Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 31
Текст из файла (страница 31)
При х>е (т. е. ! > 1) х(!) возрастает, а у(!) убывает к нулю. Это показывает, что у(х) — О убывая. При этом х()/2)=у 2ег з — точка перегиба графика у(х). Слева от этой точки тра. фик обращен выпуклостью кверху, а справа — книзу (см. (3)). й 4.23. Вектор-функция.
Векторы касательной н нормали В плоскости зададим прямоугольную систему координат (х, у). Уравнения х х(!), ) () (а «' ь? $ ЕВК ВЕКТОР-ФУНКЦИЯ 19! где х(!) и у(!) — непрерывные функции на интервале (а, Ь) определяют непрерывную кривую à — геометрическое множество точек (х(!), у(!)) плоскости, где ! ~(а, Ь). Говорят еще, что кривая Г задана при помощи параметра !. Ее уравнение можно задать в векторной форме гЯ=х(!)(+у(!)1 (а<! <Ь), (!') где а,,у' — единичные орты соответственно осей х, у, а г =г(!) — радиус-вектор точки Г, соответствующей значению ! параметра (рис. 68) Рис.
69. Вектор г (!) называют ввкторфунк!1ивй (определенной для (Е(а, Ь)). Говорят в связи с этим, что кривая Г есть водогра4~ вектор-функцин г(!) — геометрическое место концов векторов г(!), Выходящих из нулевой точки О. Кривая Г называется владкой на (а, Ь), если функции х(!) и у(Г) имеют непрерывные производные на (а, Ь), одновременно не равные нулю. Если ! придать приращение цг, то вектор г получит приращение (рис. 69) ог=г(г+М) — г(!)= ='(х((+Ьх) — х(!)1 $+(ц ((+ ЛГ) — у(!)11= йх(+Ьу~, откуда, деля на скаляр ц(, получим аг дх ау а! а! л! — = — (+ — 1. Для гладкой кривой йш — =х, !(п! в у .
Ак ~ ° ав а1- оаг ы- оа! !за гл. а диеевевнциьльнов исчислении Вектор х'!+ д'/ называют производной от г (в точке Г) и записывают так:. г = х'!+ у',/. Можно производную г определить также как такой вектор, для которою ~~- — г~- О, й)- О.
В самом деле, ~ —,— г~ =(-~ — х ) +(-,— у ) О, й! О, Пишут г= Вш— Ьг ы- в~~ и говорят, что вектор г есть предел вектора Лг/И при йг- О. Из рис. 69 видно, что вектор г направлен по касательной к Г в точке ! в сторону возрастания г. Вектор г называют векпюром касательной к Г. Длина его равна ) г ! = ~/ х" + и". Единичный вектор касательной есть т = —;„= соз и!+ з)п с(/ !г! хФ сози= — „ У х"+у" ()г!>О), з!па= — й —, Р"хн+ ун ' (л) алле ! ув (3') где и — угол между т и положительным направлением осн х, Единичный вектор нормали к Г, т. е.
единичный век- тор перпендикулярный к т, определяется равенством т= (тг, т,), тг=йз!па, т,=.л-.созсв з ФЭэ. Виктор.Функция Определитель ~ут р ~ ~~эваа +соэи1 Верхние знаки соответствуют случаю, когда пара векторов (т, т) ориентирована так же, как оси (э, 7) (рис. 70), а нижние — когда пара (т, т) ориентирована противоположным образом (рис. 71) Рис. 71.
Рис. 70. Вторая производная от вектор-функции г(7) (см. (1')) определяется как предел '(1) = 11 '"+'"-"") ='(1)(+~в(Ч о а1 На рис. 72 изображена кривая Г; точка А соответствует значению 1, а точка  — значению 1+И. К этим точкам приложены касательные векторы г(1) и г (1+И).
Вто- л рой вектор мы перенесли так, чтобы он был приложен к точке А. На рисунке обозначена раз. ность Ы = г(7+И) — г (1) и А77+г(7) вектор съем/И, имеющий то же напРавление, что и Лг. 1!ако- Р .. йг' л нец, отмечен предельный век- а'г тор г=г(1). Вектор г направ- Рис.
