Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 44

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 44)

С геометрической точки зрении формула (4) означает, что мы заменили площадь криволинейной трапеции, опреДелаемой фУнкцией Г (х) на у (а, Ь), на площадь, находя- у ггпу щуюся под графиком параболы (рис. 94)г у=Е (,х)=Г(а)Я, (х)+ +г ~ 2 1 ~г' ()+ +Г(Ь) О,,(х). гг а д Ь 3 е Еще раз отметим, что по Рис. 94. построению формула (4) точна для многочленов второй степени.

Однако ~называется, что она точна и для многочленов третьей степени. В самом деле, ь хае(х = —,, а правая часть формулы (4) для функции Ьа — а' а Г(х)=ха также равна атому числу' — +4~+)'+Ь ~ = 6 ((+)( + )+ з Ь-аГ а а (а+ Ь)аг Ь' — ааГЗ(аг+Ьг) г Ьа — аа Таким образом, формула (4) точна д:гл гяноам генов не еыгае третьей сгггепени.

Если разделить отрезок (а, Ь) на 2йг равиык частей точками ха=а+:,~й (Ь=О, 1...„2Лг) и к отрезкам [х„х 1, (х„хг), ... применить формулу (4), то в результате получим (услоежненную) кеадр тург,ую грорму:д Сгггипсона ~~(х)йхж — Д(х,)+4~(х„)+2~(х,)+4~(х,)... а .. + 2) (хан-г)+ 4~ (хан-г)+) (хггг)). (5) 233 Гл. т. пРилОжгния ынтегРжпОВ. пРиБлиженные метОды С точки зрения практических вычислений сложность вычислений по формуле Симпсона и прямоугольнвков одинакова. Но если функция [ достаточно гладкая, то погрешность приближения по формуле Симпсона при больших У значительно меньше соответствующей погрешности при приближении методом прямоугольников. Если функцня [(х) имеет на отрезке [а, Ь[ вторую непрерывную производную, удовлетворяющую неравенству [)" (х) [~ Мм а третью не имеет илн мы не можем почему-либо ее оценить, то прн ь вычислевии интеграла ~ 7 (х) бх рекомендуетси применить формулу а трапеций, а еще лучше — формулу Симпсона.

Можйо доказать, что погрешность приближения по формуле трапеций 8 7.7, (3)) будет: 1 (8 — а)з — Мэ 12 Д'а (6) и по фориуле Симпсона (6): ! (Ь вЂ” )з 81 Уз — — м, Если функция [(х) имеет на [а, д[ четвертую непрерывную про. изводную, удовлетворя!ощую неравенству [[!о (х) [еи Мм то в этом случае рекомендуется применить формулу Симпсона. При этом погрешность приближения будет.' ! (Ь вЂ” а)з — — Мо 2830 Д!' (7) Если бы мы в этом случае применили формулу трапеций, то погрешность приближения по-прежнему имела бы порядок !у-з, т. е.

была бы хуже чем (7). Пример !. Вычислить интеграл ! 1= ~ ) 1+х" бх. О Данный интеграл (от биномиального дифференциала) не вычи- сляетси в элементарных функциях. Вычислам этот интеграл приближенно, деля отрезок [О, ![ на десять равных частей, используя различные квадратурные формулы. Обозначим точки деления [О, 1[ через хо=О, ха=-0,1, ..., ха —. = 0,9, хи,=1. Вычислим приближенно значения функции 7(х) = 'Г~ 1 1-[-ха в этих точках: [(0) =1, [(х,) =1,00005, [ (хз) = 1,00404, [ (ха) = 1,01272, 7 (ха) = 1,06283, [ (х,) =1,11360, [ (хз) =.

