Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Следовательно, с ь !Ип ол — — !Нп он + )пп ал = ~Г(х) с(х+ ) Г(х) ь(х, Ья-с.е ЬН -аь ЬЛ Ь С Это равенство доказано пока для разбиений Я, содер- жащих в себе точку с. Но тогда оно верно и для любых разбиений ьг (см. лемму ! ниже). Следовательно, инте- Ь грал ~ г(х) ах существует и имеет место (2). и По определению а 11()~ =О„ (3) Ь а ) Г(х)ь(х= — ~)(х)ь(х (Ь < а), с Ь где ) интегрируема на (Ь, а!. Нетрудно видеть, если учесть соглашения (3), (4), что равенство (2) верно для любых чисел а, Ь, с, лишь бы ( была интегрируема на максимальном из отрезков (а, Ь!', (а, с|, (с, Ь1. Например, в случае, если с(а<Ь, на основании теоремы 3 ь а ь ) гь(х ) гах+) гь(х с с а или ь ь а с ь ~~ах= ~1ах — ~~дх= ~~ах+ ~1(х, а с с а с и мы получили (2). Те о рема 4.
Если функции ~т и Гь интегрируемы на [а, Ь1 и А,  — произеольные числа, то ь ь ь ~(А~,+В)ь)ь(х А ~~,с(х+В ~~ьь(х. (5) а а а В чосьпностаи, нри В О получим раеенаеео ь ь ~ Агт ь)х = А ~ г, с(х, Ф) ГЛ. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ показывающее, что постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла. При А=1, В=-Е1 пс,!учим ь ь ь ~(~,-~~,)дх = ~~,с(х~ ~~, дх. (7) а а ч Доказательство. Для произвольного разбиения Я имеем ч-! ч ! х-! ~ (А~! Д )+В~а ($))1 Лх = А ~~.", 1! Ку) Ьху + В ~~„Г~ ($ )Лх . Отсюда, перейдя к пределу при Хя- О, получим равенство (5).
Оно, очевидно, верно и при у~а. Те о р е м а 5. Если интегрируемую на [а, Ь')функцию у видоизменить в точке сЕ(а, (!), то для полученной после видоизменения функции у; имеет место равенство ь ь ~ ~! (х) дх = ~ 1(х) дх. Доказательство. Видоизмененнефуикпии/толиков точкес еводитен к тому, что к 1(х) прибавляется фувкцин вида ( О, х~(а, Ь), х ~ с, "' '( А, х=с, где А — некоторое число. Тогда 1! (х) -1(х)+ р, (х).
При этом по теореме 2 ь ) !р (х)вх о. а Поэтому в килу теоремы 4 ь ь ь ь ) Гь (х) Вх *= ) 1 (х) Вх + ) фе (х) Вх = ~ 1(х) Лх, а а что и требовалось доказать. Замечание 1. Из теоремы 5 мы видим, что интегрируемость функции у не зависит от того, какие значения она принимает в некоторой определенной точке. Например, функция чр(х)=(з!пх)/х определена на полуинтервале (О, 1]. Если положить ее равной 1 при х=О (!р(0) =1), то она будет непрерывной, следовательно, ин- Ь б.а. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ 333 Д о к а з а т е л ь с т в о. Для любого разбиения ьс и ! и-! ~ 7 (В ) Лх «~ ~ ч! ($Г) бх !=о ь о потому, что Лх~ > О.
Поэтому после перехода к пределу при Ая О получим (8). Теорема 7. Справедливо неравенство ! Ь ь ~7(х)с(х1 ~17(х)~дх (а~Ь) а а или, если а не обязательно менвше Ь, то ((!»аЦ(!П >!а*(, (О') где К и (П интегрируемы на [а, Ь1. Доказательство. Очевидно, — ~~(х)(~Цх)~~~(х)~ Ух~[а, Ь1.
Но тогда на основании теоремы 6 ь Ь ь $( — (7(х)()дх( $7(х)дх~$ ~7(х))дх (а с, Ь) а а а нли Ь Ь ь — 1 Уих<1рдх~1тдх, тегрируемой на отрезке [О, Ц. Но она останется инте! грнруемой, и ее интеграл ~ 2Ь(х)ых будет равен тому же о значению, если положить, что 2р(О)=А, где А — любое число. Теорема 6. Если функции Г и Ч! интегри руемы на отрезке [а, Ь) и удовлетворяют на нем неравенству 7(х) =Ч (х), то ь ь ~7'(х)йх -. ~<р(х)дх (а Ь).
(8) ГЛ. Е. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ! ь ( ь ~ ~ Ых1< ~ (1) г(х (а < Ь), что и требовалось доказать. При а < Ь правые части (9) и (9') равны между собой. Если же Ь < а, то в силу (4) т. е, имеет место (9'). Наконец, случай а=Ь сводится к очевидному соотно- шению 0<0.