72. лен в сторону вогнутссти Г. Точно зти слова надо понимать следующим образом: вектор г образует острый угол с вектором и нормали к Г, наЭравленной в сторону вогнутости Г. Пример. В векторной форме уравнение (см, 5 4.21) эллипса имеет вид г=1асоз(+772з(п1 ( — оо <(<со). 7 Я. С.
Буграв, С. М. Никольский 194 ГЛ. 4. ДИФФЕРЕНИИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ Соответственно вектор касательной г'= — аа а)п (+ /Ь соя го а вектор нормали и =:Т- аЬ соя г ~ уа а(п г. В данном случае ж, вообще говоря, не единичный вектор. Вектор функцню г г Я а окрестностя тачки (а можно разло- яовть по формуле Тейлора (нлн разложить в векторный ряд Тей- лора), Пусть г(()- (()(+у(бд, где х (з) н у (~) имеют необходимое число производных в окрестности точил Го. Тогда, разлагая атн функцнн по формуле Тейлора, полу- чаем х (() х ()о) + () (à — га) + ° " + †„ ) (г — (о)" + Р» Я ~ (а) х' ((о) '"' ((о) у (() у ((~) + Н (à — Г~) + .
° + „ П вЂ” Й)" + Р Я (б) у (го) уш'(г) где )г„((), )гн Я вЂ” остаточные члены в какой-лабо форме (Лагранжа, Коши н т. д.). Умножая (4) на о, а (5) на / н складывая, получим формулу Тейлора лля вектор.функцнн г Яг о Я г((а)+ — (Г-Го)+.„+ —,Г-(о)п+гоЯ, г' ((о) гчю (Го) П л) где остаток го Я Ра (г) о+ Йч И) У. Отметвмо что есля остаткн )(„(О н )гя(Г) запнсывзются вформе Лагранжа нлв Конт, то входящие а нйх пронзаодцые (л+()-го порядка функцвй хЯ н уЯ вытесняются, вообще говоря, в разных точках. ГЛАВА 5 НЕОПРЕДЕЛЕННЪ|Е ИНТЕГРАЛЪ| й б.|. Неопределенный интеграл. Таблица интегралов В предыдущей главе мы ввели понятие производной и научились находить производную от элементарных функций.
Здесь мы будем решать обратную задачу, а именно: известна производная Р (х) от функции г(х), требуется найти саму функцию Г(х). С точки зрения механической это означает, что по известной скорости движения материальной точки необходимо восстановить закон ее движения. Определение. Функция Р(х) называется первообразий функцией для функции |(х) на интервале (а, Ь), если Р(х) дифференцируема на (а, Ь) и Р'(х) =Г(х).
Аналогично можно определить понятие первообразной и на отрезке (а„ Ь1, но в точках а и Ь надо рассматривать односторонние производные. Пример |, Р(х)=ухестьпервообразиаядляфункции)'(х)== на (О„оо), так как (г' х)'==. 2у х 2г х П р и ив р 2. Р(х) з1п2х есть первообразиая для функции 7(х) =2соз2х на ( — сю, со), так как (з)п2х)' = = 2соз2х, Теорема |. Если Р(х) — первообразная для функции Г(х) на (а, Ь), то Р(х)+С вЂ” такасе первообразная, еде С вЂ” любое поспюянное число. Доказательство. Имеем (Р(х)+С)'=-Р'(х)=Г(х). Теорема 2. Если Р,(х) и Р,(х) — две первообразные для г(х) на (а, Ь), то Рг(х) — Р,(х)=С на (а, Ь), где С вЂ” некогпорая постоянная, Доказательство.
По условию Р;(х)=Р,'(х) =Г(х). Составим функцию Ф(х)=Рг(х) — Р,(х). Очевидно, что Ф'(х)=Р,"(х) — Р;(х)=Г(х) — ((х)=0 ехЕ(а, Ь). 396 Гл. а неопРеделенные интеГРАлы Отсюда по известной теореме (см. теорему 6 6 4.12) заключаем, что Ф(х)=С, т. е. Р;(х) — Р,(х)=С, что и требовалось доказать. Таким образом, из теорем 1, 2 вытекает, что если Р(х) — первообразная для 1(х) на (а, Ь), то любая другая первообразная Ф(х) для ~(х) на (а, Ь) имеет вид Ф(х) Р(х)+С, (1) где С вЂ” некоторая постоянная (рис. 73). О и р е д е л е н н е. Произвольная первообразная для Г(х) на (а, Ь) называеягся неопределенным интегралом от 4Ьункции 1(х) и обозначается символом (2) Знак ) называется интегралом, Г (х) йх — подынтегра |ьным выражением, Цх) — подынтегральной функцией.
