Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 38
Текст из файла (страница 38)
о Таким образом, площадь фигуры (рнс. 79), ограниченной сверху синусоидой у =а!их и снизу — осью х, равна 2. Это показывает, что площадь (рис. 78) заштрихованной фигуры, лежащей под параболой д=х', равна 173. Пример 2. Гл. 6. Опгвдвлянный интягРАЛ 240 Пример 3. Функция — 1, — 1 =х<0, «р(х)=з!йпх= О, х=О, 1, 0<х~~1, непрерывна на отрезке [ — 1, Ц, за исключением точки х=О. Отрезок [ — 1, Ц можно разрезать на два отрезка [ — 1, 01, Рис. 79. Рис.
78. [О, Ц, где она монотонна, следовательно, интегрируема. Поэтому «р(х) интегрнруема на [ — 1, Ц. Справедлива формула Р(х)= ~з!йпи«!и= — 1+(х! ( — 1<х<1), (8) -! В самом деле, на полуинтервале [ — 1, 0) функция «р(х) непрерывна: «р(х)= — 1. Ее первообразная на этом полу- интервале равна — х.
Поэтому„применяя формулу Ньютона †Лейбни, получим к э ) з!япи«(и ~( — 1)«(и= — и! «= — 1 — х ( — 1 х<0). -! -! (6) В силу теоремы 1 Р(х) непрерывна, в частности, в точке х О, поэтому Р (0) 1!и! ( — 1 — х) = — 1. (7) с+э Для х)0 Х О х Р(х) ~з!дпи«(и= ~з!дпи«!и+~1 «!и — 1+и~„ ! ! с = — 1+х. (8) Из (6), (7), (8) следует (б), В ВН.
ФОРМУЛА НЬЮТОНА — 'ЛВЙВНИЦА . ' 241 Волее элегантная формула получится, если интегрировать от точки х О: х )г з!йп и би = ~ х ~, (9) В Под интегралом в (9) стоит разрывная в точке х=О ограниченная функция, интеграл как функция верхнего предела Р(х)=1х1, есть непрерывная функция, в том числе и в точке х=О, что согласуется с теоремой 1 2 6.3. Однако производная Р'(0) не существует, и это не противоречит теореме 2 2 6.3, которая гарантирует существование производной Р'(х), только если 1 непрерывна в точке х.
Теорема 1 (о замене переменной), Имеет место раеенстео В е ')Г(х)д =(1![Р(1)1 С'(1)б1, (10) а а где функция ~р(И) непрерыено дифференцируема на [с, а1, а=<р(с), Ь=щ(с() и ~(х) непрерывна на [А, В1 =-~р([с, б1)— образе отрезка [с, И1 при помощи функции Ч. Доказательство. Пусть Р(х) и Ф(1) — первообразные функции соответственно 1(х) и ~ [<р (1)1 ~р' (1).
Тогда (см, 4 5.2, (1) и ниже) справедливо тождество Ф(1) = = Р[~р(1)1+С, с«-1 д, где С вЂ” некоторая постоянная. Поэтому Р(б) — Р(а)=Р[Ф(б)1 — Р[(р(с)1=Ф(4 — Ф(с). (11) Но на основании формулы Ньютона — Лейбница левая часть (11) равна левой части (10), а правая часть (11)— правой части (10), а это доказывает формулу (10). Пример 4. а А/В )/ а',— Хаак=(Х=аэ(П1)= ) )'аа — — аха(ПВ1аСОЗ1Ж= В В а/В атз а 2 21 2 !~ге =а* [ созх1а1=ах ( — б1= — [1+'— " ('1+соз2~ аа [ в!п2ПР В наа 4 Замечание. Верхний предел интегрирования по 1 бп -можно взять равным —, а результат будет тот же, и это согласуется с теоремой 1.
242 гл. в. опввдвлвннын интвгглл Пример 5. 4!! ва 8!и' ! И = — ~ (! — сов' !) и'(сов !) =(х= сов !) = о о ! = — ) (! — х')Их=О, ! потому что в полученном интеграле нижний предел равен верхнему, П р н и е р 6. Если г' — четная функция (г ( — и) = г (и)), то ~Г(и) и'п=2) !" (и)!(и, потому, что о о И ~ ! (и) пи = (и = — х) = — ) г ( — х) г(х = ) г ( — х) дх = О а 0 а в =) г(х) ох= ~ ~(и)!ги. о о Пример 7, Если ! — нечетная функция (г( — и)= = — г(и)), то а ~ г (х) г(х = О.
