Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 33
Текст из файла (страница 33)
2) г,~г»=(,Ьа)+1(Ь,~Ь»). 3) г» г, (а,а,— Ь»Ъ»)+1(Ь,а,+а,Ь,). 4) г» а»а»+Ь»ь»+ (ь»а» — а»ь» (а» ),Ь»~»О) г» а»+ ь, 'а», -1- ь,' Из 1) и 3) следует, что 1» = — 1. Таким образом введенные операции сложения и умножения обладают свойствами коммутативности (г, + г, = = г, + го г,-г, = г,гг), ассоциативности ((г, + г,) + г, = = г» + (г + г»), (ггг ) г» гг (г г-)), дистрибутивности ((г;+ г,) г, = гтгг+ г»г»). Можно еще сказать, что с комплексными числами можно оперировать в точности так же, как мы привыкли оперировать с буквенными выражениями в алгебре, но при этом операции упрацаются тем, что 1»= — 1. Из свойства а+01=а следует, что множество комплексных чисел содержит в себе как часть множество всех действительных чисел.
При этом легко видеть, что применение арифметических действий 2), 3), 4) к выражениям язв ГЛ. б. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ г, =а;+ 01, ге =а, +О! приводит соответственно к а, ь. ~а,+О!=а; +.а„а,а,+О!=а,а„— "'+01= от (а,„-ьй). Число г=а — Рд называется сопряженным к комплексно.чу числу г=а+1Ь. Действительное число ~г~=Уа'+Ь' называется модулем комплексного ~у числа г.
Очевидно, что г.г- !г!', ~г~ г !=~гд~ ° ~г~~, !гт+г~~~(~г~)+ +агав! Если комплексное число г = = а + 1Ь. трактовать как точку (вектор) М (а, Ь) плоскости хОу, то ~г~ равен расстоянию точки М (а, Ь) от начала координат (рис. 74). Если на плоскости ввести полярные координаты (р, ч), то а р соз ~р =(г ~ соз ф, Ь рз1п~р=!г!з!п~р В силу этого комплексное число г можно записать в форме г р(сов <р+ ( з!и ~р), где р — модуль числа г, ~р — угол (в радианах), который составляет вектор ОМ с положительным направлением оси х.
Этот угол называют еще аргументом комплексного числа г и обозначают символом гр агиг (О~~~р<2п). Очевидно, ср = агя г есть однозначная функция от г чь О. Вводят еще и многозначную функцию (аргумент г с большой буквы) Ф=лгйг= ага г+ 2ЬЛ (й = О, йт 1, + 2, ...), которая дает все значения гр, для которых для данного гчьО удовлетворяются два равенства (1). Число г = 0 единственное, для которого не имеет смысла его аргумент, но зато его можно определить как число, модуль которого равен нулю (!Е~==О). ага г (с малой буквы) называют еще аргументом е приееденной форме. Иногда бывает удобно считать аргументом в приведенной форме угол, принадлежащий к другому полуинтервалу (а, еь+2п) длины 2п, например ( — и, и).
Числа а и Ь йазывают дейстеительной и мнимой частями г н обозначают символами а=Бе'г, Ь= 1щг. Таким образом, в а.а. комплексные числА г=)(ег+11гпг, Если г=х+(у, то множество точек г плоскости хОу, удовлетворяющих равенству ~ г ! = К ()«' х'+ у" = тс), есть окружность радиуса )с с центром в начале координат. По определению еме=совф+(в(пф ( — оо < ф <оо), (3) Очевидно, что в«а есть комплексная функция' ) (принимающая комплексные значения) от действетельного аргумента ф, Ясно, что е'е — периодическая функция периода 2ПС ЕИЕ««л>=.Е~Е Так как 1е'е1=р сов«ф+в(паф=1, то прн непрерывном изменении ф на полуинтервале 0» ф < 2п, точка е'е непрерывно описывает окружность радиуса 1 с центром в точке г=О.
Справедливы равенства Еме+е1=ее еаа Е-«е= 1 (4) В самом деле, е'1« «ел =сов (ф«+ ф«)+ (в1п (фг+ ф«) =(совфтсозф« — з(пфтв1п ф,)+ + 1 (в( п фт соз ф, + в1п ф, сов фт) = =(гозф,+ев(п фа) (созф,+(в(п1ре)=е'е е'е*, 1 ! =- сов р — (в(п ф = е~е сов ф+1а1П ф = сов ( — ф) + р в 1п ( — р) = е-'е. Для произвольной комплексной переменной г=х+еу функция е* определяется при помощи равенства е' = е"е'а, г ~ О. Отсюда в силу (3) е' = е" (соз у+ ( в 1п у).