Этим доказано (9). Замечание 2. Иитегрируемость у на (а, Ь) влечет за собой интегрируемость )у( на 1а, Ь| (см. ниже 3 6.7, замечание 2). Для конкретных функций это всегда оче- видно. Например, если функция 1 кусочно-непрерывна на а, Ь) (она, как будет доказано, интегрируема), тогда и у( кусочно-непрерывна, Обратно, из интегрируемости (1(х) [, вообще говоря, не следует интегрируемость 1(х) на (а, Ь|. Например, функция ф(х), приведенная в примере 9 6.1, 1 для рациональных х, ф(х) = т 1 — 1 для иррациональнык х, не интегрируема на (а, Ь|. Между тем (чр(х) (=1 на (а, Ь1 и есть интегрируемая иа [а, Ь| функция.
т е орем а 8. если Гьуннчин 1 итнвврирувиаи нлотрицатсльна на (а, Ь) и суи(гствувт точка сЯа, Ь1 нснрврьмностиу,длхкотороа 1(с) > О, то ь $ 1 (х) ч(х > О (и < Ь). (РО) а Д о к а а а т ел ь о т в о. Будем считать, что с ~ (о, Ь). Так как 1 непрерывна в точке с н 1(с) > О, тоеутеетвуетотреьок(с — Ь,с+31 такой, что (см, $3.3, теорема 4) 1(х) > — Ч > О ЧхМ[с — О, с+31, 1 (с) Тогда ь в-ь с+о ь 11(х) ах ) 1(х)ох+ ) Г(х) нх+ ) Г(х) с(х > О, а а в-ь с+а 6 а.з.
Интеграл кдк Функция верхнего предела 225 потому что е-6 Ь /(к) дх ьо, ~ /(к)дх-.мо, а с+6 в+6 в+6 /(х) дкм ~ Чдх=26Ч > О. е-6 е-6 Если с=а илн с=Ь, то вместо [с — 6, с+6) придется рассмат. ривать отрезок [а, а+6), соответственно [Ь вЂ” 6, Ь). Лемма 1. Пусть /1 обозначает произвольное разбиение отрез- ка (а, Ь) содержащее в сгбе в качестве точки деления точку с. Функция / ограничена на отрезке [а, Ь), и для ее интегральнмк сумм, ссопьмтствующих только разбиениям вида Юь, имеегп место Нш оя,=д Ьд, О Тогда функция / интегрируема на [а, 6) и Ь / (к) дх = / = Нт ого и кн- с Доказательство. Пусть )ч есть произвольное разбиение отрезка [а, Ь), не содержащее точку с: /Е; а хь < х, «... ха < хата «...
х„Ь, гда х„< с < хмь н Добавляя к гч точку с, липучим разбиение /е . Если Хн- О, то и )чл, — О. Еслй вмброснть из он слагаемое /($ ) (ха+а-хм) и прибавить / ($' ) (с — х„) + / (6" ) (х„+ г — с), то получим интегральную сумму аль. Прйзтом он он,+р, где р=/(6а) (хм+а — ха) — /($')(с — ха) — /($ )(х„+г — с), хач ~ $тч~с, с~ 6т~км+т.
Очевидно, )(ь [~ М (ха+а — хм)+М (с — х )+М (ха+а — с) 2М (х, +т — к, ) — -Ь.О. ь - е Сзедовательно, Нт он Иа оа„+ 1!т и=1+О 1. ь - о ьн.- о*,„+„-к - о 5 6.3. Интеграл как функция верхнего предела Заметим, что ь Ь ~ /(х) с[х = ~ / (и) е[м, а а т. е. не имеет значения, по какой букве — х или и — интегрировать на отрезке ~а, 61. Ведь в обоих случаях лкь гл. а опгвдвланнын интвгглл бая интегральная сумм» 7' имеет вид в-1 он= ~ Щ)бхр ~=о Пусть задана интегрируемая на отрезке [и, Ь] функция 7.
Тогда, каково бы ни было х, удовлетворяющее неравенствам о~х(Ь, функция )' интегрируема также на отрезке [и, х]. Это утверждение требует доказательства, но мы не будем его доказывать. В конкретных случаях, как правило, это утверждение очевидно. Например, непрерывная (монотонная) функция на отрезке [а, Ь] в свою очередь непрерывна (монотонна) на [и, х], следовательно, интегрнруема на [а, х]. Зададим произвольное значение хЕ [а, Ь]. Нас будет интересовать определенный интеграл от 7 на отрезке [а, х]. Это есть некоторая функция от х.
Обозначим ее через Р (х). Итак х Р (х) = ) 7 (и) йи. (1) Ь Мы употребляем букву и в качестве переменной интегрирования, чтобы отличить ее от Рас. 77. верхнего предела интегрирова- ния х, На рис; 77 изображен график ограниченной кусочно- непрерывной функции 7 с точкой разрыва с. Число Р(х) для заданного х выражается на рисунке площадью фигуры АВхи. При изменении х на [а, Ь] изменяется Р(х), Теорема 1. Если функция 1 интегрируемо но отрезке [о, Ь], то функция Р, определенная по формуле,(1), непрерывна е любой точке х~[а, Ь]. Доказательство.