Если Р(х) — одна нз первообразных для Г(х), то, согласно сказанному ~ г(х) йх= Р(х)+С, . (3) где С вЂ” соответствующим образом подобранная постоянная. Операцию нахождения неопределенного интеграла У будем называть ингпегрироваГФ+ь" кием функции ~(х). Отметим, что если Р(х) есть первообразная для егг) функции 1(х), то подынтегральное выражение 1(х) ах= =Р'(х)ах аР(х) является дифференциалом первообразу е~ иой Р(х). Рис. Тз. Позже мы докажем (см. й 6.3), что если г'(х) непреравна на (а, Ь), то для нее суи4ествует первообразная на (а, Ь), а следовательно, и неопределенный интеграл. Отметим ряд свойств неопределенного интеграла, вытекающих из его определения, 1'. й ~)'(х)ах=Г(х)ах. В самом деле, (~Цх)йх=р(х)-1- +С, отсюда а ) ~(х)йх=а(Р(х)+С) аР(х) Р'(х)йх у(х) ая.
$6.1, наопгаделянный иитагРАл 2'. ~дР(х)=Р(х)+С, т. е. ~ и с( также взаимно сокращаются, но к Р(х) нужно добавить некоторую постоянную С. Имеем ~ пР(х) =) Р'(х)дх=(по определению)= Р(х)+С. 3'. ) А~(х) Ых = А ) ~(х)ах + С, где А — постоянное число, С вЂ некотор постоянная. 4'. ~~~(х)+д(х))!(х= ~~(х)!(х+~д(х)!Гх+С, где Св некоторая постоянная. В самом деле, ( ~ Г (х) дх+ ~ д (х) дх) ' = Ц 1 (х) Ых) '+ ( ~ д (х) 0х) = =(по определению) =~(х)+д(х). С другой стороны, () (1(х)+д(х))ох) =(по определению) =~(х)+й(х).
Таким образом, функция ~ гох+) дух и функция ) )!'+д~!(х являются первообразными для одной и той же функции ~-)-д. Но тогда они отличаются на некотору!о постоянную С, что и написано в равенстве 4'. 6'. Если Р(х) есть первообразная для ~(х), то ~ г (ах+ Ь) г(х =-т Р (ах+ Ь) + С. В самом деле, Ь 1=. ! '! Ф -Р(ах+Ь)~ =- аР'(ах+Ь)=)(ах+Ь), Запишем таблицу интегралов, вытекающую из основ- ных формул дифференциального исчисления. 1. ~ О дх=С. ха+' 2. ) х'"дх= — +С уи~ — 1, и+! 3. ~ х 'дх=) — =1п1х!+С, на интервале, не солерг дх ,) к жащем х=О, 4.
~а"ах= — !„— „+С(О <а, аФ1), ) а пх=е" +С. 5. ~ з1пхпх= — созх+С, ~ созхдх=з(их+С. !98 ГЛ. 3. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ лх Г Фх 6. ~ —,=!я х+С, ) —,= — с!6х+С на ентер- вале, где подынтегральиая функция непрерывна. ах 1 агсз!п х+ С, ( — 1(х~ 1). ,! У ! — х' ~ — агссозх+С 8. агс!и х+ С, !+ х' ! — агсс(ц х+ С. 9. ~з!!хах=сЬх+С, ~с)!хдх=з)!х-(-С. 10 ~ —,„;, =!Лх+С, ~ — „,„= — !)!х+С (х~О), 11. ~ ~ —— !па х+)/ х'+ 1!+С=Ага)!х+С, 3~ х~+ ! == = 1п ~ х + Р' х' — 1 ~+ С = Агс)! х+ С 'г' х~ — ! (! х ! ~ 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
