Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 43
Текст из файла (страница 43)
(1) о 41.6. ннткРНОлчцноннхя ФОРмулА лАГРАнжА 21в Пример. Найти плопГадь О поверхности вращения эллипса — ", -1- ~,, =1 (а > Ь) вокруг оси х (площадь поверхности аллипсоида вращения). Р е ш е н и е. Уравнение верхней половины эллипса ь Ь х у= — )4 а' — ха((х~(а), у = —— а а Р аа ха 4 -а 4.Ь Г Ь) Р'а' — (а' — Ь') А' 41х= (и = х)' а' — Ь*) = 4 Ь'а*-Ь* 4ЛЬ вЂ” у' а4 — и444'и аар а4 — ЬЬ а 4аь 1 а — а4, а 1!а1'44-44 — 1-Ь а4 — и'+ — агсз1п — 1~ а4 1' а4 ЬЬ 1 2 2 аа 41 )а 2аЬа' Г4 аь — ЬЬ )' а~ — Ь' = 2ньь + — 'агсз1п При Ь- а в пределе получим, что 5=4иа' — площадь поверхности шара радиуса а. и 7.8.
Интерполяционная формула Лагранжа Поставим задачу. Требуется найти алгебраический многочлен ь',„(х) степени не выше, чем л, который совпадал бы с фуйкпней ~(х) в заданных точках х„, х„..., х„. Таким образом, должны выполняться условия 1(хх)=-7,„(хх) (у=О, 1, ..., и). Многочлен Е„(х) единственный. Если предположить, что существует еще олин многочлен 1,„(х) с теми же свойствами, то разность 7 а (х) —,(,„(х) обратится в нуль в и+1 точке х„..., х„и будет алгебраическим многочленом степени не выше, чем л, значит, разность тождественно равна нулю и (.„(х)=Ха(х). тао Гл. е пРилОжения интеГРАлОВ.
пРивлиженные методы Из единственности следует, что если исходная функция ~(х) сама является алгебраическим многочленом степени н, то она совпадает с «'.„(х) для всех х. (1 (х) = — г „(х)). Сначала найдем алгебраический многочлен степени н 1;>„, «(х), который в точках х,чих«равен нулю, а в точке х, равен единице. Очевидно, что »е„«(х) = А (х — х„)... (х — х«,) (х — х,)... (х — х„), где постоянная А находится из условия 1 = 9„, «(х«) = А Д (х, — х;), т. е, А = Ц (х, — х ) '. 1=« 1=0 1~« 4 е « Таким образом, искомый многочлен имеет вид Если ввести в рассмотрение символ Кронекера ) О, /гФ.1, 1, й=1, то »», «(х ) = бы Поставленную задачу решает многочлен а «'.„(х) = ~з ()„«(х)1(х«), «=о Х,„(х,) = ~ха Я„,«(х;)1(х„) о Ь«ф(х«)=~(х») «=о «=о (1=0, 1, ..., Л).
Многочлен (1) называется иниернолябионным много- членом Лагранжи Так же как при получении формулы остаточного члена в формуле Тейлора можно показать, что если ~(х) имеет производную (и + 1)-го порядка, то р" '" (6) г(х) — (.„(х) = ( + о«„+,(х), (2) з кк интеРполяциОнная ФОРмулА лАГРАнжА з31 где е„+1 (х) = П (х — х,) Г=а и 3 †некотор точка, принадлегкащая к наименьшему отрезку, содержащему точки х„ х„ ..., х„, х. В самом деле, положим р (х) — Ь„(х) = Кв„+1(х), (й) где К вЂ величи, зависшцая от х. Обозначим вр (г) = р' (г) — Х.„(г) — Ксо„+, (г), где К имеет то же значение, что и в (3), это величина, не зависящая от г.