(о) На основании (2), (3) всякое комплексное число г можно представить в форме =р" (р 0), (б) ') См. нашу книгу «дифференциальные ураанення. Кратные интегралы, Ряды. Функции комплексного переменногоэ, й 6,1, гоз ГЛ. Ь НЕОПРЕДЕЛЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЫ где неотрицательное число р=!г! для данного г единственно, а при р> 0 утоп ср = Агя г = агя г+ 2Ь и определен с точностью до 2йя (6 =0, ~1, ~2, ...). Выражения (2) и (6) называются соответственно ГпригономеГпрической и показательной формами комплексного числа г. Приведем примеры комплексных чисел, записанных в показательной форме (считая ср=агяг): 1 + ! = Ьс 2 ! — + ! — ! = ) с 2 еы1 °, ~)l 2 3Г2/ 1=0+1.(=е'"/~, 1=е'Г, — 1=с"'.
Из равенств (3), (4) легко получаем формулу Муавра (соз ч:+ (з!п ~)" = И"Р = соз ~щ+1 з!Нп~. (7) Справедливо также равенство г,г, = ~ гд г, ~ енч чо, т. е. при перемножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются независимо от того, в какой форме они взяты — в приведенной или нет. Операция построения сопряженного комплексного числа обладает следующими простыми свойствами: г,-~г, = г,~г„г г, = г г„~ — ' = =' (г, чь 0).
(8) ~г,г В самом деле, (а, +61!) ~- (а,+6 !) = (а~а )+(Ь;-ЕЬ)1= = (а,-~а,) — 1(Ь,-~Ь) = (а,— Ь,() -ь (а,— Ь,!) = =(а, +6,1) .-Т- (а+ЬД; далее, так как реса = о (соз ч + 1 а!и Чй = р (соз ср — 1 з1п ср) = ре-'Р, то г г, = р есг р,еле = р р ент + та = р р е- цг + те = =р,е-ьР р,е АГ =р,еее р,е'~ =г, г,. Подобное доказательство имеет место и в случае частного.
3 Б.В. ТЕОРИЯ МНОГОЧЛЕНА и.а СТЕПЕНИ зоа Рассмотрим задачу о вычислении корня и-й степени из числа а = рею (р > 0). Требуется, таким образом, найти все числа бч ге'в такие, что Ьв=а. Но тогда Рве""в = ре'в (г, р > 0) и, вследствие единственности представления комплексного числа в показательной форме, р=г", иср = = О+ 2йи, й =О, +.1, ~2, ....
Из первого равенства следует г= р/р (г †арифметическ значение корня и-й степени из положительного числа р). Из второго же, что чв= — + — (й=О, ~-1, ...). В Ил и и Так как функция евв периодическая с периодом 2и, то значения вр, дающие существенно различные корни и-й степени из а, соответствуют только и значениям й; — (й = О, 1... „ и†1). (9) Остальным целым й соответствуют значения р, отличаю- щиеся от одного из значений (9) иа величину, кратную 2и. Мы доказали, что у комплексного числа аФО суще- ствует и (и только и) корней степени и, записываемых по формуле "/а= 1",/ре'"ил в",/реивв (/г=-О, 1, ..., и — 1), где врв определяются равенствами (9), Примеры. р в „ввл '~ в 1в в,/1 $/ев е( в в / (й 0 1 2) В /" л /л ввл) 2'.
у'1=~ е ' =е~в в 1 (й 0,1,2), .1/ л (л вил) 3', 1-)-1= в/'2 р е в 1, 2е ~вв ' в ° — в" — Р' (А=0,1, „„5), 4'. 1/ — 1=)/е™=е( ' " ) =-~1 (й=О, 1). $ 5.4. Теория многочлена и-й степени Многочленом и-й степени называется функция вида вг„(г)=а,+а,г+... +а„г"= Х авг", (1) в=в где ав †постоянн коэффициенты действктельные или комплексные, а г †переменн, вообще говоря, комплекс- 210 ГЛ. Ь НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ная, которая может принимать любые комплексные значения (г = х+ 1у) или, выражаясь геометрическим языком, г может быть любой точкой комплексной плоскости.
