Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Однако этот процесс после конечного числа (не большего и) этапов закончится, и мы получим формулу (3). Если в правую часть (3) подставить вместо г число, отличное от г»..., ..., г„то она не обратится в нуль, Это показывает, что других кор- ней, кроме найдеаных, многочлен Ое не имеет и представление (3) единственно. 212 ГЛ О. НЕОПРЕДЕЛЕННЫР ИНТЕГРАЛЫ $5.5. Действительный многочлен п-й степени Многочлен 9„(г) = Ж аог" (а„~О) ()) еьо называется действительным, если его козффициенты ао— действительные числа. Это название объясняется тем, что действительный многочлен, если его рассматривать только для действительной переменной г=к, принимает действительные значения, Конечно, для комплексных г действительный многочлен принимает, вообще говоря, комплексные значения. Л е м м а.
Для действительного многочлена Я„(г) имеет место равенство Я„ (г) = 0„ (г) т'г. Доказательство, Наши рассуждения будут базироваться на равенствах (8) 2 5.3 и том факте, что для действительных ао имеет место а„=ао. Имеем о к к ()„ (г) = Х а„г" = ~„ а го = Х а„го Х аог" = 9„ (г), (2) о о о=о о=о о о что и требовалось. Теорема 1. Если г,=а+(5 (5~=0) есть комплекс. пый корень т-й кратности действительного многочлена ()„, то г,=а — ор есть тоже корень Я„и той же кратности, и тогда ()„(г) =((г- ) +6Ч Р„.,(г), (3) где Я„„(г) — действительный многочлен степени и — 2Р, не равный нулю при г=г, и г=г,.
Доказательство, Пусть го=а+о() ЩЕГО) есть корень Я„. Тогда г,=а — ой — тоже корень ~„, потому что в силу (2) 0„(го)=-ое„(го) О О. Числа г, и г, ие равны друг другу и Я„(г) делится на (г †а ор) (г — а + 25) = (г — а)о + ()о, (4) т. е, на действительный многочлен второй степени. Таким образом, а. ( ) =г( — )'+й')().-,( ) 3 $.6, дкйгтвитвльиь!и миогочлвп п.ь стапани г!3 где Ял,(г) — многочлен степени и — 2, очевидно, действительнйй.
Ведь частное от деления действительных много- членов есть действительный многочлен, Если г,— корень Я„кратности т и т > 1, то г,— корень Я„, кратности т — 1, поэтому, повторяя нашй рассуждения в отношении !',/„,(г), можно из него выделить множитель (4). Второй же множитель будет дейстл!ительный многочлен 9„, степени и — 4. Повторив этот процесс раз, получим представление (/„(г) в виде (3), где 1е„„(г) — действительный многочлей степени и — 2м, обладающий свойством 9„„(г,) -60. Но тогда и Я„ьэ(г,) тьО. Ведь если бы г, был корнем действительного миогочлена Я „то неминуемо г, тоже был бы корнем этого многочлена.
Задача. Доказать, что миогочлен Я,(г) =г'.— Зг'+2г имеет не менее трех действительных корней. Т е о р ем а 2. Действительный многочлен Я„(г) состари/им коэффи//иентом а„Ф 0 может быть представлен в виде произведения /е„(г) = а, (г — с,) и ...(г — с„) ь~ Иг — а„)'+ /3!1"ь... ! ...1(г — и,)!+Я1'л =а„п(г — с )"/'П((г — и )'+13Ц'у, (5) /=! / ! где 33 > О, р, +... +р„+2 (т/+... + тл) = и, с/, ..., с, —, действительные корни 0„кратностей соответственно р,„..., р„а а, ~13,й ..., и,1-5,1 — попарно сопряженное комплексные корни я„кратное/пей соответственно уо ..., тм Заме чан не.
Действительные многочлены второй степени, входящие в произведение (5), можно преобразовать так: (г — и,)'+ 5'/ = г' — 2иуг+ (а)+/3/) =- г*+ р г+// „ Р/ — — — 2ар //~ — — и';+ 13"1. Поэтому формулу (5) можно записать е!це в следующем виде: 9,(г)=а„Ц(г — с/)илп(г!+р/г+д/) л, (5') !=! /=! где г'+ р г+// — действительные многочлеиы второй степени, имеющие комплексные корни а ~ !р (р > О, р,'— 44, = — 45!/.-. 0).
214 гл. ь нвопгвдялзниыз интзгвхлы Доказательство. На основании формулы (3) Э б.4 е ()„(г) =П (г — с )в)Я (г), 1=! где () (г) — действительный многочлен степени т = ив — р, —... — р„. Если т = О„то, очевидно, Ям (г) = а„; в общем случае применяем последовательно теорему 1 к комплексным корням Я„. Отметим, что основная теорема доказывает только существование корня (вообще комплексного) у многочлена и-й степени, ие давая эффективных методов нахождения его в общем случае. Впрочем, доказательство этой теоремы проводится методами математического анализа, а не алгебры.
Мы не доказываем здесь эту теорему, Она связана органически с теорией функций комплексного переменного. Существуют формулы решения общих уравнений второй, третьей н четвертой степеней. Для 'уравнений степени н > 4 таких формул нет. Абель' ) доказал, что они не могут существовать, Это надо понимать в том смысле, что при и> 4 корни уравнения а„х" +... +а,х+а,=О (а„чьО) не выражаются через коэффициенты а посредством функций от этих коэффициентов, представляющих собой результат конечного числа операций только следующего вида: сложения,' вычитания, умножения, деления и извлечения корня. и 6.6. Интегрирование рациональных выражений Отношение двух алгебраических многочленов Р (х)=Ь,+Ь,х+...