1,28690, 1 7.З. ФОРМУЛА СИМПСОНА 289 Согласно квадратурной формуле трапеций /оа — [/(х.)+2/(хл)+...+2/(х)+/(хг,))= ' =!,09061. 1 21,812!9 20 о 'о ло 20 функция /(х) = у !+хл имеет сколько угодно непрерывных производных на промежутке [О, !). Как мы отмечали выше, наличае производных порядка выше второго не влияет на точность формулы трапецнй. Поэтому погрешность формулы трапеций определим, походя нз факта существования второй непрерывной производной /" (х)=2хо (3 1 хл)/(1-+хл)о/о Так как Ма=шах/" (х)=2)/ 2, то остаточный член формулы трапеций /сло (/) аь: —,'"' = —, 0,002337.

Мо 2[7 2 '12/У 12 10о Итак, / =.1,0906 ~ 0,0024, По формуле Симпсона (231 !О) ! / 30[/(хо)+4/(хл)+2/(х~)+4/(хо)+2/(хо)+4/(хо)+ +2/(хо)+4/(хл)+2/ (хо)+4! (хо)+/(х(о))= — ', =1,08949. 32,68473 30 Остаточный член формулы Симпсона можно опредезнть, учнты- вая, что /(х) нмеет непрерывную производнуло четвертого порядка (наличне производных порядка выше четвертого не влияет на точ- ность формулы Симпсона) /лл> (ш 12 (1 14хо-1 бхо)П1 -1-хо) о/о. Так как М, шах) /<л'(х))о.13)л 2, то /ло (/) ~2880ул~~~ 0 ло 0,000012 < 0,00002, Таким образом, /=1,03949 4 0,00002, т. е.

формула Симпсона значительно точнее формулы трапецнй для достаточно гладких функций н большого 3). Замечав не. Все вычисления пронзводилвеь прн цомощн ручного микрокалькулятора оЗлектроника БЗ вЂ” 18М». 1О Я. С, Вуорао, С. М. Ноаальооиз ГЛАВА 3 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ 5 8.1. Предварительные сведения Понятие функции многих переменных введено в 2 3.1.2.

Нам предстоит построить дифференциальное исчисление для функций многих переменных. Основные сведения мы излагаем для функций двух переменных. Полученные результаты легко распространяются по аналогии на случай большего числа переменных, Мелким шрифтом излагается п-мериый случай. Итак, мы будем рассматривать пространство (плоскость) Я, точек (х, у). Зададим в ьг, точку (х„у,).

Множество точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенству (х —,)'+ (у — уь)' < а' (а > О), называется открытым кругом радиуса а с центром в точке (хь уь). Множество же точек (х, у), координаты которых удовлетворяют неравенствам )х — х„)<а, 1у — у,~<о (а, о>О), называется открытым прямоугольником. Если а=о, то открытый прямоугольник обращается в открьопый квадрат с центром в точке (х„у„) с длиной стороны 2а 1~ х !<а 1у УО! <а' Любой открытый круг радиуса е > 0 или квадрат со стороной длины 2е с центром в точке (х„у,) называется окрестностью или е-окрестностью втой точки.

В оа. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ Если задана последовательность точек (х„у,), (х„у,), (х„у,), ..., то будем еще говорить, что перелоенная точка (хоп у ) (У=1, 2, 3, ...) пробегает значения влюб последовательности. Говорят также, что последовательность точек ((ха, у )) или переменная точка (ха, уа) стрелоится к точке (х„у,) при А- оо, если расстояние между этими точками стремится к нулю при й- оо: 'г'(х — )'+(у — уо)*- О (й — -) (1) При этом пишут (ха Уа) ' (хо Уо) (к оо) Свойство (1) эквивалентно, очевидно, следуюцгим двум свойствам: "а х уа уо ()г ) (1') которые должны выполняться одновременно. Свойство (1) можно выразить еще такими словами! для всякого е > О найдется натуральное число Л~ такое, что точка (хго у„) окажется в открытом круге радиуса е с центром в (х„ у,) для всех л > й(.

Свойство же (1') можно выразить так: для всякого е > О найдется натуральное число М такое, что точка х, у ) окажется в открытом квадрате со стороной длины в и центром (х„ у,) для всех й > Ж. Обе эти формулировки можно объединить, сказав, что для всякого е > О найдется натуральное число йу такое, что точка (х„, уа) окажется в е-окрестности точки (х„у,) для всех й > М. В л-мерном енклндоаом пространстне й» расстоянке между точкамн «=(хы ..„х„) я у=(рм ..., Уа) определяется яо формуле / л 1« — У1=)гг ~~~ (ха — ва)о.

