Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление (3-е изд., 1988) (1095439), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Например, х=О есть стационарная точка функции х', но в ней зта функция возрастает. Очевидно также, что не всякая точка, где 1" не имеет производной, есть точка локального экстремума 1. Так илн иначе, если нам уже известно, что х, есть стационарная точка или точка, где производная от 1 не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно зта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого †максиму или минимума. Ниже.мы приводим достаточные критерии локального экстремума. Т е о р е м а 1.
Пусть х,— стационарная точка функции ~ (т. е. 1'(х,)=0) и 1 имеет вторую непрерывную производную в окрестности х,. Тогда: если г" (х,) <О, то х, есть точка локального максимума ~; э с!7, лОкАльный экстРамум Функции 1тз если асс ~" (х,) > О, то х, есть точна локального минимума 1. Доказательство. Разложим 1 по формуле Тейлора по степеням (х — х,) при п 1. Так как 1'(х,)=0, то формула Тейлора фуйкции 1 в окрестности точки х, имеет вид ~ (х) ~ (х,) + ~'. Ы' ~" (с) (с я (х„х)). (2) В этой формуле может быть х~-х,. Пусть ~" (х,) < О.
Так как производная р" по условию непрерывна в окрестности х„то найдется б 0 такое, что ~" (х) <О Ч1хЕ(х,— б, х,+б). Но тогда остаточный член в формуле (2) 1" (с)<0 Ч1хЕ (х,— б, х,+б), что показывает, что Ау ~(х) — ~(х,)<0 УхЕ(х.— б, хо+б) т. е. 1 имеет в х, локальный максимум. Аналогично, если 1" (х,) >О, то 1" (х) > 0 в некоторой окрестности х, и 1" (с) > О.
Поэтому остаточный член формулы (2) в окрестности х, неотрицательный, а вместе с ним и Ау ~(х) — 1(х,)' О, т. е. 1 имеет в х, локальный минимум. Пример 1. у=-х'+б, у'=-2х, х 0 — стационарная точка; у" 2 > 0 для всех х, следовательно, и в точке х *=О. Значит, в точке х 0 †локальн минимум. Замечани е 1. Если )'(х„)=0 н ~" (х,) О, (з) то функция 1 может иметь и не иметь экстремума в х„. Например, функции х' и х' удовлетворяют условиям (3) в точке х, О, но первая из них не имеет экстремума в этой точке, а вторая — имеет, а именно, минимум. Теорема 2. Пусть ~'(х,) -1'"(х,) ... =~'"'(х,)=0 и ~1"+" (х,)те О, и непрерывна в окреьтпности точки х„ тогда1 если (н+1) — четное и ~1"""(х,) < О, то ~ имеет в х, локальный максимум; если (и+1) — четное и ~1ч"1(х,) > О, то 1 имеет в х, локальный минимум; !74 гл.в.
диФФеэениилльное исчисление если (и+1) — нечетное и 7'в+и(х,)чь0, то 7 заведомо не имеет в х, локального экстремума. Доказательство этой теоремы снова основано на применении формулы Тейлора. Имеем ~(х) — ~(х,) =(" . "') ~'"+и(с) (с~(х„х)). (4) В случае, если (и+1) — четное, рассуждаем в точности так же, как в случае формулы (2). Пусть теперь (и+1)— нечетное, и пусть, как было предположено, ~' +" (х,) чмО.
Вследствие непрерывности рв+" в окрестности х, сущест. вует интервал (х,— 6, х,+6), на котором )'"+и(х) сохраняет знак ~'"+и(х,). Если х будет возрастать в окрестности х, слева направо, то (х — х,)"+' при переходе через х, переменит знак, а )'"+м(с) будет сохранять один и тот же знак. Это показывает, что правая часть (4) и, следовательно, ЛУ 7 (х) — 7(хв) пРи пеРеходе х чеРез х, менЯет знак и экстремум в х, невозможен. Теорема 3. Пусть функция 7" нелреомгна на отрезке [х,— 6, х,+61 и имеет производную 7" (х) отдельно на интервалах (х,— 6, х,) и (х„х, + 6).
При этом 7'(х) =ь 0 (~О) на (х,— 6, х,), (6) ~'(х) < 0 (~э О) на (х„ х, +6). (6) Тогда х, есть точка локального максимума 1минимума) функции ). Здесь не обазательно пРедполагаетсЯ, что 7'(хв) сУ- ществует. Доказательство. Из непрерывности ) иа отрезке [х,— б, х,) и свойства (6) следует (см, теорему 6 $ 4.12), что 7 ие убывает (не возрастает) на этом отрезке и, следовательно, 7 (хв) — 7 (х) Р- 'О (» ~0) для «б [хв — 6~ хв). (7) А из непрерывности 7' на [х„х,+61 и свойства (6) следует (см. ту же теорему Б й 4.12) ~(х) — ~(хв) -'0 (;гвО) для хб[х„хв+6~.
(8) Но тогда иа (7) и (8) следует: 7 (х) ~ (7 (хв) (7 (х) «» 7 (Хв)) Ух Е ~ хв 6| хв+ бгв~ и мы доказали теорему 3. $4лт. лОкАльный зкотгемъм емнкцнн !76 Теорема 3 утверждает, что если первая пронзводная функции у прн переходе через точку х, меняет анак, то ( имеет в точке х, мнннмум (рнс. 52), если знак меняется (пря возрастании х!) с — нз +, н максимум (рнс. 53), если он меняется с + на †. Прн атом не обязательно, Рис. 52, Пример 3, Функция у=2 — ха(1 — в1п ) (х ФО), у(0)=2, 1т непрерывна в точке х=о и имеет локальный максимум: у(х) ~ 2 у (0), Чх.
