Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления. В 2-х т. Том 1 (1996) (1095449), страница 70
Текст из файла (страница 70)
Момент инерции тонкого однородного стержня длины 1 относительно его конца. Совместим стержень с отрезком оси Ох: О ! х < 1 (рис. 248). В этом случае Лз, = Гхх„схт! = Чих!, тг = хг и формула (3) принимает вид Г г Го„= .у:с сГх = .у —. з' о Если дана масса стержня М, то у =- М/1 и формула (4) принимает вид 11х 1 х Го. — ЗМ1 2. Момент инерции окружности радиуса т относительно центра.
Так как все точки окружности находятся на расстоянии т от центра, а его масса пг = 2я! "у, го момен;. будет: Рис. 248 инерции окружности 1о = тптг = 721!т тг = у2ят~. (6) Момент инерции всего круга как сисгемы колец будет выражаться приближенной формулой И 1о м ~ б2ят,'. А т,, г=1 (7) Переходя к пределу при шах 11т, — 1 О, получим момент инерции площади круга относительно центра 1О = б2я ( т тут = губ —. 1' 2' о (8) аб 3. Момент инерции однородного круга радиуса й относительно центра. Пусть х б .— масса единицы площади круга. Разобьем 1сруг на п колец.
Рассмотрим одно кольцо (рис.249) Пусть его внутренний радиус ту, внешний т; + гзт,. Масса этого кольца Ьпг, с гочно- Рис. 249 стью до бесконечно малых высшего порядка относительно Ьту будет ЬН11 = б2т!Р,Гат,. Момент инерции этой массы относительно центра в соответствии с формулой (6) приближенно будет: (А.1о)! - б2ят!ГУт! . т; = б2хтз .
Гать 406 ГЬОМБТРИЧГСКИЕ И МЕХАНИЧБСКИБ ПРИЛОЖЕНИЯ Р'Л. Х3! Если дана масса круга М, то поверхностная плотность б определяется так: б = —. м хЛз Подставляя это значение, окончательно получаем: (В) 1О = Мгс /2. 4. Очевидно, что если имеем круглый цилиндр, рж1иус основания которого Л и масса М, то его момент инерции относительно оси выражается формулой (г)). Упражнения к главе ХП Вычисление площадей 1. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями уз — — 9х, у = Зх. Отв. 2.
Найти площадь фигуры, ограниченной равнобочной гиперболой ху = аз, осью Ох и прямыми х = а, х = 2а. Огпв. ат!и 2. 3. Найти площадь фигуры, заключенной между кривой у =. 4 — х н осью Ох. Отв. 321'3. 4. Найти площадь фигуры, ограниченной астроидой хзга + рзГз = атГз. Оте. 3 — ка . 8 5. Найти площадь фигуры, ограниченной денной ливией у = а ой †. осью Ох, а осью Оу и прямой х = а. Отв.
аз зь е. 6. Найти плон!адь фигуры, ограниченной кривой р = хз, прямой у = 8 и осью Оу. Отв. 12. 7. Найти площадь области, огракиченной одной полуволной синусоиды и осью абсцисс. Оте. 2. 8. Найти площадь области, заключенной между параболами рз = 2рх, ' =2ру. О . 4рз!3. 9. Найти всю площадь фигуры, ограниченной линиями у = ха, р = 2х, у = х. 3 Ото.
2 10. Найти площадь области, ограниченной одной аркой циклоиды х = а(! — мп1), р = а(! — созе) и осью абсцисс. Оспе. Ззаз. 11. Найти площадь фигуры, ограниченной астрондой х = асана Г, у = а мпа 1. Отв. Зхат/8. 12. Найти площадь всей области, ограняченной лемнискагой рз = аз соз 2ЧХ Оте.
аз. 13. Вычислить площадь области, ограниченной одной петлей кривой р = аяп2М. Отв. хаз/8. 14. Вычислить полную площадь области, ограниченной кардиоидой р = а(! — соз 1о). Отв. Зтаз,'2. 15. Найти площадь области, ограниченной кривой р = асозрс Оте. заз/4. 16. Найти площадь области, ограниченной кривой р = а сов 2р. Отв, хаз/4. 17. Найти площадь области, ограниченной кривой р = соззсг.
Оте. к!4. 18. Найти площадь области, ограниченной кривой р = а сов 4х. Оте. таз)4. унпяж>!ения к главе х>1 107 Вычисление обьелюв 22 у2 19. '>ллипс — '- —,— = 1 вращает~я вокруг оси Ох. Найти объем тела вращеа> Ьния. О пе. — гаЬ 3 20. Огре>ок пря аой, соединяющий на >ало координат с точкой >а, Ь), врг цается 1 вокруг огв у. Найти объем полу >онного конуса. Опю. -ха Ь.
3 21. Найти объел> тора, образованного вращением окружности х> Ь (у - Ь)2 = а> вокруг оси Ох >предполагается. что Ь ) а). Отав. 2.>за>Ь. 22. Фигура, ограниченная линиями 92 =- 2рх и х =- а, враща!.гся вокруг оси От. Найти об>ем гела вращения. Ото. тра>. 23. Фигура, ограниченная астроидой х>12 >. у>72 =. а>12, вращается вокруг оси Ох.
Найти объем гела вращения. Оте. 32каз>>105 24. Фигура, ограниченная одной дугой синусоиды у —.— в>ох и осью От, вращаетсяя вокруг оги Ох. Найти объем тела вращения. Оп>е. хт>>2. 25. Фигура, ограниченная параболой у> = 42 и прямой х = 4, вращается вокруг оси Ох. Найти объел! тела вращения.
