Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 42
Текст из файла (страница 42)
!'о, — ъ!'.~(1,:ч7+!! — ъ7, выражающее, что разность длин двух сторон треугольника не превышает длины третьей стороны. Далее, так как функции ф' и )(' непрерывны на (а, Ь|, то онн и равномерно непрерывны на )а, Ь). Позтому, если Ха<6 то Р (о)(~2(Ь вЂ” и) ' (Д (о ) а (О)1~2(Ь вЂ” а~' 2то гл, т. пннложення интеп ллов, пгивли>кзнньи методы и, следовательно, М-1 ! ги! = Х ~~ ЕЧ''(Гьй'+И'((ьН" +СХ' (Га"Н'— — гэ'ои.нм'па*+и'ты] ~,'~ Л -! ~ Х, " (ф' ((~) — Ф' (6Н'+ [х ' (г'") — х ' ((ья' м( < — и ! С вЂ” ~ Ы ( — (Ь вЂ” а)=е, 2(Ь вЂ” а) з Ь Ь вЂ” а Это показывает, что гл — 0 при Х„- О. Применим формулу (6) к вычисленкю длины дуги Г, когда она задана уравнениями (1'), при помощи параметра т.
Имеем (см. (6)) (Г, (- ~ (гь,' (т))'+ (ф,' (т))'+ (у,'(т))т Лт = ~ У( '() (т))) +(ф'() (т))) +(Г'() (т))) 2'(т) (т- - $ р'(ч (()) +(ф (())*+(х ((»Ч( (Х (.» О). о В'последнем равенстве этой цепи мы произвели замену переменной (=Х(т) в интеграле. Следовательно, ) Г,) =) Г!. Мы видим, что формула (6) длины дуги выражается инвариантно через параметр дуги. Введем функцию ! з=р(() = ~ Ь' (~р'(и))'+(ф'(и))'+(Г'-(и))'т)и (а~((Ь) (8) от верхнего предела интеграла. Она выражает длину дуги АС, где С вЂ” переменная точка дуги АВ=Г, соответствующая значению параметра (, Под интегралом в (8) стоит непрерывная функция от и, поэтому производная длины дуги з по 1 равна ;Гт = Р (т' (())'+ (Ф' (())'+ (Х' (())' ° (9) 5 ВВ. ГЛАДКАЯ КРИВАЯ В ПРОСТРАНСТВЕ. ДЛИНА ДУГИ 277 Так как Гр'(1), ф'(Г), Х'(() непрерывны, то дз!й в своо очередь есть непрерывная функция от 1, при этом положительная (см.
З 7,3, (2)). Но тогда В=р,(~) строго возрастает на (а, Ь1 и имеет обратную непрерывно дифференцируемую функцию (=р '(9) (Ое;,В~~Г(), (10) обладающую свойством Т [(ф (7)) + (ф (Г))'+ (Х7 (г))Ч ' ' > О. Но тогда переменная а может служить параметром нашей гладкой кривой à — уравнения Г можно записать в виде х ф ()»-' (9)1 ф, (з), р=ф(р '(9)) ф„(з), (О~за" ~Г~), В Х ()9 (В)1 Х* (В), где функции ф„ ф„, Х, непрерывно дифференцируемы на (О, ГЦ, тобы получить соответствующие результаты для плоской кривой Г=АН, надо в предыдущих рассуждениях положить г Х(~) = О.
Тогда гладкая плоская кривая Г определяется двумя уравнениями х=ф(Г), ) (пи-:,Гч Ь), и=ф(г), ~ где ф и ф — непрерывно дифференцируемые функции, подчиняющиеся условию (ф (7))9+(ф (Ф))') О ((ЕТСЯ, Ь1), Длина Г равна 1г ~ = ~ р'(р'(()) +(ф'(г))чг. 9 (б) (8') Длина дуги АС ~ Г, где С есть точка Г, соответствующая значению параметра (Е(а, Ь1 В=,' р (ф'(и))'+(ф'(и))' 7и, а ЕТР Гл е НРиложения интеГРАлОВ. НРиелиженные метОды дифференциал дуги равен ьге рк(„. (1))7,1„(фг(1))а 1 Если Г задана при помощи непрерывно дифференци- руемой функции и 7(х) (ае~х~й), то можно считать, что Г определяется параметром и х х, (агь, хгь, д).