+Ь х", Я„(х)=а,+а,х+... +а„х", Ь„, а„ФО, т)~О, п~)1, называется рациональной функцией и еще рациональной дробью. Вудем считать, что рациональная дробь Г' действительная, т. е. Р и (;)„— действительные многочлены. Кроме того, будем считать, что х †действительн переменная. е) Н. Г. Абель (1802 — 1829) — выдающийся норвежский математик, $ ЬЬ. ИНТЕГРИРОВАНИИ РАЦИОНАЛЬНЫХ ВЫРАЖЕНИЙ 215 Рациональные функции вида А Ах+В (й =- 2), (х»+ рх+ д)А (2) А~ » А„,» + — '+ (х — с,) "" (х — сд"' В, 1х+ Сь, В,,х+ С,, (х»+р,х+д,)»~ (х»-(-р х-+д,)»' В х+С,, х'+ Р,х+вг Вн ах+Сне В»х+С» В, х+С, (х»+р х+д,)»х (х»+Рхх+Ех)»» 1 х~+Рхх+Ох (3) где А, В, а, р, (( †действительн числа, й †натуральное число, а трехчлен х'+ рх+ д не имеет действительнык корней, будем называть простейшими дробями.
В ~ 5.2 мы показали, как вычисляются интегралы от простейших дробей (см. (4), (5), (6), (7), (!1) Э 5:2). Пусть надо найти неопределенный интеграл от рациональной функции )(х) (см. (1)). Если т-хп, то простым делением вьшеляем из ( целую часть: Р, (х) 1(х) =- многочлен+ — ' (гп, < и). о„(х) Интегрирование многочлена не представляет труда и трудность свелась к интегрированию рациональной дроби, у которой степень числителя меньше степени знаменателя. Будем поэтому считать, что наша рациональная дробь Г(х) правильная, т.
е. степень ее числителя меньше степени знаменателя (т < п). Теорема 1, Лусть знаменатель правильной дейст. вительной рациональной дроби разложен по формуле (5') $ 5.5: (Ех (Х) = а„(Х вЂ” С,) Ь... (Х вЂ” С,) Р (Х'+ р, Х+ О,)'... (х'+ р.х+ ц )" Тогда дробь (1) можно представить и притом единственным образом в виде следующей суммы простеиших дробей.
Р,„(х) и~ + ьь + + ьь+ А А А ()х (х) (х — с,)Р' (х — сдз' 216 ГЛ. б. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ еде А, В, С (с соответствующими индексами) — постоянные числа. Эта теорема утверждает, что для л!обой правильной рациональной действительной дроби существуют постоянные числа А, В, С с указанными индексами так, что имеет место тождество (3) для всех х, исключая значения х= = сг, ..., с„для которых обе части (3) не определены. Эту теорему можно аккуратно доказать, но мы здесь ее доказывать не будем.
Поясним формулировку теоремы 1 на примере, Согласно теореме ! имеет место равенство 2х'+х'+к+2 л А + й)б+й. 4) (х — 1)е (ке+х+ 11 х — 1 (к — 1)е хе х+ 1' где А„А„М, У вЂ” вполне определенные постоянные числа. Чтобы найти их, приводим (4) к общему знаменателю и приравниваем числители левой и правой частей: 2х'+х*+ к+2 = А1(х — 1)(х'+х-1-1)+ + А, (х'+ х+ 1)+ (Мх+ У) (х — 1)'.
(5) Раскрывая скобки в правой части (5), группируем члены с одинаковыми степенями х и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х обеих частей (см. 2 4,14, тео- рема 2) 2=А,+М, 1 =А,+У вЂ” 2М, 1 =А,+М вЂ” 2У, 2= — А,+А,+У. (6) Мы получили четыре линейных уравнения с четырьмя неизвестными А„ А„ М, У. Эта система по теореме ! имеет решение й притом единственное. Решая систему (6), получим А,=1, А,=2, У=М=1, и потому 2кк+х~+к+2 1 2 х+1 (х — 11~(к~+к+1) х — 1+(х — 1)~ + хе+к+1' В общем случае, если мы нашли коэффициенты А, В, С в (3), для интегрирования дроби Р /~„у нас все готово: неопределенный интеграл от левой части (3) равен сумме неопределенных интегралов от всех членов правой плюо некоторая постоянная С.
Выше уже было отмечено, что интегралы от любого из членов (3) мы умеем вычислять. й 6.7. интеГРНРОЕАние НРРлционлльиых Функций 817 В случае примера (7) !и ! х — 1 ! — — + 1п р'х'+х-1-1+ = агс)п — '+ С. и†! )'з р'з За меча н не 1. Равенство (5) верно для любою х*~1. Но оно тогда верно и при х=1, потому что слева н справа в (5) стоят непрерывные функции от х. Подставив в (5) х =1, получим 6=ЗА», т. е. А,=2 и, положив х=-О, получим 2 = — А, + А, +)У, т. е. й) == А;. Эти данные (А, 2, )т' = А,) сильно упрощают систему (6).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
