Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 71
Текст из файла (страница 71)
ной оси Ох и проходящей через вершину. Найти поверхность тела вращения. О е. 32наг/3. упРАгкньния к ГЯАВе хн 409 56. Астронда т = ажпг 1, у = асозз! вращается около оси От Найти поверхность гела врагцения, гггпв. !2ггаг/5. 57. Поверхнасть синусоиды у = щах от х = О до х = 2х вращается около оси ОхЗ!айти поверхность тела врал!виня. Отав.
4хгуг2 -Р 1псуг2 4- ! )). хг у2 58. Эллипс — г. — = 1)а, Ь) вращается вокруг осн От. Найти повсохность в2 ' 52 агсюп е у'а~ — У гела вращения. Оп!в. 2ггЬ2 Р Зхаэ — —, где г = — —. г а Ьазпн щые приложения определенного интеграла г „г 59. Найг и центр тяжести площади четверти эллипса — Ь вЂ” =- 1!х ) О, у ) О). а Отв. 4а/Зв; 4Ь/Зв. 60. Найти центр тяжести плогцадн фигуры. ограниченной параболой хг-1-4у— — !б = 0 и осью Ох. Отв.
!О!8/5). 61. Найти центр тяжести объема полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии Зй/8 от основания. 62. Найти центр тяжести поверхности полушара. Отв. На оси симметрии, на расстоянии й/2 от основания. 63. Найти центр тяжести поверхности кругового прямого конуса, радиус основания которого й, а высота Ьь Огпв. На оси симметрии, на расстоянии Ь/3 от основания. 64. Фигура ограничека линиями у = шп х!О ( х ( к), у = О. Найти центр тяжести площади этой фигуры.
Отв. 1в/2, гг/8). 65. Найти центр тяжести площади фигуры, ограниченной параболами уэ = = 20т, хг =- 20х, хг = 20у. Отв. !919). 66. Найти центр тяжести площади кругового сектора с центральным углом 2 вгп а 2о и радиусом й. Отв. На оси симметрии, на расстоянии — й от вершины 3 а сектора. 67. Найти величину давления воды на прямоугольник, вертикально погруженный в воду, если известно, что основание его равно 8 м, высота !2 м, верхнее основание параллельно свободной поверхности воды и находится на глубине 5 м. Ошв.
1056 т. 68. Верхний край шлюза, имеющего форму квадрата со стороной, равной 8 м, лежит на поверхности воды. Определить величину давления на каждую из частей шлюза, образуемую давлением квадрата одной из его диагоналей. Оп!в. 85 333,33 кг, 170 655,57 кг. 69. Вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из полусферического сосуда, диаметр которого равен 20 м.
Отв. 2, 5 !Овя кгм. 70. Тело движется прямолинейно по закону х-1-с!з, где х -- длина пути, проходилгого за время 1, с = сова!. Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности равен Ь. Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении тела от точки х = 0 до точки х = а. О е Ь,/;тат 27 з 7 71. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость плотностью 7 из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной книзу конуса, высота которого Н, а радиус основания й. Огпв..г гйгН2/! 2. 72.
Деревянный поплавок цилиндрической формы, площадь основания которого й = 4000 слгг, а высота Н = 50 см, плавает на поверхности воды. Какую 110 !гкх~ыкгш! пп кик и мххяничнг кик ппиложкппя ,(гл х|! работу нужно затратить, чгобы выгащнгь воплавок на поверхность! (Удельный вгг дерева 0.3). Огпв. Ч Н Я/2 =- 32 к~ьг 73. Вычигли гь силу, с которой вова давит на плогину, имех1щую форму равнобочной грапеции, верхи~в основание когорой о = бл! м, ниже Ь == 3, 2 м, а выгота Н=-3. О .
22.2 74. Найти огевучо счставляюв!у~ Р кг ночного давления нара иа сферическое лно когда. Диаметр цилиндрнчвгкой чагти котла О мм, давление пара в котле р кгД мз Отв. Р = прПз)Ю0 7Б. Конец вертикального вала радиуса г поддерживается плогкни подпягником. Вес вала Р распределяется равномерно на всю поверхность опоры. Вычисли гь полную работу сил трения при одном обороге вача. Коэффициент трения р. Отв. 3хдРг)3. 76. Вертикальный вал оканчнваегся пягой, имеющей форму усеченного конуса.
Удельнов давление пяты на подпятник постоянно равно Р. Верхний диаметр пяты О, нижний г(, уггхч при вершине конуса 2а. Коэффициент трения р. Найти зР работу сил трения зв один оборот вала. Отв. (Оз — пз). бвща 77. Призматический стержень длины ! растягивается медленно возрастающей от 0 до Р силой так, что в каждый момент растягивающая сила уравновешивается силами упругости стержня. Вычислить работу А, затраченную силой на растяжение, предполагая, что растяжение происходит в пределах упругосги.