а ) В Р„множестао точек «=(ха, ..., х„), лля которых ныяолкяется неравенство о ~ч~~ (ха — ха) < оо (а > О), а 1 )оо Гл. а. Функции мнОГих переменных 292 нэзь»ваесся «-мерным открытию итром радиуса а с не«тром я точке хо = (х,, ..., хо). Множество же точек х, координаты которых удовлетворяют нераненствам ) хг — х1 ( ( аы °... ) Хп х»! ( а» где а„ао, ..., а„— ааданные положительные числа, называется «-мерным открмтйм прямоугольником (параллелепипедом). Если ат=ао»» ° ° ° =а»=а, то пароляелепипед превращается в «-мерный открытый куб а цен»п- рем е точке хо=(хг, ..., х„) и ребром длины 2е.

о о Любой открытый «-мерный шар радиуса а вли куб с центром в точке хо н длиной ребра 2е называется «-мерной щокрестносамю точки хо. Посяедоватеаьность точек в гс, хт=(хти .", х»), х'=(х'„..., х»), х'=(хаи „., хя), определяет переменную точку ха =(хы " ., х„) (д = 1, 2, 3, ...), ))еременная точка ха стремится к точке хо=(хоы ..., хя)» если рзсстоянне между этими тачками стремится к нулю при й - оо; (х — '(=М/ Х (4 —.()'-О (й- ). (2) Свойство (2) зкнноэяеитпо следующим «свойствам, которые долгины выполняться одновременно: х, — »хы хо — »хо, ..., х» — »х„(й — » оо). (2) ь о а о ь о Свойство (2) нли (2') можно выразить еще словами: для всякого в > О можно указать натуральное число Л' такое, что длв всех й > Ф переменная точка ха окажется принадлежащей в-окреетиоств точки хо. 8 8.2.

Предел функции В 2 3.2 рассматривалось понятие предела функции одной переменной. Здесь зто понятие обобщается на случай функции многих переменных. Ограничимся случаем двух переменных х, у. По определению функция у(х, у) имеет предел в пточке (х„уо), равный числу А, обозначаемый так: )пп у(х, у) =А ()) я х» у-»у» з вз пзедвл Функции (пишут еще г(х, д) А при (х, у) (х„у„)), если онз определена в некоторой окрестности точки (х„у,), за исключением, быть может, самой этой точки и если существует предел !пп 1(х„, у„)=А, к, к, вз какова бы ки была стремящаяся к (х„, у„) последовательность точек (х„, рь). Так же, как в случае функции одной переменной, можно ввести другое эквивалентное определение предела функции двух переменных: функция 1 имеет в точке (х„у,) предел, равный А, если она определена в некоторой окрестности точки (х„у,) за исключением, быть может, самой этой точки, и для любого з ) О найдется такое 6) О, что (3) ))(х, у) — А!<е для всех (х, у), удовлетворяющих неравенствам О < ~Г(х — х,)'+ (у — и,)' < 6.

(4) Это определение, в свою очередь, эквивалентно следующему: для любого е > О найдется б-окрестность точки (х„у„) такая, что для всех (х, у) из этой окрестности, отличных от (х„у„), выполняется неравенство (3). Так как коордийаты произвольной точки (х, р) окрестности точки (х„р,) можно записать в виде х=х,+Лх, у=у,+Лу, то равенство (1) эквивалентно следующему равенству: 1пп ~(х„+Лх, у,+Лу) А. Ьх О а|, о Рассмотрим некоторую функцию, заданную в окрестности точки (хм у,), кроме, быть может, самой этой точки. Пусть м=(а„, е ) — произвольный вектор длины единица (! в ~' = а„'+ со,", = 1) и 1 > Π— скаляр.

Характеристики

Список файлов книги