, н высотой 12((,) -- )ьф), где (ь = ' ' ', то масса полоски будет приближенно равна ь(пь»: 6(»гз(бь) )ь(в»ь)]гьхь (|»х 1| 2 ... | и). Приближенно центр тяжести этой полоски будет находиться в центре соогвегствующего прямоугольника: Л(1)+Л(6) (х;)» = бь, (у;)» Заменяя теперь каждукь полоску материальной точкой, масса которой равна массе соответствующей полоски и сосредоточена в центре тяжести этой пол|юки, найдем приближенное значение координат центра тяжести всей фигуры (по формулам (1) и (2)): Е бб(Л(6) — Л(бь))бьх 2. б(Л(1,) — Л(б))бьх, ' 2 2,(У2(б) -Ь Л (б ))б(У2(С ) — Л Ыь))'вх б(Л(б) — 1|Я,))Г|хь Рис.
247 Рис. 246 — > О, получим; Переходя к пределу при г'.гхь ) х(Л(х) - 1|(х))бх » )'(Л(х) - 1|(х))йх ь в — 1'[Д(х) — 1 (х)]ььх У» = в ДЛ( ) — Л(*))бх с 404 1'БСЬ!КТРИЧЕСКИБ И МЕХАНИЧГСКИБ ПРИЛО>КРНИЯ (Г'1. ХИ Эти формулы справедливы для любой однородной (т.е. имеющей постоянную плотность во всех точках) плоской фигуры. Как мы видим, координаты центра тяжести не зависят от плотности Ь фигуры (в процессе вы !исления Ь сократилось). Пример 2. Определить координаты центра тяжести сегмента параболы рт = ах., отгекагмош прямой х = а 1рис. 247). Решение.
В данном случае Ут(х) = Ргехх, 12(х) =- —.,Гах, поэтому 2) хт/ахх!/х 2 /а~ха/г!' па а 5 !а 5 3 х,= 5 2)' ахд 2 Го ха/г'" от з !о з у, = О (так как сегмент симметричен относительно оси Ох). '5 9. Вычисление момента инерции линии, круга и цилиндра с помощью определенного интеграла Пусть на плоскости хОу дана система материальных точек Р! (х1,7/1), Рт(хм ух), ..., Рп(хп, у„), с массами т1, т2, ..., т„. Тогда, как известно из механики, момент инерции системы материальных точек относительно точки О определяется так: и и уо = ~~~ (хт+у,')т„или 1О = ~~~ г,'т„ (1) ь=! !=1 где г, = )//хг + !/~.
Как и в 5 8, пусть кривая АВ дана уравнением у = /'(х), а ( х < Ь, где 7(х) — непрерывная функция. Пусть эта кривая представляет собой материальную линию. Пусть линейная плотность линии равна 7. Снова разобьем линию на и частей длины а „А„, ..., а.„, ° ь., = Ра,,'+Ьр",, ° Лгп! = .~/АЕ„Лтт = у/хэт, ..., хат = уЛЕ„. На каждой части дуги возьмем произвольную точку с абсциссой с!. Ордината этой точки будет !)! = /'(с!).
Приближенно момент инерции дуги относительно точки О в соответствии с формулой (1) будет: 1О ~ ~((2+7/2)7лн, ((2)) 1=1 Если функция у = 1(х) и ее производная /'!(х) непрерывны, то при /1Б! — ! О сумма (2) имеет предел. Этот предел, выражающийся определенным интегралом, и определяет момент инерции материальной линии: 1О = 7 / [хх + ~ (х))т//1 + ~'-'(х) с)х. а 105 ВЪ|ЧИСЛЕНИВ МОХ!ЕНТА ИНЕРПИИ 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
