Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 41
Текст из файла (страница 41)
ВО, Рис. В1, р = г (О), может быть определена следующим образом (рис. 80), Производим разбиение отрезка (0„0,1: 0„ < 0, ... С 0„ = 0,. Элемент площади фигуры, ограниченной кривой Г и лучами 0=0„, 0=0„оо приближенно выражаем площадью кругового сектора, ограниченного теми же лучами и окружностью радиуса ро=7(0 ), равной 1 яр~ Естественно считать, по определению, 1 е, Б= Лщ 2 Х р$8ои — — ~ р'М= ~ 7'(8)с(8. пои ьзо - о омо 2е4 Гл. ПпРиложения интегРАлов, пРиелиженные методы Мы получили формулу площади фигуры в полярных координатах.
Для непрерывной функции 1(О) интеграл (1), как мы знаем, существует и, следовательно, предел любой интегральной суммы равен этому интегралу. Пример. Изображенная на рис, 81 окружность в полярных координатах определяется уравнением р = = 2|с созО. В силу (1) площадь круга л/в л! в 3=2йв ~ созвйа0=4йв ~ с(О=ЛЮ Г |+сов 28 2 — л/в о О 7.2. Объем тела вращения Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат х, у непрерывной положительной функцией у=|".(х) (а<х<О), Вычислим объем Р' тела вра- У щения, ограниченного плоскостямих=а, хх б и поверхностью вращения кривой Г вокруг оси х.
у Р1, ЛЙЛ а Производим разбиение отрезка 1а, 61 на части: а =- хо < х| « ... < х„= 6 — н счиРис. 62. таем, что элемент М' обьема тела, ограниченного плоскостями х=хья х=-хо„, приближенно равен объему цилиндра высоты Ахль =-хь~, — х„и радиуса уь =~(хь): ЛУЬ ПУЬвЬХВ = П~ (Х )ойХА. о в Величина )в„=п,2" ,)в(хь) бхь приближенно выражает Р' и ь=о о-в ь 1пп и ~ 7'-(х )бх =и ~7'(х)а'х, (1) лвох Ах„о О=о Мы получили формулу объема тела вращения (рнс. 82). Пример. Эллипсоид арап|ения (вокруг оси х) к' ув -~- в' —,+ |, <1 есть тело, ограниченное поверхностью вращения кривой -/ хв у=О ~/ 1 —, ( — а х<а) $7,3.
ГлАдкАя кРиВАя В пРсстРАнстВВ. длинА дуГи Вез вокруг оси х, поэтому на основании формулы (1) его объем равен у'=лЬГ ~ (1 —,)йх=пЬ'(х — а)1 = — паЬ' -а $ 7Л, Гладкая кривая в пространстве. Длина дуги равнения (рис. 83) -а й (а а-. 1(Ь), (1) а для всех (б(а, Ь]. Если мы зададим определенное значение (=1,, то В силу (2) одно из слагаемых гр'(га), аР'((а), Х'(1а) — пусть первое — не равно нулю (Гр' (Га) чь О). Вследствие непрерывности ~р' существует интервал (га — б, 1,+ 6), на котором Гр'(Г) имеет тот же знак, что и Гр'(г,). Но тогда на этом интервале функция х=~р(Г) строго монотонна и существует обратная к ней непрерывно дифференцируемая функция (=гр '(х), хЕ(с, й), где (с, й) — некоторая окрестность точки х,=-~р(г,).
В результате мы получим, что некоторый малый кусок у кривой Г, содержащий в себе точкУ А, = ЬР (1,), ф(1,), т (Га)), описываетсЯ двУмЯ В З 4.21 было введено понятие плоской непрерывной кривой, заданной параметрически, в частности гладкой кривой. Ыы хотим пополнить этн сведения. Но заодно будем рассматривать более общую кривую в пространстве.