Однако нельзя выселить окрестность точки х=о так, чтобы в ней при х ( 0 функция возрастала, а при х > О убывала. В самом деле, 1 у' — 2» (1 — в!и е-) — сов (х Ы О), х) х у' (0) па 1 2 — ха (1 — в!и — — 2 » е х Пт х (1 — Мп —. ) = 0 1 ! » е х х) 11 При малых х слагаемое 2х (1 — в!и — ) как угодно малб, поэтому х) 1 ! знак производной у' зависит от сов — .
При х — О сов — приних' х мает значения ь 1 сколько угодно раа. Значит„ во всякой окрестности точки х=0 функция колеблюпгаяся. чтобы у'(хь) сугцествовала. Но требуется, чтобы ! была непрерывна в точке х, (рассмотреть функцнкг у(к) )+х, х<0,1 ') — х, х эО/' Пример 2. Функция у -!+а! р' + „. ййы видим, что у'>0 прн х<0, р' <О прн х>0 н, кроме того, у непрерывна в точке х О, позтому па теореме 3 функцяя у имеет локальный максимум в точке х О.
Других локальных зкстремумов функция не имеет. 176 гл. ь диэевгвнциьльнов исчисление Теорема 4. Пусть функция 1 удовлетворяет условиям 7'(х,)=О и 7а(х,) > О (<О). Тогда 7 в точке х, имеет локальный минимум (максимум). Д о к и з а т е л ь с т в о. Так как Р"(х,)= 11 ' " ''"'=йщ ) 'х),'>О, х — х „к — к~« то на основании теоремы 2 3 3.2 — > О в достаточно у (х) х — ха малой окрестности точки х„т.
е. )'гх) < О для х < х, и )' (х) > О для х > х,. По теореме 3 заключаем, что в точке х, локальный минимум. Случай Г" (х,); О исследуется аналогично. 3 а меч а ни е 1. Теорема 4 содержит в себе теорему 1 как частный случай, потому что в ней не предполагается, что )а(х) непрерывна в окрестности точки х,. Требуется лишь существование 7" (х,).
% 4.18. Экстремальные значения функции н» отрезке Пусть надо найти максимум (минимум) функции непрерывной на отрезке [а, Ь1. Тот факт, что Г достигает максимума (минимума) на [а, Ь'1 в некоторой точке х,Е Е[а, Ь[, доказан в теореме 2 23,8.
Могуг быть только три возможности: 1) х,=-а, 2) х,=Ь, 3) х, Е (а, Ь). Если х«Е(а, Ь), то, согласно сказанному в предыдущем $4.17„точка х, будет точкой локального экстремума, и ее следует искать либо среди стационарных точек, либо среди точек, где производная не существует, Если указанные точки образуют конечное множество х,, ...,х,то шах [(х)=1пах([(а), К(Ь), )'(х,), ..., [(х )» «а[», ы ( ш)п г(х) пппЦ(а), )(Ь), 7(х,), ..., 7(х ))). ',хаус Ы Отметим, что нет необходимости выяснять характер стационарных точек, если мы поставили себе только задачу найти максимум (минимум) функции г на [а, Ь). Пример 1.
Найти наибольшее и наименьшее значения функции ф(х) =з)их+соек на [О, п1. з зла. ВыпуклОсть кРиВОЙ. тОчкА пвРвгиВА ~77 Находим производную: ф'(х) =созх — з1пх. Приравниваем ее нулю: созх — з(их=О. Это уравнение имеет на отрезке [О, и] единственное решечие х = п(4. Так как ф(О) = 1, ф(п(4) =)у 2, ф(п) = — 1, то шах ф(х) к'2, ппп ф(х)= — 1. иа(о, и( ла(о, и( Пример 2. Пусть электрическая лампа мажет передвигаться по вертикали ОВ (оси Ь). На плоскости, перпендикулярной ОВ, возьмем точку А (на оси х). На какой высоте надо подвесить лампу, чтобы в точке А была наилучшая освещенность (рис.
54). Р Решен яе. Поместим лампу в точку В, и пусть АВ=г, ОВ=Ь, у ОА = а, ~ ОАВ = ~р. Известно, что освещенность / в точке А определяи!и Ф Рис. б4. ется по закону (Р е —, гдес — ко- гч эффициент пропорциональности. Примем Ь за аргумент функции Ь Так как г'=-Ь'+и', з(п~р= —, то !(Ь)= И = с (Иа ( Ва)апг По СМЫСЛУ ЗадаЧИ 0 Ь~ оо.
НайдЕМ НаИбОЛЬШЕЕ Зиачение этой функции. ((О)=!(оо)=0'). Далее )'(Ь)=с ", =О при Ь=а()У 2. (Иа+аа)аж Так как )(а(у'2) =2с/3УЗаа> О, то иаиболыпее значение функция )(Ь) принимает в точке Ь=а$' 2, Таким образом, лампу надо подвесить на высоте Ь = =.~и2. 9 4.19. Выпуклость кривой. Точка перегиба Говорят, что кривая у=((х) обращена е точке х, Выпуклостью кеерху (книзу), если существует окрестность х, такая, что для всех точек этой окрестности касательная а) В данном случае (,со)= Пи ! (И), В->+ а 178 гл. с диеевгвнцилльнов исчисление к кривой в точке х, (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
