Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Определение 1'. Определенным интегралом от функиии 1 на отрезке !а, Ь1 называептся число 1, удовлетворяющее следующему свойству: для всякого е> О ложно найти число Ь > О такое, что для любого разбиения отрезка (а, Ь1, у которого Хн — — шахах < Ь, выполняется неравенство !и-! ! Оя — 1! =1 Х 1($у) Ьх — 1 < е ! е пРи пРоизвольном выбоРе точек ауЕ(хм х +т1. Понятие определенного интеграла так, как мы его определили, было введено для непрерывных функций французским математиком Коши и в общем случае Риманом')— для,функций не обязательно непрерывных (интегрируемых по Риману).
Обычно предел (5) называют июпегралом Римана и функцию, для которой этот предел существует, называют интегрируемой в смысле Римана. Если функция 1 непрерывна на 1а, Ь), то для нее всегда, как мы узнаем, предел (5) существует. Говорят также, что непрерывная на отрезке 1а, Ь1 функция интегрируема на нем в смысле Коши. В и. а) мы определили (см. рис. 75) площадь плоской фигуры, ограниченную сверху графиком непрерывной функции у=1(х) >~О, снизу осью х и с боков прямыми х=а и х= Ь.
Ь)ы можем теперь сказать, что площадь этой гуры равна определенному интегралу от 1 на Отрезке а, Ь1: ') Б. Ф. Римаи (!826 — 1866) — кидаю!акаси иемецкиа математик. 8 Я, С. аугроь, С, М. Никольский Гл. 6. ОПРРдвленный интвгглл Ыы можем еще сказать, что масса стержня, о котором шла речь в и.
б), равна определенному интегралу от его линейной плотности р(х) в пределах [а, Ь]: т= ~ р(х)йх, в Итак, по определению определенным интегралом от 4ункиии 7" на отрезке [а, Ь] называется предел интееральной суммы (5), когда максимальный частичный отрезок разбиения Я стремится и нулю. В этом определении, которое теперь уже не связано с задачей о нахождении площади, функция 7 не обязательно непрерывна и неотрицательна на [а, Ь].
Надо отметить, что это определение не утверждает существование определенного интеграла для всякой функции 7, заданной на [а, Ь], т. е. существования предела (5). Оно только говорит, что если этот предел существует для заданной иа [а, Ь] функции )', то он называется определенным интегралом от 7 на [а, Ь].
Следует иметь в виду также, что когда говорит, что указанный предел 1 существует, то подразумевают, что он не зависит от способов разбиения отрезка [а, Ь] на части и выбора иа получен! ных частичных отрезках то- чек чр ! Непосредственное вычис- 1 ление определенного интеграу л г а л ла по формуле (5) связано с трудностями — интегральные Рис. 76. суммы сколько-нибудь слож- ных функций имеют громоздкий вид и зачастую не легко преобразовать их к виду, удобному для вычисления пределов.
Во всяком случае, на этом пути не удалось создать общих методов. Интересно отметить, что впервые задачу этого рода решил Архимед. При помощи рассуждений, которые отдаленно напоминают современный метод пределов, он вычислил площадь сегмента параболы. В дальнейшем на протяжении веков многие математики решали задачи на вычисление площадей фигур и объемов тел.
Все же еще в ХЧП веке постановка таких задач и методы их решения носили сугубо частный характер. Существенный сдвиг в этом вопросе 4 Е.!. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА йй7 внесли Ньютон и Лейбниц '), указавшие общий метод решения таких задач. Они показали, что вычисление определенного интеграла от функции может быть сведено к отысканию ее первообразной. Как было отмечено выше, непрерывная на [а, Ь) функция интегрируема па (а, Ь). Это будет доказано в ч 6.7. Будет также доказано, что монотонная на отрезке (а, Ь1 функция интегрнруема на нем.