Тогда в силу (б') Днфференциал же дуги Г выражается формулой де =* УТхЯ ду'. Пример 1. Найти длину дуги кривой Г~ у=сЬх, 0(х 2. Имеем а и (г(-)г ~~, ) г -( ь к .ь*г-й2 0 Пример 2. Найти длину окружности Г радиуса 11, Окружность в параметрическом виде можно задать следующим образом. х=)кгсоз1, 1 1 (О» 1 ..
2п). у=ЯЕ)п1, ) Тогда )Г) = ) )г йкз)пк1+Я7созк1711=Д ) 711 =2п)1, П р и м е р, 3. Найти длину дуги кривой Г~ у = к *= ~ 1' 21+17Ж, когда х изменяется в пределах от 0 до 2, о Отметим, что явную зависимость р от х можно найти, .если мы вычислим интеграл, используя подстановку Эйлера Э Кс. КРИВИЗНА КРИВОЙ. ЭВОЛЮТА Н ЭВОЛЬВЮПА 273 или рассматривая этот интеграл как дробно-линейную иррациональность. Но в данном случае пам не нужна эта явная зависимость. Имеем у' )с 2х+х'.
Поэтому 2 2 )Г~-~с"1сс .1. с 7 ( +!)с =Вт'-~ 4, 0 7,4. Кривизна и радиус кривизны нривой. волюта и эвольвента Кривизной окружности радиуса сс называется число )Я. Это число можно также получить как отношение угла между касательными в концах какой-нибудь дуги окружности к длине этой дуги. Угол между касательными к окружности в точках А и В равен центральному углу а между радиусами ОА и ОВ. Длина ~ АВ) дуги АВ равна сса. Поэтому (рис. 85) сс сс с ~АВ! ка 77 Последнее определение кривизны окружности дает идею определения кривизны произвольной гладкой кривой Г. Ряс. Вб. Ряа Вэ.
Рассмотрим произвольную гладкую кривую Г. Как мы показали в ч 7.3, она спрямляема н имеет смысл говорить о длине любой ее дуги АВ. Угол а (0(а ~к) между касательными к Г в точках А и В называется угсом смгжностсс дуги АВ. Отношение угла смежности д)ги АВ к ее длине называется средней кривизной дуги АВ (рис. 86). Наконец, кривизной кривой Г в ее точке А называется предел (конечный или бесконечный) отношения 274 гл. е пРилОжения интегРллов. пРиелиженные метОды угла смежности а дуги АВ кривой к ее длине ~ АВ! (гкз), когда последняя стремится к нулин К= 11п4 -Го — 1 Такам образом, О~К „оо, По определению, величина В 1/К (где считается, что 0=1)со, оо =!/0) называется радиусом кривизны Г в точке А.
Точка О„лежащая на нормалн к Г н точке А на расстоянии В=1/К от А в сторону вогнутости Г, называется ценипром кривизны Г в, точке А (рис, 87 и 88). Очевидно, что центр окружности соипадает с центром ее кривизны. Рес. 87. Рис. 88. Кривая т, являющаяся геометрическим местом цент- ров О, кривизны плоской кривой Г, называется вволю- глой Г. Сама кривая Г называется звольвенгаой у. Пусть кривая Г задана функцией р=)(х) (с~хе~с(), имеющей непрерывную вторую производную. Найдем ее кривизну в точке А=(х, 7(х)). Пусть с„, н <р,— углы, которые составляют касательные к Г в точках А н В = = (х+ Ох„г'(х+ Ьх)) с положительным направлением оси х (см. рис.
88) 1 р,=р'(х), тд,и=7 (х+йх), сс = ! агс1й 7"' (х) — агс(й 7' (х+ Лх) !. Далее, кккк Ьз=(АВ(= (, )'1+(~'(и))"е(и. к (8) в 7и. КРЙВЙВИА кРиВОЙ ВВОлютв и ВВОльВеитв 275 Поэтому нз (1), применяя правило Лопиталя (по Дх), получаем ввв!И Г (х) — вгв)К Г (х-1-Дх) К= 1пп Ах В )~')+(Г (в))в ва х ! Г (а+дх) )+(Г(х х д )г!+(! !х+, в))' )Г (х) 1 д ))в ()+~' (х))в)г)Г' р=г+)хт, где г — радиус-вектор точки А Е Г, а т — единичный вектор нормали, направленный в сторону вогнутостн Г.