Отв. 32>г. 26. Фигура, ограниченная кривой у = хе* н прямыми у = О, х, = 1, вращается вокруг оси Ох. Найти объем тела вращения. Оте. — (е — 1). г 27. Фигура, ограниченная одной аркой пиклоиды х = а>1 — вщ1), у = а!! — сок 1) и осью От, вращается вокруг оси Ох Найти объем тела вращения. Отв. 5ятаз. 23. Та же фигура, что и в задаче 27, .вращается вокруг оси Оу. Найти объем ге;>а вращения. Оте, О.г>аз. 29. Та же фигура, что н в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси Оу н проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения.
Оте, яаз<9хт — 16)>6. ЗО. Та же фигура, что и в задаче 27, вращается вокруг прямой, параллельной оси Ох и проходящей через вершину циклоиды. Найти объем тела вращения. Оте. 7ктаз 31. Цилиндр радиуса Н пересечен плоскостью, проходящей через диаметр основания под углол! а к плоскости основания. Найти объел! отсеченной части.
2 112!За 3 32. Найти объем, общий двум цилиндрам: хт -1- ут = 772, ут 1- 22 = 712. Оте. 16Н2,>З. ЗЗ. Точка пересечения диагонали квадрата перемещается вдоль диаметра круга радиуса а; при этом плоскость, в которой лежит квадрат, все время остается перпендикулярной к плоскости круга, а две противоположные вершины квадрата перемещаются по окружности (при движении величина квадрата, очевидно, меняется). Найти объем тела, образуемого атил! движущимся квадратом. Отв.
Зал >>3. 34. Вычислит объем сегмента, огсекаемого от эллиптического параболоида >у 2 — -1- — = х плоскостью т = а. Огне. >та рш 2 2р 2>7 35. Вычислить объем тела, ограниченного плоскостями 2 = О, у = О, нилиназугйаа дрическими поверхностями хт = 2ру и 22 = 2рх и плоскостью х = а. Огпв.— 7у>р 1в первом октанге).
ГЕ(5МЕГРИЧЕСКИЕ И МЕХЛНИ'ГБОКИЕ ПРИггсггКЕ5ГИ55 !гл хгг 36. Прямая движетгя параллельно плоскости Оуг, пересгкщг двв эллипса хг уг хг гг — — 1, — г — =- 1, лежащих в плоскостях Оху н Ггх, Вычислить обьем аг Ьг ' аг сг полученного гела. Огне Заус/3 Вы чнгленне длин дуг 37.
Найги всю длину астроиды хг75 -1- угг =- аг75. 17те, ба. 38. Вьггиг лить длину дуги полукубической параболы ауг =..гг от начала координат потачки с абсциссой х = 5а. Огне. 335а/27. 39. Найти длину цепной линии у =: а сй — от начала координат до точки (х, у). а Гггне. авй — = 5/уг — аг. а 40. Найти длину одной арки циклоиды х = а(1-- з!551) у = а(1 -- сов!). Онге.
За. 41. 1!айти длину дуги кривой у = !и х в пределах от х = ъ'3 до г =- ьГ8. Огне. 1 3 1 4 — !и —. 2 2 42. Найти длину дуги кривой у = ! — !и сов х в пределах от х = О до х = н/4. Онге. 1и 18(Зл/8). 43. Найти длину спирали Архимеда р = ачг от полюса до конца первого заа витка. Огне. наъ'! -1- 4н~ -1- — 1в(2х -1- чТ -1- 4нР). 2 44. Найти длину спирали р = е Р нг полюса до точки (р,гг). Огне. а а 45. Найти всю длину кривой р = ав!Пг(гг/3). Оше.
Зна/2. сг сг 4(аг Ьз) 46. Найти длину эволюты эллипса х = — сова 1, у = — в!и 1. Огне, а Ь аЬ 47. Найти длину кардиоиды р = а(1-Р совгг). Оте. 8а 48. Найти длину дуги эвольвенты круга х = а(совег-Р Чгв!пгг), у = а(в!пгг— — гасов ге) от гг = О до гг = рг. Оте. ар',-/2. Вычисление плогдадей поверхностей тел вращения 49. Найти площадь поверхности, полученной вращением параболы уг = 4ах вокруг оси Ох, от начала О до точки с абсциссой х = За.
Огне. 56хаг/3. 50. Найти площадь поверхности конуса, образуемого вращением отрезка прямой у = 2х от х = О до х = 2, а)Вокруг оси Ох. Онге. 8хь 5, б) Вокруг оси Оу. Оте. 4хчг5. 51. Найти площадь повеРхности тоРа, полУченного вРащением кРУга х Р ь(у — Ь)г = аг вокруг оси Ох (Ь > а). Оте. 4нгаЬ. 52. Найти площадь поверхности тела, образованного вращением кардиоиды вокруг оси Ох. Кардиоида задана параметрическими уравнениями х = а(2 сов ггв — сов 2р), у = а(2 ни Чг — щи 2гр).
Оте. 128наз/5, 53. Найти площадь поверхности тела, полученного вращением одной арки циклоиды х = а(1 — ыпг), у = а(1 — сов!) около оси Ох. Опге. 64паг/3. 54. Арка циклоиды (см. задачу оЗ) вращается вок рчг оси Оу. Найти поверхность тела вращения. Огне. 16гг а -1- — гга . гг 64 г 3 55. Арка циклоиды (см. задачу 53) вращается около касательной, параллель.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