Ясно, что ~р(х)=0, ~р(х1)=0 (1=0, 1, ..., Л). Пусть, например, х, < х < х, «... х„, тогда, применяя теорему Ролла к функции ~р на отрезках [х„х), [х, х11... „[х„н х„), получим, что производная Гр'(х) обращается в нуль внутри каждого из них. Затем, при- меняя теорему Ролла последовательно к функциям <р', ... ..., ~р'л', получим, что существует точка $, принадлежа- щая наименьшему отрезку, содержащему в себе точки х, х„х„..., х„, в которой ~р'л'НД) =О, но Ч ы+н (г) Ил+и (г) К (л+ 1)1 рл+" (з) Полагая г = $, получим К = .
Поэтому (и -)- 1)) и равенство (2) доказано. Интерполяционный многочлен Лагранжа находит применение в приближенном вычислении производных функции )" (х), когда ее значения известны только в точках х„х„...„х,. Л именно, полагают )чА'(х) = Цм (х). напРимеР, если Р(х) известна в точках х„, хо то, построив по этим точкам многочлен Лагранжа ~~ (х), найдем, пгА —.Ны. х1 — хл В последующих параграфах мы укажем применение многочлена Лагранжа при приближенном вычислении определенного интеграла.
Звв гл, е пгнложвния интас хлоя и ивлижеоныв мвгоды $7.7. Квадратурные формулы Прямоугольников и трапеций Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке [а, Ь) функции Г', Если известна ее первообразная, то для этого естественно применить формулу Ньютона †Лейбни. Но далеко не всегда перво- образная известна, н возникает задача о приближенном вычислении интеграла. Простейший способ приближенного вь|числения апре.
деленного интеграла вытекает из определения последнего. Делим отрезок [а, Ь~ на равные части точками х„= а + Ь:, (й = О, 1, ..., Л1) и полагаем ь — о ~ч-~ р (хь+кь+1) с=о (2) где знак ж выра>кает приближенное равенство. Выражение (2) называется квадратурной форму,юй прямоугольников. В случае рис. 92 искомая площадь фигуры, ограниченной крнвой у=г(х), осью х и прямымн х-а, х-Ь, приближенно равна сумме площадей изображенных там прямоугольни. ков. Мы знаем, что для г л-г г~ гг й~а непрерывной на [а, Ь1 Рис. И. функции предел при У вЂ” со правой части приближенного равен.
ства (2) точно равен левой, что дает основание считать, что при большом У ошибка квадратурной формулы (2), т. е. абсолютная величина разности правой и левой ее частей, мала. Однако возникает вопрос об оценке ошибки. Ниже мы узнаем, как эту оценку получить, если потребовать, чтобы функция г, кроме непрерывности, удовлетворяла некоторым условиям гладкости (т. е. имела бы некоторое число производных). Очень важно заметить, что если функция р(х)=Ах+В есть линейная функция, то для нее формула (2) пючна— 262 Гл.
1. пРилОжение интеГРАлОВ, пРНВлиженньге методы верная для формул прямоугольников и трапеций. Теперь уже порядок приблнжения посредством обеих рассматриваемых квадратурных формул есть 0()у-з). Оказывается, что для класса функций, имеющих ограниченную производную порядка ! > 2, порядок приближения посредством формул прямоугольников н трапеций не улучшается †поряд остается равным О (А1 2).
Объяснение этого явления тесно связано с тем фактом, что обе квадрзтурные формулы †прямоугольник и трапеций †являют точнылш для многочленав первой степени, но онн неточны для многочленов степени выше чем 1. Если функция ! имеет третью ограниченную производную, то можно пр ндумать квадратувьную формулу, дающую погрешность приближения порядка 0(дг ).
Эта формула дрлжна быть точной для многочленов второй степени. Но если ова не точна для многочлеков третьей степени, то для функций, имеющих ограниченную производную четвертого порядка, погрешность приближенна остается имеющей порядок О (У-з). Явление, которое здесь списывается, будет проиллюстрировано на примере квадратурной формулы Симпсона 1) в й У.8. Приведем доказательство оценки (2'). Введем обозначения, Ь = = —, еьл'= — х — —, хл — точки системы (1). Тогда Ь вЂ” а . ха-1-ха )У '' 2 и М вЂ” 1 Х-1 Г" (х) з(т — й ~~Р ~Г(еа) о з о йз —, з йзе 2 ! (х) Ых — 61" (ВЛ) З 2 [1 (х) — ! ($З)) Лх, 2) Т. Симпсон (1710 — !76!) — английский математик. Нугкно сказать, что здесь константы вычислены точно — нх нельзя уменьшить. Вывод оценки (2) праведен ниже.