Кривая Г имеет векторное уравнение г=(х у) Отсюда г„=(1, у,'), г„=(О, а„"). Мы получили формулу для кривизны Г (х) !4! у; ( Если гладкая кривая Г задана параметрически х=ср(!), 1 где !р и вр — дважды непрерывко дифференцируемые функ. ции, то, пользуясь правилом дифференцирования парамстрически задаппык функций, получим (см.
ч 4.11) ~'(х) =4, г(.) = "'"'-,",'", (х~'+а! ) ' 1 „Г ! (5) 2эх! х/ а~ Найдем параметрическое уравнение эволюты у кривой Г, заданной уравнением (рнс. 87, 88) у=((х). Имеем (см. (4)) ! 1!'(х) ! /'(х) в!кар(х) )! .)+(Г (х))в)в!в )+(Г (х))в)з!в (6) Центр кривизны О, кривой Г в ее точке А=(х, 7(х)) пусть имеет коордйнаты (в, в)). Он определяется векто- РОМ з т.з, площадь повегхности вгхлпения 977 касаться эволюты. Свободный же ее конец будет описывать эвольвенту (рис.
89). Так как длина нити может быть произвольной, то эволюта порождает бесконечно много эвольвеит. Длина, на которую сматывается нить с эволюты, равна, очевидно, приращению радиуса кривизны эво. львенты. Если кривая Г задана параметрически; х=х(л), у=у(г), то эволюта определяется уравнениями 9 — х — у ' т! — у+х х)ул — у)хл хлул — у)хл (10) Рис. 89. (см. 9 4.11). Пример 1.
Эволюта циклоиды х=1 — з!п1, у=1— — соз! есть кривая 9=!+з!п1, т1= — 1+соз1, Полагая 1=т+л, получим уравнения $ — п=т — з(пт, т!+2=! — созх, определяющие исходную кривую, но только сдвинутую (эволюта циклоиды есть цнклоида, конгруэнтная ллсходной, рис. 90). Рис. 90. Рас. 9!. Пример 2. Эволюта эллипса х=а оз1, у=-Ьз!п! (а Ь > О) есть астроида (рллс.
91) а~ — э~ з — 3 $ = — созх 1, т! = — з!и'1. ф 7.5. Площадь поверхности вращения Пусть Г есть кривая, описываемая в прямоугольной системе координат х, у положительной функцией у=(х) (а<х(Ь), имеющей на (а, Ь1 непрерывную производную. ата ГЛ. 7. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛОВ. ПРИВЛИЖЕННЫЕ МЕТОДЫ Вычислим площадь 3 поверхности вращения Г вокруг оси х.
Лля этого произведем разбиение а =х, < х; < ... ... < х„=Ь, впишем в кривую Г ломаную Г„с вершинами (х„((х»)), вычислим площадь поверхности вращения последней вокруг оси х (сумма площадей боковых поверхностей усеченных конусов): л-1 З.-Н,Х,У(х»)+~(х»+ )Р Лх»+Лу» Лу» )'(х,+,) — 1(х„). Число 5, равное пределу З„при Хя- О, есчи ои существует, называется пло ь)о поверхности вращения. Применяя теорему Лагранжа к разности Лу», получим л-! Х $$ (л) + $(л+ )! »тт ($'(1 Р а,- л-! ° 2П ~ 1(я») )7 1+ (Г'(а»))» ЛХ»+ !Сл— 2п ~ ~(х)(7 !+ (1'(х))' (х а прн Хя=гпахЛх»- 0; согласно теореме Лагранжа точка 5»е(х», х»+,), В самом деле, так как 1 и 1' непрерывны на [а, !)1, то 1(х))7 1+()'(х))» интегрнруема, поэтому л-! ь о ! а)(1)77)О ( ))'ь* 2 !$( )) !~($ ( )7( .
).-О»=О а Далее л-1 $».$-$ !Х($(Л)а)(*„д — 2)(1,))7'~ (('(!1))*ал$л л-1 < и)' 1+ М', ~ар~ Ц1(х») — 1(Е») [+ [1(х„,.1) — 1($») Ц Лх»(~ »-о л — 1 И,2п)7 !+ М,',~~ о)»(!) Лх» —.О, »=о »). о так как 1 интегрнруема. Здесь М, щах ~1'(х)[. Таким а~а~о образом, площадь поверхности тела вращения равна о 5= !Нп 5„=2п ~ [(х))' !+ (['(х))'((х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
