Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 46
Текст из файла (страница 46)
5 З д. НЕПРЕРЫВНАЯ ФУНКЦИЯ зо) Из теоремы 1 2 8.2 и определения непрерывности функции в точке непосредственно следует Теореме 3. Функция у(х, у), непрерывная в точке (х„у,) и нв равнан нулю в втой точке, сохраняет знак числа ) (х„у,) в некоторой окрестности точки (х„у,). По определению функция 1(х)=)(хн ..., хе) непрерыела е точке хе= (хеы ..., ей), если она определена в некоторой ее окрестности, в том числе и в самой точке х', и если предел ее в точке хь равен ее значению в ией: Ига ) (х) =) (хь).
(2) Условие непрерывности ) в точке х' мокспо написать в эквивалентной форме: (2') Ига ) (хь+ Ь) ) (хь) т. е. функция ) (х) непрерывна в точке хе, если непрерывна функция ) (хе+В) от В в точке в=О. Можно внесли приращение г' в точке хь, соответствующее при. ращению Н=(йн ..., Й„), аа) (х') = г (х'+ В) — ) (х') и иа его языке определить непрерывность 1 в хь: функция Г непре.
рывка е хь, если Ищ Ль)(хь) Ищ ()(ль+Ьн ...,л„"+Ь„) — 1(ль, ...,кпь))=0. ь ь Ьь ...,Ь„-Е (2") Из формул (6) — (8) 5 8.2 непосредственно следует Т е о р е и з 1'. Сумма, разность, произеедепае и частное непре- рмепмл е точке хь функций )(х) и ~р(х) еепю непрерывная функция е втой точке, если, конечно, е случае частноео Ф (х") ь О. Замечание. Приращение оя) (хе) называют также полным приращением фупкцаи ) в точке хь. В пространстве йп точек х=(л„..., хп) зададим множество точек 6. По определеииюхь=(л„..., хе) есть енутрекняя точка мноь 9 яеестеа б, если существует открытый шар с центром в нем, пол- ностью принадлежащий к П. Множество О<-)сь называется открытым, если все его точки внутренние, Говорят, что функции ха ~ра(Г), ..., к ~ре(Г) (ае (~Ь) непрерывные на отрезке (а, Ь), определяют нмерермелую кривую в Ыь, соединяющую точки х'=(яы ..., кп) и хз=(к„..., хп), где 1 1 з 3 з х~т <рт (а), ..., ха = ~р„(а), хт Ч~Г (Ь), ...; ла = ср„(Ь).
Букву нааывают параметром кривой. Множество д называется сеяетии, если любые его две точки х', ха можно соединить непрерывной крщюй, принадлежащей О, связное открытое множество называется обмизпью. 302 ГЛ. Е. ФУИКИИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЪ|Х т е о р е м а 4. пусть бгуннчнн /(х) опргдгмно и нгнргрмгно но й„(го всех точках )Снь Тогда ином»стао 0 точен х, гдг оно удоглгтгорлет неравенству /(х) > г (нлн /(х) < с), канона бы нп били постоянная с, есть открытое множество. В самон деле, функция р(х) /(х) — с непрерывна пв )гн, и множество исек точек х, где р (х) > О, совпадает с 6. Пусть хеР 0; тогда суп|ествуеч: шар )х — х') <Ь, на котором р |х) > О, т. е.
оп пренадлежит к б и точка хьц 0 — внутренняя лля 6, Случай /(х) < с докапывается аналогично, П р и м е р. Функции г л ч"' л» /, (х) = д " (о» > О); /, (х) = ~ ) ке ), » а 1 Ряс. 95. определены и непрерывны на Ят В таком случае множества внесена» х, для которых выполняются неравенства /| (х) < с (|=1, 2),— открытые множества, Первое иг них есть внутре|тесть ьллнпсонда в н-мерном пространстве; второе при л 2 суть внутренность квадрата, иаображенного на рис.
Вб. Неравенства /|(х) > с > 0 определяют внешности укаааннык фигур. Можно установить, что укаэанные множества свяаны, т, е, опи являются областями. При н 2, 3 ато непосредственно вйдво. 5 ВА. Частные производные й производная по направлению Назовем приращением г/гункции /(х, у) в точке (х, у) по переменной х с шагом /г величину А„н/=/(х+й, у) — /(х, у), где /г — действительное число, достаточно малое, чтобы зта величина имела смысл.
Частной производной по х в точке (х, у) называется предел д/ д/ (х, у) . Лан/ если он существует. Частная производная — есть обыч- дл ная производная от функыии /(х, у), рассматриваемой как функция только от переменной х при фиксированном у, ввл. члстныя пРОизВОдные зоз Функция з=)'(х, у) от двух переменных изображзется в трехмерном пространстве, где задана прямоугольная система координат х, д, г, поверхностью — геометрическим местом точек (х, у, ~(х, у)), где (х, у) принадлежит области задания функции г (к,-,у). Очевидно, что величина Р (хм уь) (если она сущестзуег) равна танеенсу уела наклона к оси х касательной к сечению втой т>верхноспш плоскостью у=дв в точке, и.неккцей абсциссу х,.