Три у х=<р(1), ра ф(Г) В=Х (г) ,р где функции Гр, ар, Х непрерывны на (а, Ь], определяют нгпргрывнрю кривую, которую мы обозначим через Г. Если к тому жефункции ~р, Ф, у не только непрерывны, ио имеют на (и, Ь] непрерывные производные, одновременно не обращающиеся в нуль, то Г называется гладкой кривой ки (а, Ь]. Тот факт, что производные ср'(1), ар'(1), т'(() для любого значения 1Е [а, Ь] одновременно не обращаются в нуль, можно выразить так: имеет место неравенство ( р' (г))'+ (11>' (1))" + (т' (1))' > О (2) ива Гл. к приложгния интвгРллов пРизлижвнныв мвтоды непрерывно дифференцируемымн функциями от х~ у=111)ф '(х)1=ф;(х), з=ХЙ '(х)1=-Х,(х) (с<х<й, с <х,<й, х,=ф((,)).
Если, на самом деле, ф'(1,)ФО или у'((,)ФО, то, рассуждая подобным образом, получим, что некоторы(1 кусок у ~ Г записывается уравнениями х=- и, (у), г=т,(у) (к<У<и, к<У„<Р, Уе=-ф(~,)) или соответственно х=ф,(г), у=ф,(х) (р < г <ц, р «, ц, х. = Х (1.)) Уравнения (1) гладкой кривой Г ие только задают Г (как геометрическое место точек (ф ((), ф (1), т, (С)), У Е (а, Ь1), но и определяют ориентацию Г, т.
е. направление, вдоль которого возрастает параметр (. На рис. 83 изображена гладкая кривая Г, соответствующая изменению параметра иа отрезке 1а, Ь1 (а <Ь): А=(ф(а), ф(а), у(а)) — на- чальная точка Г, В=(ф(Ь), ф(Ь), т,(Ь)) — конечная точка Г, стрелка указывает ориентацию Г. Когда параметр т непрерывно возрастает от а до Ь, точка (ф((), ф((), т(()) непрерывно двигается по Г от начальной точки А=(ф(а), ф(а), 11(а)) до конечной точки В=(ф(Ь), ф(Ь), Х(Ь)).
Движущаяся точка может возвра- титься в прежнее положение, т. е. может случиться, что 1О (,Е(а, Ь), ~~ < (, и ф((г)=ф((з)* ф((,) =ф((э) Х((-) = = у (1,), й тогда кривая Г называется самолересекающейсл. Кривая Г называется замкнугпой, если точки А и В сов- падают. Введем функцию (=Х(т), с<т<а, имеющую непре- рывную не равную нулю производную на (с, й1 и отоб- ражающую (с, й) на (а, Ь). Так как Х'(т) не меняет знак на 1с, й), то может быть только два случая: 1) Х'(т) > О, и тогда Х(с)=а, Х(й)=Ь, 2) Х'(т) < О„и тогда Х(с)=Ь, Х(й)=а. Наша гладкая кривая Г может быть задана уравнениями х=фР (тН=ф,(т), у= ф(ь(т)1 = фр (т), .=Хр (тй=Х,-'(т) (1 ) 3 кх ГлАдкАя кРиВАя В пРОстРАнстВе. длинА дуГи Рат при помощи параметра т(с~те..д).
Одна и та же гладкая кривая Г может быть задана парзметрически посредством разных параметров 1, т,... Заметим, что условия (2) на языке т сохраняются, потому что согласно формуле производной функции от функции ( р' (т))'+ (ф1 (т))'+ (Х' (т))'- = [( р' (1))'+(ф' (1))'+ ()!' (1))'1 (Л' (т))' ) О. (3) Однако при введении нового параметра т может изме.
ниться ориентация Г. Если Л'(т) > О на !с, д1, то функция ! Л(т) строго возрастает и Л(с)=а, Л(й)=Ь. В этом случае с возрастанием т возрастает ! от Л (с) =- а до Л (д) = Ь, т. е. ориентация Г не меняется — уравнения (1) и (1') определяют одну и ту же гладкую кривую с той же ориентацией, только при помощи разных параметров. Если же Л'(т) <О на !с, й1, то Л(с) Ь и Л(4=а и при возрастании т параметр ! убывает. В этом случае уравнения ~2 (! ') определяют ту же кри- ДР-Г вую Г, что и уравнения ЛГ (1), но с противоположной ориентацией. Ю=ЛР В тех вопросах, где А -АР нужно учитывать ориентацию кривой, под буквой у Р Г понимают не только са" мую кривую (геометрическое место точек), ио и ее ориентацию.