Каждой точке г комплексной плоскости при помощи . формулы (1) приводится число 9„(г), вообще говоря, комп. лексное. В дальнейшем будем считать, что а„~О. Если 9„(а) =О, то число а называется корнем нли нулем многочлена ()„(г). Рассуждая в точности так же, как в начале $ 4.14, где рассматривался многочлен от действительного переменного, можно показать, что, каково бы ни было комп. лексное число г„многочлен Я„(г) разлагается по степе. ням г — г, и притом единственнйм образом, т.
е. представ. ляется в виде л Ял (г) = Х Ь» (г — '»)" »ль где Ь» — постоянные числа, вообще говоря, комплексные, Очевидно, Я„(г») = Ь,. Отсюда следует, что для того, чтобы точка г, была корнем многочлеиа Я„, необходимо и достаточно, чтобы нулевой' коэффициент Ь, разложения .»З„по степеням г — г, был равен нулю (Ь,=О). Но если Ь„=О, то ()„можно представить в виде 1Е„(г)=(г — г,)9„,(г) чг, (2) где чг„, есть некоторый меогочлен степени и — 1. Наоборот, если 9„можно представить в виде (2), иначе говоря, если Я„(г) можно разделить на г — г, без остатка, то, очевидно, г, есть корень 9„.
Мы доказали теорему Безу: Для того опобы мноеочлен АЕ„(г) имел (комплексный) корень г„необходимо и достаточно, чтобы он делился на г — г„т. е. чтобы еео можно было представить в виде произведения (2), еде Я„» — некоторый мноеочлен степени и — 1. Пусть г, есть корень Я„, н, таким образом, имеет место представлейие (2). Если при этом Я„,(г,)~0, то на основании теоремы Безу, примененной к Я„„н многочлен Я„„(г) не делится на г — г„а Я„(г) хотя и делится иа г — г„но не делится на (г — г,)', В этом случае говорят, что г„есть простой корень (нуль) миогочлена Я„.
Пусть теперь 9„г (г») =О, тогда по теореме Безу, примененной к 9„„Г(г), многочлен Я„,.(г) делится на г — г„и мы по- % В.ч. ТЕОРИЯ МНОГОЧЛЕНА и-а СТЕПЕНИ 211 лУчим Равенство 1)„(г) (г — гэ)эЯ, х(г), гДе ()„»(г) есть некоторый миогочлен степени и — 2. Вели (Е„,(гэ)чь0, то 1Е„(г) делится на (г — г,)', но не делится на (г — г,)', и тогда число г, называется корнем (иулем) кратности 2.
В общем случае для некоторого натурального з. п имеет место 1;>„(г)=(г — г,)'9„,(г), ()„,(~,)~0, где 1е„,(г) — миогочлен степени п — з, и тогда говорят, что г„есть корень (нуль) многочлена (е„кратности з. Справедлива теорема существования комплексного корня у многочлена. Основная теорема. Всякий многочлен и-й сте- пени имеет по крайней мере один комплексный корень (нуль). Мы не даем здесь доказательства этой теоремы. Из нее вытекает важное следствие.
Следствие. Мнсгсчлен п-й степени 1',)„со старшим не равным нумо коэффициентом (а„~0) имеет и комп- лексных корнем с учетом кратности, иначе говоря (еа(г) представляется в виде произведения ()„(г)=аа(г — гт)а (г — га)а»...(г — г») с, (3) Р» + Р»+ + Р» = " где гх, ..., г,— различные корни ()„кратностей, соотве»пственно р„р» Доказательство. Согласно основной теореме многочлен О„ имеет по крайней мере один корень. Обозначим его через гм а его кратность †чер р». Так»»м образом, О„(г) =(г — г,)Р» Ое„„, (г) (0а р, (г») Ф О).
Если и — р»=О, т.е. р,=и, то необходимо Ое р,(г)=-аа, и теорема доказана. В этом случае 1)„(г) =-аа (х — гд". Если же р» с и, то О» р, (х) есть многочлен степени и — р„не деляшийся па г — г,, н его старший коэ»рфнцие»»т не равен нулю. К нему можно применить основную теорему, в силу которой он имеет комплексимн корень. Обозначим его через а„, а его кратность— через р„, В результате получим Ое (г) =- (г — г») Р (г — ах) Р. Оа хч р,(г) (О „,„(,) ~О, »=а1, 3), если и — р,— р,=-о, то о„р, р,(з)=а„, если нет, то процесс можно продолжить.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
