Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 35
Текст из файла (страница 35)
На практике подобными соображениями не надо пренебрегать. 3 а м е ч а н и е 2. Принципиально всякая рациональная функция интегрируется в элементарных функциях. Практически полное интегрирование (1) можно довести до конца в случае, если известны все корни Д„и их кратности, Но мы уже говорили в 8 5.5, что это не всегда удается узнать. В связи с этим всякого рода упрощения интеграла от рациональной дроби (1) являются очень ценными.
С этой точки зрения заслухсивает большого внимания метод Остроградского' ), обычно излагаемый в более полныя учебниках '). й 5.7. Интегрирование иррацнональнык функций Рассмотрим случаи, когда заменой переменной можно свести интегрирование нерациональных функций к интегрированию рациональных функций (т. е., как говорят, рационализировать интеграл). Пусть )с(х, у) †рациональн функция своих аргументов х и р, т. е. Иад х и у совершаются только арифметические операции, чтобы получить Я (х, р). Например, )«(х, д) = ,+,,„ †рациональн функция, а оку+ у 7'(х, у)=Р х+у+х» — не является рациональной.
1. Вычислить ) й ~ х, ф' — ) «)х, где а, Ь, с, «)— »»/ ы+Ь 1 сх+Ы ) «) В. М. Остроградский 11801 — 1861) — выдающийся русский математик. ») См„ например, «Курс математического анализа» С. М. Никольского, т. 1, З 8.7. 21В гл. ь. нвопввдвлвнныв интвгвхлы постоянные числа, оь — натуральное число, ад — ЬсчьО, Й (х, д) — рациональная функции.
л~ / Функцию вида И1 х, "ь — х) называют дробно-лис«+а ьеиной иррииионильноотью. Покажем, что замена 1 = "з — рапнонализирует ч / ах+Ь сх+а интеграл В самом деле, 1" =- —, откуда х=— ах+ Ь Ь вЂ” оса с«+а ' с(" — а рациональная функция от 1. Далее, аь1а ь (аа — Ьс) (с( ~ — а)ь Поэтому ') й~х, )/ +„)дх= где Р,(1) — рациональная функция по 1, интегрировать которую мы умеем. П ример 1. Вычислить ) 1/ — Дх. Здесь «+1 , (х — 1)ь ~/ х — 1 а Р(х, р)= —,.
Полагая ьх "— =1„получим х= / (х — 1) ь ьь 1 1 а(ь,Ц вЂ” Дх=, х — 1= —.. Таким образом Р— !' (Р— Ць ' Н вЂ” 1' Д1 1, Д1 ь 1«Д1- ь ~«+1 ( бсь (Р 1)ь 3 Г ( — И 1/ — 1 3 (г' — О'' Е З.) (а+с' ~ У~ "~ ) ).С Пример 2. ~, —.5г-.-.~(~-.) ".'( -.) -"'="=~ — "'"'= =б $ (1' — 1+1)Д( — (п(1+1!= =21« — З(с+ 61 — 1п(1+11+С, П, Вычислить ) )с(х, )' ох'+Ьх+с)дх, где и, Ь, о — постоянные числа.
Функцию Л(х„)/их'+Ьх+с) будем называть кеадратичиой ирраь(иональноалью. ь в.г. инта грировлнип иррлпионлльных чакикпня яй Если трехчлен ах'+ Ьх+ с имеет действительные корин хт, х, то ах'+Ьх+с=а(х — хт) (х — х,) и и дело сводится к случаю Е Поэтому будем считать, что ах'+Ьх+с не имеет действительных корней н а > О. Тогда рационализация интеграла может быть достигнута с помощью подстановки Эйлера '): Ь = ) ах'+ Ьх+ с+ х )' а. ~2 с Отсюда ада+ Ьх+с= 22 — 2хрга1+аха, т. е. х= 2~уса+Ь рациональная функция от ~.