Иадо помнить, что уравнения (!) Определяют как саму кривую, так н ее ориентацию (движение точки Г в направлении возрастания !). Если заменить параметр ! на другой параметр т(1 = Л(т)), то получим ту же ориентированную кривую Г, если Л' (т) ) О. Если же Л'(т) < О, то получим ту же кривую, но ориентированную противоположно — ее уже (как ориентированную кривую) надо обозначить другим символом, удобно через Г . Если задана ориентированная кривая Г посредством уравнею й (1), то Г можно, например, задать уравнениями ( — Ь(т< — а).
268 ГЛ. 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ПНТВГРАЛОВ. ПРИЕЛИЖЕННЫС МЕТОДЫ (Гн!= ~~~ р!ААА„.„!. а=о (4) Г)редел длины Гн, когда максимум 17ах — 17 стреиится к нулю !Нп )Г ~=:(Г~, (8) ахах (1 -1 1-х О если он суи1есп7вует (есть конечное число), называется длиной дуги Г. Мы его обозначили через ~Г!. Можно доказать, что для любой непрерывной кривой (1) предел (5) конечный или бесконечный (+за ) существует. В случае, если этот предел конечный, кривая называется спрял1ляемой. Теорема 1.
Гладкая на 1а, Ь) кривая Г, определяемая равенствами (1), спрямляема. Ее длина дуги равна (Г1=- ~ У(Ч'(1))х+(Р'(1))х+(т.'(1))хйг. (8) а В этой формулировке важно, что уравнения Г заданы на отрезке (а, Ь1. Если бы они были заданы на интервале (а, Ь), где Чх, ф, т непрерывно дифференцируемы на (а, Ь) и их производные одновременно не равны нулю, мы тоже сказали бы, что уравнения (1) определяют гладкую на (а, Ь) кривую, но она могла бы и не быть спрямляемой. Однако л1обой ее кусок, соответствующий некоторому отрезку (с, й)х=(а, Ь) спрямляем.
Доказательство теоремы 1. Применяя теорему Лагранжа к функциям р, х)7, Х, будем иметь (ххах = !Аа1 — 1„, Введем понятие длины дуги непрерывной кривой Г. Пусть задана непрерывная кривая Г посредством уравнений (1). Разобьем отрезок (а, Ь) значениями а=(, < < 1, < 11 «... (А,— — Ь. КаждОМу ! СООтзвтетауЕт тОЧКа ААЕГ (А„=А, Анд=В). Соединим точки А„последовательно отрезками А„А„,, (рис, 84). В результате получим ломаную Гн= А,А,...Ан, вписанну1о в Г.
Длина ГА Равна сУмме длин ! ААААа,~: о 11 Глолзая зж1зая з пяостРАнсгзк ллинА дуги 2а9 Хя-— — шах Ио) Ы= р(г „) — ч(2О)= 2',(Яб(А, Лф =-ф ((„~,) — ф((„) =ф' ((~) М„, ДХ=Х(Г +1) — К((В)=Х'(Ео") ЛГ и следовательно (пояснення ниже), !о- ! (г (- Х р'(69)*+(лф) +рх)- А=О и-! -Хр' «=о А1- ! = Х Р'[р'( Оио +..- ~) Ая-~ Оа о(( (7) (здесь го', го, го" ~ (го, го+1) — вообще различные точки), т. е. справедлива формула (6). В самом деле, в силу непрерывности подынтегральной функции в (6) А1- ! !!ш Х 1УГ Ч! ( А)1'+И (2а)1 + К (ЬО1 ЫО Ая- О А=О Ь а Кроме того, заметим, что выполняется неравенство ~ р'В+в+И вЂ” )~ч, +ч'.+ч,'1'= а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