-а Пример 8. Если г — периодическая функция периода 2п(~(х+2п)=~(х)). то ~(х) сгх ~ ~ (х) дх Ю о потому, что ов+а ~ (х) !!х (х = ! + 2п) = $ ~ (! + 2п) Л ) )' (ц) гИ = Яи о а о — ~ г(!) гЫ, а и, следовательно, ой+ Ф о ~ ~(х)г!х=~7(х)с(х+ ~ ~(х)!!х+ ~ ~(х)г(х= а а о ов = $ 7(х)!(х. о $6.4 ФОРмулА ныотонА — лвйгницА 243 Пример 9, зл -1 1 ~ э!п' ! 4(! = (х = соз 1) = — ~ (1 — х') ь!х = ~ (1 — х') 11х = О ! -1 1 = 2 ) (1 —. ) ~~.=-2 ~х — ''з ) ~ = з, з Приме р 10, Решим пример 5, используя примеРы 8,71 4л гл 4Л л ~ з!Нз(е!1 ) эьяз14!1+ ~ з!пз ! 4(! 2 ~ з1пзгд! ь о гл л так как функция з1п'! нечетная.
Т е о р е и а 2. Справедлива Форлзула интегрирования по чаалям для определенного иноьеграла: ь Ь ) и'(х) о(х) дх=и(х) о(х) ~, — )'и(х) о'(х) 1Ь, (12) где и и о — непрерывно диФФеренцируельые на 1а, о! Функции. До каза т ел ьст в о. Произведение и (х) о(х) имеет на !а, о! непрерывную производную (и (х) о (х))' = и (х) о' (х) + и' (х) о (х). Поэтому по теореме Ньютона †Лейбни ь и(х)о(х) ~, = ) (14(х) о'(х)+и'(х)о(х)!ь!х= з ь Ь ~ и (х) о' (х) !Ь+ ~ и' (х) о (х) дх, откуда следует (12). Пример 11. ! ) 1п(1+х) 41х=(и=!п(1+х), 4!о=дх)= о ! 1 1 - люсь 1~' — ~ф-~ з — ! ~~ 4~,— "*,- з =1п2 — 1+!п(1+х)~ = — 1+2 !и 2.
Гл. 6. Оповделеииыя интвггкн Теорема 3 (о среднем для определенного интеграла). Дял непрерывной на отрезке )а, Ь1 функции ( суи(ествуал точка 5~(а, Ь) такая, что ь ) )'(х) «(х=-) Я(Ь вЂ” а). й Доказательство. Так как ~ непрерывна, то для нее существует первообразная Ф, поэтому ~ )(х) йх=Ф(Ь) — Ф(а) =-Ф' ($)(Ь вЂ” а) = — ) ($)(Ь вЂ” а), з ~ (а, Ь). '(14) Первое равеяство в (14) есть формула Ныотона— Лейбница для непрерывной на (а, Ь1 функции 1. Второе равенство есть формула Лагранжа для Ф.
Наконец третье следует из того, что Ф'(х)=~(х) («к~[а, Ь1. й 6.5. Остаток формулы Тейлора в интегральной форме Пусть функция )(х) имеет непрерывные производные до порядка п+1 включительно. Тогда в силу формулы Ньютона — Лейбница ~и=ГЯ~йи=~ (1)«(1) 7 = ~ (а)+ (1 — х) Г (1) ~ — ~ (1 — х) ~" (1) й( =)'(а)+ а + Г (а) (х — а) + ~ (х — 1) ~" (() «(1 = и =-~" (1) ~ «(и =р" (() йг '1 (х — 1) Ж=ао|о= — (— ,) / р (а) р(а) о „, („«)ь =) (а) + — (х — а)+ —, (х — а)'+ ) г"' (() — й(. ь 1 6.6. УСЛОВИЯ СУЩИСТВОВАИИЯ ИНТВГРАЛА 24Ь Продолжая дальше процесс интегрирования по частям, получим л 1 (х) = йм — „(х — а)д+ г„(х), (1) а=о где г„(х) = — ~~(х — 1)"-11«'11 Я й1, (г л(,) л Формула (1), (2) называется формулой Тейлора с астапком г индтегр(дльной форме.
Применяя к интегралу (2) (по П) теорему 3 (о среднем) 5 6.4, будем иметь Гл(Х) = — „, (Х вЂ” 5)'11л 611(Ь)(Х-а), $~ (а, Х). Полагая $ = а+ 0 (х — а), 0 < 0 < 1, получаем «(х) = (1 О)" ~1»+ 1(а+ 0 (х — а)), и1 т. е.
Остаточный член формулы Тейлора по степеням х — а в форме Коши (см. 2 4.14, (10)), 5 6.6. Суммы Дарбу*). Условия существования интеграла Пусть на отрезке (о, Ь) задана ограниченная функиии (11(х) (~М). Введем разбиение )11 а = ха ( х, <... ( х„= О. Пусть ли= (н1 Нх) Мд мдр 1(х). «е 1««1+д) «е 1«1, х;+11 Наряду с интегральными сумками л-1 ол= ~ь,'1(11) ахд Вао рассмотрим суммы л-1 л-[ зя™ Хлдда«1, Зя= ЗМдйхо 1 а 1 а д) Г, Дарбу (1842 — 1917) — франкузскиа математик. ГЛ. б.
ОНРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ которые называют нижней и еерхлеа суммами Дарбу. Очевидно, что зп Вг Суммы Дарбу не обязательно являются интегральными суммамн. Однако если )(х) — непрерывная функция, то зл н Вл являются соответственно наименьшей н наибольшей нз интегральных сумы, отвечающих данному раабяеняю, тзк как по теореме Вейерштрасса [(х) достигает минимУма н максимУма в каждом [хн хсе ), н позтомУ можно выбрать точки бс, зс~ [хс, х;+,) так, что ) (сД=тс я ) (ьД=М».
Так как слет.) (х) ~Мс и бхс > О, то зсс~ол ~ Вп. П) При фиксированном разбиении зл н Вл — постоянные чнсла, а инте- гральная сумма ал остается переменной в силу произвольности чи- сел $с. Легко видеть, что зв счет выбора точек сс сумму пл можно сделать как угодно близкой к зп н ВЛ, т. е. прн данном разбиении зл н Вп являются точной нижней и точной верхней гранямн для интегральных сумм: л-с л-с л-с л-с за= ~~тсьхс=(п( ч,)(фас»хс, Вл= ч~р~мслхс=зцр ~)(йс)бхс. с--з зс с=о С б я»С=О Пусть )с», Дз Вз — разбиения [а, Ь). Если же тоска В» при- надлежат )сз, то будем писать В»~Д» и говорить, что С,'з есть про- должение Д».
Если множество точек, нз которых состоит Сс„есть теоретико-множественная сумма множеств точек, нз которых состоят В» н )сз, то будем писать )се= Д»+В». Свойства сумм Дарбу: !'. Ееяи к имеющимся у разбиения )с точкам деяеиия добаеить коеые таис»с, то еерхяяя сумма Дарбу (Вес) не еозрастает, а шсяе- ияя (еп) ле убылаетс Вл,м,ВЛ, ЗЛЩ;ел, У)сс-Я', Таким образом, Вл — зд ~ВЛ вЂ” зл До каза тел ьство.
Для доказательства, очевидно, можно ограннчнться случаем, когда добавляетсн одна новая точка деления х' ~ (хс, хсе,). Пусть Вл †верхн сумма Дарбу для разбиения Я н В , †д разбиения Я'. Тогда Вл отличается от Вя, тем, что вместо слагаемого Мс Ьхс в сумме Вл, будут два слагаемых: Мс (х' — хс)+Мс (хсе» вЂ” х'), где Мс= зцр [(х), Мс= зпр К(х). хе [хе, » ) хе[хч хге») Так как отрезки [хс, х'), [х', хе+»] явлгются частью [хс, хе+»[, то М»~Ми М;л Мс (прн уменьшении области рассмотрения зпр может только умевьшнться). Позтому Мс (х' — х )+ Мс (хе+» — х') ~ Мс(х хс-[-хе+» — х ) ™с(хс+» — хД* т.
Е. Вп.л-ВЛ, Чта Н трсбапаяОСЬ дОКаватЬ. Для нижних сумм доказательство аналогнчно, 6 6.6. услОВия су!ИпстВОВАния интнГРАлА йфу 2'. Каждая нижняя сумма Дарбу нг больше каждой верхней суммы Дарбу, хотя бы отгг»аюшрй другому разбиению лромгжутка: зл ~8л' Доказательство. Пусть )!з=8г+11». Учитывая свойство 1', получим гЛ,~Сан,~8Л,~8ЛР Таким образом, мы доказачн, что множество нижних сумм Дарбу (зл) ограничено сверху какой-либо верхней суммой 8л, (зл~дл.), и потому существует точная верхняя грань нижних гумлс 1,=зпр гл <8л . и К тому же мы доказалп, что всякая верхняя сумма 8л не меньше числа 1,. Это показывает, что сущгстгугл~ точная нижнля грань ггрхних сумм 1» 1п1 8л.
~ 1 . и' Итак 1»»С1». Прн етом для любого разбиения )7 выполняются ке авенства р зр»1 ~1» щ8Л. (2) Числа 1„1» называются нижним и жрхним интегралами дарбу. Теорема ! (существования интеграла). Для того чтобы онргдглгнный инте рал ограниченной сйуннг)ии 1 (х) гущестгогал, необходимо и достаточно, чтобы и-1 йш (8н — гг!)»» 1!ш ~Ренйхг=О, (3) Ал О ~я~~ 1=6 где число ю! = М; — т! называется колебанием 4ункг(ии 1" (х) на (хе щ+ г).
Доказательство. 1. Необходимость условна. Допустим, что определенный интеграл 1 фувкпии 1(х) существует: т, е. уе > О 33 > О такое, что как только АЛ < 3, будет 1 — в < < ол < 1+в, как бы мы нн ныбиралн точки М(хг, х!+г). Выше мы установнлн, что зл н 8я при данйом )с являются точной нижней и точной верхней гранями для интеграчьных сумм аи, если варьировать точками $гЕ[хь хг+!). Позтому 1 — з~зл е ол~8л~1+в 'Ф)7 с Ал < д, т, е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