Но тогда Г %2.2.-2 — '2' -~- "-' ~' 2Г )2 с+Ь вЂ” также рапиопальнзя функции от г', Поэтому ) ьс(х, )г ахт+Ьх+с) 22х= ) ест (2) 222. 3 а и е ч а н и е. Если а < О, а с > О (ах'+ Ьх+с ьО), то можно сделать замену )/ аха+Ьх-)-с=хт'+1/с. Пример 3. Вычислить ) $' аа+хтНх. Бином х'+а' не имеет действительных корней. Поэтому полагаем Га ат Ь = Р х" + а' + х, ха+ аа = ~2 — 22 х+ ха, х =— 2Г )Г Ха+па=-1 — х=— — Ге+ па 2~ Отсюда х )ггха+ аа = —,, с2х = —, с22. Га оа Га+ ат 2) Эту подстановку можно применять и в случае действнтельнмх корней прн а > 0 на интервале, где аха+Ьх+сП20. 220 Гл.
5. Нвопгвдвлвнныв интаггллы В силу этого 2! 2~~ 4 а ~ ! а Р ах аз )з 2 Ы! !+ 83+ Ы! !+ 89 +С 8сх = — 1п~х+)~ '+а'~+ — рГх'+а'+С. 111.Иятегрнрование выражений)1(созх,з)пх). Рационализация ) )1(созх, 81пх)йх достигается с помощью подстановки 1= (и (х/2) ( — и < х < и), которая называется универсальной, В самом деле, 2(я(х/2) 2! ! — (я'(х)2) ! — )з )+(Кз(х/2) )-(-!х' !+(Кз(х!2) )-!-(з ' х = 2 агс121, с(х = +,, 2хт поэтому ') )с(созх, згпх)ах= ) К~,~„„,~,„) —,. „= ) )1т(!) йй Если функция )с(х, у) обладает свойствами четности или нечетиости по переменным х или у, то могут употребляться и другие подстановки, также рационализирукацие интеграл.
Пчсть 11(и, а) = (а' (и =созх, а=з)их), Р(а, ь) где Р и !',) — многочлены от и и о. 1) Если один из многочленов Р, (') четный по о, а другой — нечетный по о, то подстановка (=созх рационализирует интеграл. 2) Если один из многочленов Р, 9 четный, по и, а другой †нечетн по и, то подстановка 1 = з1п х рационализирует интеграл. 3) Если Р и Я: а) оба не изменяются прн замене и, а соответственно на — и, — о или б) оба меняют знак, то интеграл рационализируется подстановкой ! = !ц х (или ! = с1ц х). Примеры: 4 Б.е интеРРНРОЕАние НРРАциондльных Функиий 231 ~ЩД4ДРД*4 с1 .
*4 ) — их — — ~ ,) с054х 0 ссз4 х 1 с0$4 х Р! — 14 (1 соя х) ~ 4 Л СФ 04 В данном случае Я(и, о)= —,=„—..., т. е, числитель нечетный относительно и, а знаменатель четный по и, и мы имеем дело со случаем 1). 34 СХ (' Ф у" Р* 4тчБ~* =' 4 охРС4цдд ж = (1 = (й х) = ) ~+ р1 з Здесь числитель Р(и, о)=1, а знаменатель Я(и, 0)= ази4+6404. Оба не меняются при замене и, о соответственно н» вЂ” и, — о, т.
е. мы имеем дело со случаем За). ГЛАВА 6 ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ и 6.1. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла, н его определение а) Зададим на отрезке (а, Ь| (а и Ь вЂ” конечные числа) неотрицательную непрерывную функцию Г(х). График ее изображен на рис, 75. Поставим задачу: требуется определить понятие площади фигуры, ограниченной кривой Рис. 75. у=7(х), осью х, прямыми х=а н х=Ь, н вычислить зту площадь.
Поставленную задачу естественно решить так. Произведем разбиение отрезка (а, Ь1 на и частей точками а=-х, <х; «... х„=Ь, выберем на каждом из полученных частичных отрезков [х7, х7+,1 (1=0, 1, ..., и — 1) (2) 56,!. ОПРЕДЕЛЕННЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА Щ по произвольной точке $г Е(хр хгвт], определим значения функции / в зтих точках и составим сумму в 1 8„=,'Р,' 1($г) ах! (йх~ =хг+! — х ), [3) 0 которую называют интегральной суммой и которая, оче- видно, равна сумме площадей заштрихованных прямо. угольников (см.