Надо учесть, что монотонная функция может иметь разрывы в конечном или даже счетном числе (см. теорему 2 5 3.4), На рис. 76 изображен график функции у=7(х), заданной на отрезке (О, а). Эта функция непрерывна на (О, х,1, убывает иа (х;, х,) и возрастает иа (хю а). Следовательно, она интегрируема на каждом из этих отрезков. Но тогда, на основании аддитивных свойств интеграла, о которых речь будет впереди, наша функция иитегрируема на всем отрезке (О, а1 (см. 6 6.2, теорема 3). Таким образом, если отрезок (а, Ь1, иа котором задана функция у=-7(х), можно разрезать на конечное число частичных отрезков, на каждом из которых она непрерывна или монотонна, то такая функция иитегрируема на а, Ь).
ьютоп и Лейбниц доказали теорему, связывающу1о два важных понятия математического анализа — интеграла и производной. Эта теорема выражается соотношением (формулой Ньютона — Лейбница) Р(Ь) — Р(а) = ~ 7(х) йх. (6) а Здесь 7(х) есть произвольная непрерывная иа (а, Ь| функция, а Р (х) — какая-либо ее первообразная на (а, Ь) (Р (х) =~(х)) Таким образом, длл того чтобы вычислить определенный интеграл от непрерывкой функции 7" на отреже (а, Ь1, надо узнать ее первообразную функцию Р(х) и взять разность Р(Ь) — Р(а) значений вп1ой первсобразной на концах отрезка (а, Ь). Если уже считать известным, что непрерывная на отрезке (а, Ь) функция' )'(х) интегрируема на нем и что для этой функции существует первообразная Р(х), то формулу (6) можно вывести беэ труда.
а) И. Ньютон (1643 — 1727) — гениальный английский фнанк и математик. Г. В. Лейбниц (1646 — 1716) — великий немецкий математик, ГЛ. 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ Пусть )с есть произвольное разбиение и = хо ( х! ( ° ° ( х« = Ь отрезка [а, Ь) на части. Тогда (пояснения ниже) Р(Ь) — Р(а) =Р(х«) — Р(х,)=Р(х„) — Р(х, !)+Р(х„!) —... «-! ... — Р (х,) + Р (х!) — Р (х,) = Х (Р (х, „,) — Р (х»)1 = »=о «! «! ь = Х Р'Д»)(х»+! — х„)««Х ~($»)бх» — ~~~(х)![х, (7) а откуда и следует формула (6). В четвертом равенстве (7) мы применили теорему Лагранжа о среднем Р(х„+,) — Р(х»)=Р'($»)(х +,— х ), в силу которой $» есть некоторая точка интервала (х», х,+,).
Последнее соотношение следует нз того факта, что функция у непрерывна на [а, Ь|, следовательно, интегрируема на [а, Ь1, и потому ее любая интегральная сумма и, в частности, полученная нами применением теоремы Лагранжа, стремится при [ьл О к определенному интегралу от [ на [а, Ь1. Справедлива теорема. Теорема 1. Неоераниченнол на отрезке [а, Ь) функция не интегрируема на злым отрезке. Таким образом, дал того чиюбм функция 1" была интегрируемой иа отртке [а, Ь), необходимо, чтобы она била ограниченной казням отреэю. Однако ото условие не является доствточным. Пример. Функция 1, если х рациональное, чр [х) [ — 1, если х иррациональное, ограничена: [чР (х)[ 1, но ие интегрируема ва любом отрезке [а, Ь) (а ( Ь).