Зададим произвольную точку х и придадим ей приращение Ь (на рис. 77 изображено положительное Ь). Имеем (Миг(7" (и)~ то~[а, Ь]). а в.а. интвггйл кйк Мнкция ввгкняго пгвдвлй ззт Мы получили неравенство '1Р(х+Ь) — Р(х))АМ й1, из которого следуеач 1цп [Р (х+й) — Р (х)1 =О, т. е. Р непрерывна в точке х. Подчеркнем, что х может быть точкой непрерывности и точкой разрыва ~, и все равно функция Р(х) непре- рывна в втой точке. Теорема 2.
Если интегрируелаая на[а, о1 функция1 непрерывна в точке хе.[и, Ь1, то в втой точке еуи1еот- вует производнан от Р (см, (1))~ Р'( )=~( ) (2) Доказательство. Пустьх — точканепрерывностиу. Имеем "'*+"„'-""-([1 н1и.-(п.н.~- й а к+й к+й =-,', ~ ~(и)е1и. й ~ У(х)+[у(и)-Г(х)1)ди'- к+а --„'П.)й+-„' ~ [у(.)-ц.)1 их+ й =~ (х) + ~- [1 (и)-7 (хЦди. (3) При получении (3) мы использовали доказанные выше свойства определенного интеграла. В четвертом равенстве мы воспользовались тем фактом, что 1'(х) не зависит от и и при интегрировании по и надо считать )'(х) как посто- янный множитель (см.
теорему 1 $ 6.2). Докажем, что «+й -„' 1 [Ци) — Р(х)1 (и 7-„-РО. (4) к Функция ~ непрерывна в точке х, поэтому для любого в>0 можно указать такое б >О, что если 1й'1 (б, то '11 (и] — 1 (х) ~ ( в %с ~ [х, х-1-п1. ГЛ Ь ОПРЕДЕЛЕННЫЯ ИНТЕГРАЛ Поэтому для (Ь~< б ~ г ггпу-гг*)г~ )~(т г 1г(г-гг г~г~)< и мы обосновали свойство (4). Из (3), переходя к пределу прн В- О, на основании (4) получим, что существует производная Р'(х), равная ( ) р р ( х + и ) р ( х ) и- ь Этим теорема 2 доказана.
Обратим внимание на то, что в теореме 2 хотя и позволялось функции ( быть разрывной на отрезке (а, Ь~, но в той точке х, в которой утверждалось существование производной от Р, предполагалось, что функция ~ непре- рывна. Иначе теорема, вообще говоря, была бы неверна. Теорема 2, в частности, утверждает, что если((х) не- прерывна на отрезке (а, Ь1, то Р(х) имеет производную на этом отрезке, равную ((х) (р'(х)=Дх) Уха~а, Ь1). Таким образом, если функция (' непрерывна на отрезке '(а, Ь|, пго для нее существует первообразная поэтом опг- резке. (г ри этом в качестве одной из первгюбразных можно взять интеграл (1), Отсюда следует, что неопредленный интеграл от функ- г(ии ~, непрерывной на (а, Ь), равен ч $ ~ (х) г(х $ ( (и) йи+ С, х Я (а, ЬЯ, где С вЂ” некоторая постоянная.
и 6.4. Формула Ньютона — Лейбница Эта формула имеет внд ь $ ~(и) г(и =Ф(Ь) — Ф(а) =Ф(х) ~,, (1) О Здесь Г(и) — непрерывная на отрезке (а, Ь1 функция, а Ф(и) — какая-либо ее первообразная на этом отрезке. з вз, еогмглл ньютона- лвнзницл 239 Формула Ньютона — Лейбница была уже доказана в 4 6.!. Там предполагалось известным, что непрерывная на[а, Ь1 функция Г интегрнруема и имеет первообразную на [а, Ь1. Теперь мы уже знаем из 3 6.3, что ннтегрируемость непрерывной на [а, Ь1 функции влечет за собой существование у нее первообразиой иа [а, Ь).
Приведем другое доказательство формулы Ньютона— Лейбница. Вернемся к функции х Р(х) = ) г'(и)би. а (2) Заметим, что а ь Р(а) = $~(и)би=О и Р(Ь) = ~7(и)йи. (3! Кроме того, мы знаем, что Р(х) есть первообразная для ,г(х) на [а, Ь1. Позтому, если Ф(х) есть какая-либо, во- обще другая, первообразная, то существует константа С такая, что Ф(х)=Р(х)+С Ух~[а, Ь1. (4) Из (2), (3), (4) получим ь Ф (Ь) — Ф (а) = Р (Ь) — Р (а) ) ~ (и) йи, ч и мы доказали формулу (1). Пример 1, 1 хз м=~ ! х' бх 3!коз Я з!пхбх= — созх~"= 1+1=2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