рис. 75). Будем теперь стремить все Лхг к нулю и притом так, чтобы максимальный (самый большой) частичный отрезок разбиения стремился к нулю. Если при атом величина 5„ стремится к определенному пределу 5, не зависящему от способов разбиения (1) н выбора точек с на частичных отрезках, то естественно величину 5 называть площадьво нашей криволинейной фигуры. Таким образом, Я= 1нн ч~, "~($,)Лхр (4) пвв Ав вз! Итак, мы дали определение площади нашей криволинейной фигуры (трапеции).
Возникает вопрос, имеет ли каждая такая фигура площадь, иначе говоря, стремится ли на самом деле к конечному пределу ее интегральная сумма 8„, когда йхг — Ог В дальнейшем будет доказано, что этот вопрос решается положительно; каждая определенная выше крнвблинейнзя фигура, соответствующая некоторой непрерывной функции ~(х), действительно имеет площадь в смысле сделанного определения, выражаемую, таким образом, аависящим от атой фигуры числом 5. Другой возникающий здесь вопрос, насколько естественно данное определение площади, как всегда в таких случаях, решается практикой.
Ыы скажем только, что практика полностью оправдала зто определение. У нас будет много случаев убедиться в правильности сделаняого определения. б) Дан линейный неоднородный стержень, лежащий на оси х в пределах отрезка (а, Ь~. Требуется определить массу зтого стержня.
Пусть плотность распределения массы вдоль стержня есть некоторая непрерывная функция от х: р (х). Для определения массы стержня разобьем его на п произвольных частей точками а=х, < х, « ... х„=Ь. В пределах каждой части 1х„х!+!1 выберем по произвольной точке $Р 224 ГЛ В. ОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ Так как в пределах [х„хг+!1 функция р(х) изменяется мало, то массу части стержня, соответствующей отрезку (хг, х1,11, можно считать приближенно равной р($1)Лхг, где Лх,=хг+,— хо Масса же гп всего стержня приближенно равна л-! р($,)Лх,+р(2,)Лх,+ +р($. )Лх.
!= Х р($1)Лхг Точное значение массы, очевидно, получим в пределе, когда наибольший частичный отрезок стремится к нуню, т. е. а-! т= !йп ~ р($1) Лхо (4Ф) и!ы Ьвг -~ 0 ! Ь Обе рассмотренные задачи привели нас к одной и той же математической операции над функциями различного происхождения, заданными на отрезке (а, Ь). Нам встретится много других конкретных задач, решение которых сводится к подобной операции над функцией, заданной иа отрезке.
Эта операция называется операцией интегрирования функции на отрезке, а ее результат — число— называется определенным интегралом от функции на отрезке. Определение .1, Пусть на отрезке (а, Ь) задана функция г'. Разделим 'га, Ь) на части произвольными точкалж: а=х,<х, и,« ... х„=Ь, и будем говорить, что мним произведено разбиение )1г отрезка (и, Ь|. На каждом частичном отрезке ~хр х,+!) раз- биениЯ выбеРем ПРоизвольнУю точкУ $гЕ(хг, хг+,] и составим сумму я-1 оя — — оя Д) = Х Г ($А) Лхг (Лх, = х,+, — х,), называемую инпгегра,гьной сул!мой функции г', соогпветствуюше11 разбиению Й. Обозначим через Хя — — шах Лхг Ьчгк~-! максимальную длину частичных отрезков ~хм хг~Д разбиения гс.
з а,!. ОпРБдвлинив ОпРБдиленного ннтБГРАлА еяз Предел (если он существует), к которому стремится интегралыиуя сумма оя, когда )ун- О, называется определанным шипегралом от функ!)ии 1 на отрезке '1а, Ь| и обозначается следующим образом: и 1 ь 1пп од=к !Нп ~ 1($у)йху — — ) 1(х)йх (а < Ь). (5) Ая -ь 0 микалу -ь а ! о Число а называется нижним пределом определенного интеграла, а число Ь вЂ” верхним его пределом. Определение 1 эквивалентно следующему.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