В самом деле, если в ее интегральной сумме за точки $у выбрать рациональные числа, то «-1 «-1 ол««х Ф [йу) г / — — Х 1 д /-Ь вЂ” а, 1=о 1«о Если ме выбрать оу иррациональными, то «-1 од= ~ [ — 1)ах;= — (Ь вЂ” а). 1=о з а.г. свойства опнвделенных интегналон ййя Это показывает, что оя не может иметь один и тот же предел при любом выборе $г, и, следоввтелыю, функция ф ие иптегрнруема на [а, Ь]. Доказательство теоремы 1, Пусть а-! он= ~ [(в!) (хг+! — хй !=з есть интегральная сумма функции /, соответствующая некоторому разбиени!о )т! а=хе < х, « ... х„=Ь, Если допустить, что функции [ не ограничена па [а, Ь], то она необходимо не ограничена на одном нз частичных отрезков, пусть на [х!„ х!,+з1.
Зафиксируем в!ч[х!, хе+!] для всех ! Ф аз, а йа будем пока считать переменной, Слагаемое [($!,) (х!,ь, — х;„) пе ограничено на [х!„ х! +г[, а сумма остальных счагасмйк есть определенное число. Г!о тогда [ая [ можно сделать как угодно большим при соответствующем подборе точки $!, Е [х;„х;,,] и функция [ не может быть интегрируемой на [а, Ь]. Ведь нз ннтегрируемостн функции ] на [а, Ь[ следует, что ее интегральные суммы ограничены при любом выборе н!. Впрочем, в дальнейшем будет введено понятие несобственного интеграла.
Некоторые неограниченные на отрезке функции интегрируемы в несобственном смысле. Но об этом будет речь позднее. й 6.2. Свойства определенных интегралов В этом параграфе мы будем изучать свойства интегрируемых функций. Выше уже отмечалось, что непрерывные и монотонные на отрезке [а, Ь] функции интегрируемы на нем. Это будет доказано позднее в й 6.7. Теорема !. Если М вЂ” константа, то з ~ М ![х = М (Ь вЂ” а). (1) О В самом деле, интегральная сумма функции у(х) =М для любого разбиения ]с отрезка [а, Ь] равна л — ! о-! ол —— ~ Мосху — — М ~з Лху — — М(Ь вЂ” а). [ з [=о 1пп о„=М (Ь вЂ” а). ал 0 Гл. в. Определенныи ннтегРАЛ Т е о р е м а 2. Для Фрикции ) О, х~(а, б), хза с, Ь ) зРл (х) В«=о.
а В самом деле, зададим произвольное разбиение)с отрезка (а, б): а= ха < хт «... х„= Ь. Один из полуннтервалов этого разбиения, пусть (х,„, хмьд, содержит в себе точку а х,„л с < х,„+д. Поэтому интегральная сумма л-1 а, Ф.) = Х Фл(4) а«а=Ос(Ь.,) ах. з+Ф. (4.) Л . ь з (остальиме слагаемые заведомо равны нулю). Так как ) 1р,(х) ) ~ ) А), то ) ор (зр ) ) ~ ! А / (охл а+ахай — О ври Лр -л.
О, н теорема доказана. Теорема 3. Если функь)ия у" интегрируема на каждом из отрезков (а, с), (с, Ь') (а<с< Ь), то она интегрируема на (а, Ь) и ь с ь ~ ~ (х) дх = ~ ~ (х) йх+ ) у (х) дх (аддитивное свойство определенного интеграла). До к азате л ьств о. Зададим произвольное разбиение отрезка (а, Ь1 )с: а=х,<«, <" (х„=Ь, однако такое, что одна из точек Я, пусть х„, совпадает с точкой с(х„ =с).
Тогда )с индуцирует (наводит) на отрезках (а, с1™ и (с, Ь) определенные разбиения )г, и Яа: Йа' а «Ф ( ха ( ' ' ' ( «с )са: с=х <х„+, «...х„=Ь л-1 л-1 ор — Х Р(йу)бхай — —,'Е УЮЛ«, + Х Уау)Л«/ —— ар,+ар„ у=з )=е )=и т. е, ор —— ор,+ар, Пусть Лр= шах )Ьх (- О. е<ь< ь Ь.е сВОйстВА ОНРеделенных интеГРАлое яа! Тогда и подавно )л — О и )ьл — О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