Площадь поперечного сечения стержня равна Г, модуль упругости материача равен Е. Указание. Если х —. удлинение стержня, а / — соответствующая сила, ЕГ Р! го ( =. — г. Удлинение под действием сшгы Р равно г3! = —. Ошв. ЕР Рг3! Рт! 2 2ЕР 78. Призмати шский брус подвешен вертикально, и к нижнему его концу приложена растягивак~щая сила Р. Вычислить удлинение бруса под действием силы его веса и силы Р, если дано, что длина бруса н нерастянутом состоянии равна (, площадь поперечного сечения Р, вес бруса (2 и модуль упругости материала Е.
(О 3-2Р)! 2ЕР 79. Определить время, в течении которого жидкость выльется из призматического сосуда, на~голненного до высоты Н. Площадь поперечного сечения сосуда Р, площадь отверстия Д скорость истечения определяется по формуле в = дтг2дя, где р - коэффициент вязкости, д — - ускорение силы тяжести, 6 —— 2РН Е Ггв расстояние от отверстия до уровня жидкости.
Огпв. Т = Итг23Н Й ')! й 80. Определить расход О воды (количество воды, вытекающей в единицу времени) через водослив прямоугольного сечения. Высота водослива )Н ширина 6. 2 Ошв. !) = — дбйт/236. 3 81. Определить расход воды О, вытекающей из бокового прямоугольного отверстия высотой а и шириной 6, если высота свободной поверхности воды над нижней стороной отверстия ранна Н. Оп1в. О = йбдчг23 (Нз!з — (Н вЂ” о)зУз), 3 ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ Аргумевт 19 комплексного числа 194 — промежуточный 74 Асимптота 159 — вертикальная 159 наклонная 159, 160 Астроида 92, 166, 393 Бинормаль 290 Вектор перемещения гочки 288 Величина абсолютная 15 — бесконечно большая 32 — малая 38, 56 — - монотонная 18 — переменная 16 — возрастакпцая 18 — монотонно изменяющаяся 18 — — ограниченная 19 — убывающая 18 — — упорядоченная 18 -- постоянная 16 Величины бесконечно малые одного порядка 56 — †- — эквивалентные 57 Возведение в степень комплексного числа 198 Выпуклость кривой 153 Выражение аналитическое 21 подынтегральное 300 Вычисление значений функций приближенное 97 — определенных интегралов приближенное 371 Вычитание комплексных чисел 195 Гамма-функция 383 Геликоид 275 Градиент 247 1'раница области 218 График гиперболического косинуса 94 котангенса 95 †.
— синуса 94 — — тангенса 94 — — функции 21 Деление комплексных чисел 196 Дифференциал 96 — второго порядка 101 — дуги 174 "- и-го порядка 101 полный 228, 229 сложной функции 99 — — полный 236 Дифференциалы независимых переменных 229 Дифференцирование 62 гиперболических функций 96 . — интеграла по параметру 380 — логарифмической функции 73 - — неявно заданных функций 77 — — обратных тригонометрических функций 84 — показательной функции 79 Дифференцирование функций, заданных параметрически 92, 104 — --, общие правила 69-72 Дифференцируемость функций 65 Длина дуги 173, 391 — — в прямоугольных координатах 392 — кривой, заданной в полярных координатах 394 — — — — параметрически .93 пространственной кривой 282, 394 — касательной 108 . нормали 108 Иг пгвдыгтный! уклзлтю!ь Дробь простейшая 31! рациональная 314 неправильная 314 — правильная 314 — простейшая 314 Едикица мнимая !93 Зависимость функциональная 19 Задание кривой параметрическое 89 — линии с помощью поверхностей 274 Задача интерполирования функций 210 Замена переменного в неопределенном интеграле 282 — — — определенном интеграле 360 Знак двойной подстановки 358 — интеграла 300 Значение критическое !42, !65 — функции на отрезке наибольшее 149 — — наименьшее 149 — — несколько переменных наибольшее 224 — — наименьшее 224 — одного переменного наибольшее 55 — — — — наименьшее 55 — экстремальное 139 Извлечение корня из комплексного числа 198 Инвариантность формы дифференциала 99 — - — полного дифференциала 237 Интеграл, зависящий от параметра 380 — неопределенный 300 — — от комплексной функция 384 -- — — суммы функций 303 — несобственный 364 — определенный 343 — — от комплексной функции 384 — от разрывной функции 368 — с бесконечными пределами 364 — эллиптический 334 Интегрирование иррациональных функций 323, 332 — методом замены переменного 305 — неравенства почленное 352 -- по частям 310 Иятегрирование по частям в случае определенного интеграла 361 приближенное 370, 371, 374.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