Остальные оценки мы лаем без доказателъства. Ы11 ВНДКМ, ЧтО в обоих сл)1чаяя дЛя КЛасСа фуНКцнй, имеЮщИХ ограниченную проьшзодную )) (х))~ Мг, остаточные члены имеют порядок О(М 1) (см. й 3.10, (14)). Для класса же функций, имсющнх ограниченную втору1о производную ))" (х)) -Мз на (и, Ь), имеет место оценка 12Ь(з э 7.Э. ФОРМУЛА СИМПСОНА так как а эа~ Е(аэа) с)х=аЕ Яа), а Ьа з Применяя теорему Лагранжа под эиаком ивтеграла и учитмвая, что ( Е' (х) ) ек Мс, получаем а и-! ~важа(~ Х ~ Е'(Е,)(х — йа)ех ~ о а са и-с аа+ з ьс-1 Ьа" у а ~~Р ) ) Е' (Оа)) )х — аа/ да о=Ма ~ ~ (х — аа(с)х, о а 5-— а 2 2 где ва — точка, лежащая между х и яа.
Производя эамеиу перемеииой х — $а=г, получаем А| с а/з а/а ) Дсо(Е)) «м ~~Р ~ ) с) сс(=2м~ дс ~ сссс= о Сэ !Ьсэ Мсасда М, (Ь вЂ” а)|) -2М,СУ вЂ” ~~ 2|о 4 ч 5 7.8. Формула Симпсона Пусть требуется приближенно вычислить интеграл от непрерывной функции Е(х): ь ~ Е(х) с(х. а Будем искать приближенное значение интеграла в виде сумьсы ь а ~ Е(х) с(хж К раЕ(ха), (2) где р„р„..., р„и х„х„..., ха ~ '(а, 61 — заданные числа. Формула (2) называется квадратурной формулой с узлами ха и весовьсми лозсЕсфссс(иесстами р,. При построении конкретных приближенных формул мы выставляем требование, чтобы формула (2) была точ- 2ае Гл.
е пгиложения интеГРАлОВ. ИРивлижеь!Иые метОды ной для алгебраических миогочленов степени л. Это условие будет выполнено, если в качестве приближенного значения интеграла (1) мы возьмем определенный интеграл от интерполяпноиного многочлена Лагранжа л-й степени функпии г: ~ ) (х) дх ж ~ (.„(х) «х= и = ~ Х О„,А (х) г (х ) <(х = Х рь) (хь), (3) рь = ~ Я„, А (х) ь<х (Ь = О, 1, ..., л), <',)„х (х) = Ц (х а ьаа < Рай потому что, если Г(х) — многочлен степени и, то )(х) ма = — ( „(х).
Получим формулу (3) для случая и 2 н узлов х,=а, и+Ь х,= —, х,=ь, В этом случае <',),,, (х)— <х — ха) <х — к,) (х — Ь) (2х — а — Ь) 2 (и — Ь)' х-Ь <ха — х„) (ха — ха) (Ь вЂ” а)а (Ь вЂ” а)' Ь-а' — + (х — ха) (х — ха) — 4 (х — п) (х — Ь) (х)— (хь — ха) (х, — х,) (Ь-а)а (х — Ь)а х — Ь = — 4 — 4 —, (ь — ар ь — а' (х — ха) (х — хь) (х — а Ц2х — а — Ь) 2 (х — а)' х — а <ха — ха) (ха-х,) (Ь-и)' (Ь-а)' Ь вЂ” а' Поэтому а Аналогично рассуждая, получим ь р1 = 3 <)а, ь (х) <(х = ~ з — 1 ра = ) ()а, а(х) ь(х = В силу этого формула (3) при л=2 имеет вид взт $ г.з ФОРмулА симпсонА Эта простейшая квадратурная формула Симпсона, соответствующая отрезку (а, Ь1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