Совершенно аналогично можно определить чзстну1О производную по у в точке (х, у): )(ш а ив) )(п1 г (" у+а) ) (х у) Если функция г = г (х, у), заданная на множестве б <= )с, имеет частные производные —, — во всех точу) д) в дх ' ду ках (х, у)Еб, то этн производные можно рассматривать как новые функции, заданные на б. Поэтому можно поставить вопрос о существовзнин частных производных у этих функций по какому-либо переменному а точке (х, у) Еб. Если у функции — существует частная производная д) дх снова по переменной х, то ее называют частной производной второю порядка от функции ~(х, у) по переменной дт' х и обозначают —,, Таким образом, по определению Если существует частная производная от функцни— д1 дх по переменной у, то эту производную наза|вают смешанной частной прсизводной второго порядка от функции ~(х, у) и обозначают символом Для функции от двух переменных )(х, д) можно рассматривать четыре производных второго порядка д~~ дь) дв) о'~ дкь ' деду' дуЗх' дув ' Если производные второго порядка (все илн какая.
либо одна) существуют для всех (х, у)Еб, то может 304 гл, в, отнкции многих пкрвмвнных возникнуть вопрос о существовании частных производных третьего порядка. Вообще, частной производной и-го порядка будем называть частную производную по какому-нибудь переменному от некоторой производной (и — 1)-го порядка. Например, Частные производные —, — будем называть частныд) д/ дх ду жи производными первого порядка, а саму функцию (— частной производной нулевого порядка. Для частных производных будем также употреблять символику. дзг =Ге д„д х Назовем приращением !' в »тачке х= (х„..., х») ла »временной ху с н!агом й величину Лх.н)=ге (хз, ..., ху т; ту+а, хе+!, ..., х„) — ! (кз, ..., х„), у где Н вЂ действительн числа, достаточно малое, чтобы эта величина имела смысл.
Частной»рана»одной но ху в точке х называется предел д) й ахун) — = ))ш— дх~ ь- й д! если он существует. Частная пронаводная — есть обычная проюдху водная отфункцнн ) (хд, ., х„), рассматриваемой какфункпня только от переменной ху прн фнкснрованных хз, ..., ху ы ху+з, ° ° х» Если г=(г„..., е ) — вектор с неотрннательнымн нелймн коордянатамн, то пишут дп+ "+'",' ре ) () П езе») дхп...дке" Пр имер. Найти —, от функции г(х, у) =х'+з!пху. еи) д. ду Имеем д! дз) — =ХсозХу, д з= — Х 3!ПХу, дз) — = — 2х 3! и ху — х'у соз ху.
дк два Естественно возникает вопрос, будут ли равны между собой частные производные, если оии взяты по одним и а ея. члстные пРОизВОдные тем же переменным, одно и то же число раз, но в разном порядке. Например, ровны ли де) де) дх дуе дх дхе ду~ ' В общем случае ответ на этот вопрос отрицательный. Однако имеет место следующая теорема, которую мы сформулируем для функции от двух переменных. Теорема (о смешанных производных).
Пусть функция и = ) (х, у) определена вместе со своими частными д) д) де) де) производными, —, —, — в некоторой окрестности дх ' ду ' дудх ' ду дх де) де) Р,=(х„у,), причем д д и д— д непрерывны точке Р;, тогда дЧ (Р ) д'ПР ) т. е. в етом случае результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования. Д о к а з а т е л ь с т в о.
В самом деле, бхь РРЛР(хе, уеМ=Ьхл У(хе уе+Ь)-Г(хе» уей- 11 (х,+Ь, уе+Ь) — Яхе+Ь. р,)1 — [г (х„ре+Ь) — г (х„ре)1 ='Ь„„Р„Е1(х„,,)1 'ГЬ.' (1) Отсюда, применяя теорему Лагранжа по переменной х к, функции 1(х„де+Ь) — Г(х, уе) на промежутке (х,+Ь, х,), получаем~ ех А1ее ) (х, М~ Ь)) (х +ОЬ О +Ь) Г*(х +ОЬ, М1 (0<8<1). (2) Законность применения теоремы Лагранжа обусловлена еуществованием частной производной Г"„* в достаточно малой окрестности точки (х„уе), Так как по условию теоремы существует частная смешанная производная )е, в окрестности точки (х„ре), то снова применяя теорему Лагранжа, из (2) получаем: Ьхя (Л„ь)' (хее уе)1=Ь'~"„„(хе+ОЬ, де+О;Ь) (О < О; < 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
